Normalteiler, isomorphismus |
| 16.09.2008, 15:38 | dovep | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Normalteiler, isomorphismus Ich bin mir gerade bei einer aussage nicht sicher und bräuchte hilfe. Seien G, G' Gruppen und H ein Normalteiler von G und H' ein Normalteiler von G'. Weiterhin sei G isomorph zu G' und H isomorph zu H', dann folgt G/H ist isomorph zu G'/H'. Warum???? Sei f ein Isomorhismus mit f(G)=G' und f(H)=H'. ist dann f(G/H)=f(G)/f(H)???? (also f(gH)=f(g)f(H) für g aus G.) Denn dann wäre doch: f(G/H)=f(G)/f(H)=G'/H'. |
||
| 16.09.2008, 16:54 | gast1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, die erste Aussage stimmt nicht, z.B. G=H=G'=IZ (ganze Zahlen), H'=2IZ. Falls allerdings so ein f wie in Deinem Beitrag existiert, dann stimmt die Aussage, man kann das z.B. sofort mit dem Isomorphiesatz beweisen. |
||
| 16.09.2008, 17:06 | dovep | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke für deine antwort. aber mit welchen von den drei isomorphiesätzen kann ich das zeigen? |
||
| 16.09.2008, 18:04 | gast1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wahrscheinlich kennst Du das, was ich Isomorphiesatz nenne, unter dem Namen Homomorphiesatz. Ich meine: Ist f:A->B ein surjektiver Homomorphismus, so induziert f einen Isomorphismus A/ker f -> B. Wende das auf die Verkettung G->G' -> G'/H' an, wobei der erste Pfeil f und der zweite Pfeil die Projektion ist. Die Bedingung f(H)=H' und die Tatsache, dass f bijektiv ist, sichern dann, dass der Kern dieser Verkettung gerade H ist und der gerade zitierte Satz liefert das Gewünschte. |
||
| 16.09.2008, 19:00 | dovep | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke... nur, warum benötige ich bei der Bestimmung der Kerns der gesamten Abbildung, dass f bijektiv ist? Denn der Kern der Projektion (ich nenn sie mal p) ist H' und da f(H)=H' folgt, dass der Kern der gesamten Abbildung H' sein muss. Kern ist: p(f(g))=H' -> g Element H, denn p(f(H))=p(H')=H'. wo wird hier die bijektivität benötigt? |
||
| 16.09.2008, 19:35 | gast1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Deine letzte Zeile ist wirr. Der Kern der Verkettung ist f^(-1)(H'). Dass dies H ist, folgt nur deshalb aus f(H)=H', weil f injektiv ist. Sonst könnte dieses Urbild noch größer sein. |
||
| Anzeige | ||
|
|
||
| 16.09.2008, 21:07 | dovep | Auf diesen Beitrag antworten » |
ker pf={g \in G: p(f(g))=H'}=f^(-1)(H')??? wie kommt man darauf? |
||
| 17.09.2008, 10:20 | gast1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Für f:A->B, g: B->C ist immer . Und in diesem Fall ist eben ker p = H'. |
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
