2-dimensionale Zufallsvariable: Erwartungswerte etc

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18.06.2006, 15:15	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
2-dimensionale Zufallsvariable: Erwartungswerte etc Hallo Also wir haben in Stochastik gerade mit mehrdimesnionalen Zufallsvariablen begonnen und schon treten beim ersten Beispiel Probleme auf: also wir haben eine tabelle, die wir vervollständigen sollen: X/Y______1______2______3______X-Randdichte _0______2/24___1/24___3/24________(6/24)__ _1_____(10/24)__3/24__(5/24)_______(18/24)_ Y-RD___12/24___(4/24)__(8/24)_____________ die Ergebnisse in Klammer sind von mir eingefügt worden, müsste stimmen, wenn nicht, bitte nochmal was sagen. So nun kommen meine Probleme. b) Berechnen Sie E(X),E(Y),V(X),V(Y) c) Berechnen Sie die Kovarianz Cov(X,Y) und den Korrelationskoeffizienten d) Berechnen Sie E(XY^2) also bei b) hab ich große schwierigkeiten, wie berechne ich solche Erwartungswerte von nur einer Zufallsvariable c) die zwei Ausdrücke hab ich noch nie gehört, ich werd mal bei Wiki nachsehen, evtl kommen dazu noch Fragen d) sollte ich wieder schaffen, das müsste doch so eine Doppelsumme sein, oder? edit: ok, mit b und dem verschiebungssatz sollte c auch kein problem sein
18.06.2006, 15:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch die Randverteilung (deine Klammerwerte), also sollten die eindimensionalen Charakteristiken E(X), E(Y), var(X), var(Y) kein Problem sein, ist wie bei ganz normalen eindimensionalen Zufallsgrößen. Und ja, bei d) ist es eine Doppelsumme, wie immer bei solchen Erwartungswerten: $\begin{eqnarray} E(g(X,Y) ) = \sum\limits_x ~ \sum\limits_y ~ g(x,y)\cdot P(X=x,Y=y) \end{eqnarray}$ Hier angewandt auf die Funktion $\begin{eqnarray} g(x,y)=xy^2 \end{eqnarray}$ .
18.06.2006, 16:04	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
mal blöd gefragt: ist E(X)=06/24+118/24 ?
18.06.2006, 16:06	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht blöd, sondern richtig.
18.06.2006, 16:09	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
omg, danke
18.06.2006, 16:30	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe jetzt alles raus denk ich. E(X)=3/4 E(Y)=11/6 V(X)=3/16 V(Y)=29/36 Cov mittels Verschiebungssatz: E(X*Y)=31/24 Cov(X,Y)=-2/14 Korrel.koeff.=-0,2144 E(X,Y^2)=67/24 die Doppelsummen gingen alle recht einfach zu berechnen, weil man eigentlich immer nur die innere summe bilden musste mit x=1, weil die terme für x=0 alle 0 sind, wenn ich mich nicht verschaut habe. was sagt mir eigentlich die kovarianz und der korrelkoef, bzw wo finden die anwendung?
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18.06.2006, 20:21	Pr0	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Korrel.-Koeffizient macht eine Aussage, ob zwei Zufallsvariablen einen starken, schwachen oder gar keinen Zusammenhang haben. Er nimmt Werte von -1 bis +1 an.
18.06.2006, 20:34	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
[...] einen starken, schwachen oder gar keinen linearen Zusammenhang haben. Diese Ergänzung ist ganz, ganz wichtig. Nichtlineare Zusammenhänge kann man mit dem Korrelationskoeffizienten nur schlecht bzw. gar nicht beurteilen.
19.06.2006, 01:59	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
kann man zufallsvariablen mit korellkoeff 0 als pendant zur "normalen" unabhängigkeit vorstellen oder kann das nochmal einer genauer erklären?
19.06.2006, 07:47	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus Unabhängigkeit folgt Unkorreliertheit, also Korrelationskoeffizient Null - sofern der Korrelationskoeffizient überhaupt existiert (das ist nicht immer der Fall). Die Umkehrung gilt allerdings nicht, wie ich in meinem letzten Beitrag mit anderen Worten schon erwähnt habe. Gegenbeispiel: Betrachte irgendeine um Null symmetrische Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ - z.B. eine auf $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ stetig gleichmäßig verteilte Zufallsgröße - und dann $\begin{eqnarray} Y=X^2 \end{eqnarray}$ . Dann sind $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ unkorreliert (also mit Korrelationskoeffizient Null), von Unabhängigkeit kann aber nicht die Rede sein!

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