Gewinn einer Zeitung

19.06.2006, 13:35	KnightMove	Auf diesen Beitrag antworten »
Gewinn einer Zeitung Die Leserschaft einer Zeitung ist N(mü, sigma)-verteilt, mit mü=1,000,000 und sigma=200,000. Pro verkaufter Zeitung ist der Gewinn 10 C, pro nicht verkaufter Zeitung ist der Verlust 50 C. Wieviele Exemplare müssen sie für maximalen Gewinn drucken?
19.06.2006, 15:38	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu=1\,000\,000,\;\sigma=200\,000 \end{eqnarray}$ sei die zufällige Anzahl nachgefragter Zeitungen, und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ die (deterministische) Anzahl gedruckter Zeitungen. Aus den Angaben der Aufgabe lässt sich die Gewinnfunktion $\begin{eqnarray} G(x,n)= \begin{cases} 10n & \;\mbox{für}\;x\geq n\\ 10x-50(n-x) & \;\mbox{für}\;x<n\end{cases} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nachgefragte und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gedruckte Zeitungen aufstellen. Die Aufgabe besteht nun darin, den Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(G(X,n)) \end{eqnarray}$ bezüglich $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zu maximieren.
23.06.2006, 15:02	KnightMove	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie sieht bitte E(G(x,n)) aus?
23.06.2006, 15:23	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Verteilung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , also kannst du auch den Erwartungswert einer beliebigen Funktion von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ausrechnen. P.S.: Das ist hier nicht die Rätselrubrik. Hier solltest du auch selbst mal was zu tun anstatt stets nur die Lösungen anderer abzulehnen.
23.06.2006, 19:14	KnightMove	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schaffe es halt nicht allein. Ist folgendes richtig: Der Erwartungswert ist das Integral über das Produkt von Gewinnfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, womit wir eine Funktion von n erhalten?
23.06.2006, 19:20	Pr0	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} E(X)= \int x\cdot f(x) dx \end{eqnarray}$
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23.06.2006, 19:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, dort ist das Problem. Wie immer bei stetigen Zufallsgrößen ist auch hier $\begin{eqnarray} E(G(X,n)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ G(x,n)\cdot f(x) ~ \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ die W-Dichte von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist, also $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu = 1\,000\,000 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma = 200\,000 \end{eqnarray}$ . Und jetzt einsetzen, passend substituieren, so dass man die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} \Phi(\cdot) \end{eqnarray}$ der Standardnormalverteilung einsetzen kann...
26.06.2006, 11:35	KnightMove	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke jedenfalls.
26.06.2006, 11:37	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Und - schon etwas weiter gekommen? Wie's aussieht, wird am Schluß etwas Numerik unumgänglich sein, eine "schöne" explizite Lösung für das optimale $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist nicht in Sicht. Aber eine schöne Aufgabe ist das, zweifelsohne.

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