offen/abgeschlossen

20.06.2006, 15:54

hä?

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offen/abgeschlossen

Moin moin alle zusammen!

Habe noch einige Probleme mit Metriken und deren Offenheit bzw. Abgeschlossenheit, und konkret mit dieser Aufgabe:

Im metrischen Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit der euklidischen Metrik
$\begin{eqnarray*} d((x_1,y_1),(x_2,y_2))= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{eqnarray*}$ untersuche man, ob die folgenden Teilmengen
a) offen
b) abgeschlossen sind

$\begin{eqnarray*} X_1:= [0;1]\times \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_2:= [2;3)\times (4;6) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_3:= \{(x,y)\in \mathbb R^2~|~x \cdot y=1\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_4:= \{(x,y)\in \mathbb R_+^*\times \mathbb R ~|~y=cos\frac{1}{x} \} \end{eqnarray*}$

Zunächst mal zu a): ich weiß wie es geht für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , da muss man für jeden Punkt eine offene Kugel suchen.
Und wenn es sie gibt, dann ist die Menge offen.
Ich bin mir jetz unsicher wie es im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ geht.
Worauf muss ich da bei den einzelnen Teilmengen von z.B. $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ achten? [0;1] ist ja nicht offen und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist offen, was sagt mir das jetzt über $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ ?

Kann mir jemand einen Tip geben?

20.06.2006, 18:32

hä?

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kann mir wirklich keiner helfen?

es ist bestimmt nicht so schwer, ich steh nur irgendwie voll aufm Schlauch und kann das gelernte nicht auf zweidimensionalen Raum anwenden...ich komm gar nicht aus den Startlöchern... wie geht das im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ???
Hilfe

Hilfe

20.06.2006, 19:18

Leopold

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Erst solltest du dir die Mengen einmal vorstellen:

Beschreibe $\begin{eqnarray*} [0,1] \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ geometrisch.

20.06.2006, 19:21

kurellajunior

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Ich mach mal mit:

Ist das ein Streifen der Breite 1 und von -\infty bis +\infty lang?

20.06.2006, 19:23

hä?

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also ich würde sagen, das ist wie beim Kreuzprodukt: es ist ein Streifen mit Länge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und Breite 1

20.06.2006, 19:24

Leopold

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@ kurellajunior

Na ja, für dich war die Frage nicht gedacht ...

Was uns so offensichtlich vorkommt, kann für den Anfänger gerade das Problem sein. Er sieht nur mathematische Zeichen - und weiß nicht, was sie bedeuten.

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20.06.2006, 19:26

kurellajunior

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Zitat:

Original von Leopold
@ kurellajunior

Na ja, für dich war die Frage nicht gedacht ...

Was uns so offensichtlich vorkommt, kann für den Anfänger gerade das Problem sein. Er sieht nur mathematische Zeichen - und weiß nicht, was sie bedeuten.

Ööhm ich habs doch auch net gewusst, aber danke für die Lorbeeren Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Ich werd mal einfach im Hintergrund mitdenken (weiß ja nichtmal wie die Metrik zu lesen ist verwirrt

verwirrt

, aber das ist mein Problem...)

20.06.2006, 19:26

Leopold

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@ hä?

Ja, das ist so. Und ist der nun offen, abgeschlossen oder keines von beiden? Was meinst du? Und vor allem: Was sind deine Argumente pro und contra?

20.06.2006, 19:29

hä?

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Ich würde sagen der ist in der Breite abgeschlossen und in der Länge offen und abgeschlossen gleichzeitig, da $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ beides ist. Also was der Streifen als ganzes jetzt ist, ist mir noch nicht so recht klar...

20.06.2006, 19:33

Leopold

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Welche Kriterien für Offenheit und Abgeschlossenheit sind dir bekannt?

A
Abgeschlossene Mengen sind gerade die Komplemente der offenen Mengen.

B
Eine Menge ist abgeschlossenen, wenn sie all ihre Berührungspunkte enthält.

C
Eine Menge ist offen, wenn sie um jeden Punkt eine Kugel enthält, die ihr ganz angehört.

D
Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen sind abgeschlossen.

E
Urbilder offener Mengen unter stetigen Funktionen sind offen.

20.06.2006, 19:36

hä?

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bekannt sind mir nur A und C

20.06.2006, 19:39

Leopold

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Unterstellen wir also einmal, $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ sei offen. Dann müßtest du um jeden Punkt dieser Menge eine (möglicherweise sehr kleine) Kugel zeichnen können, die ganz in $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ liegt.

Und - Kugeln im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ sind das, was normale Menschen, also Nichtmathematiker, als Kreise bezeichnen würden.

20.06.2006, 19:44

kurellajunior

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Auch mitdenk:

da ich um (1|0) keinen nochsokleinen Kreis zeichnen kann heißt das...

richtig?

und die Punkte sind für hä? Bitteschön Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.06.2006, 19:45

Leopold

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Richtig. Das heißt ...

20.06.2006, 19:47

hä?

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Ah, jetzt wird mir das Ganze etwas klarer:
$\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ ist nicht offen, da z.B. am Rand der Breite, also sagen wir mal im Punkt 1, der im Sreifen liegt kann ich keinen Kreis zeichnen, der in $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ liegt.
Ist es also so, dass wenn eine Seite (z.B. die Breite) des Streifens abgeschlossen ist, dann kann der gesamte Sreifen nicht offen sein?
Damit wäre dann auch $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ erschlagen, geht dann ja so ähnlich.

20.06.2006, 19:49

kurellajunior

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Aber ist denn B nicht auch erfüllt für $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ ?

20.06.2006, 19:52

Leopold

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@ hä?

Nicht so schnell. Bleib bei der Sache. Erst einmal $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} X_{2006} \end{eqnarray*}$ ist später noch Zeit.

Um es noch einmal festzuhalten: $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ ist nicht offen. Und viele Anfänger begehen jetzt den Trugschluß: Dann ist es halt abgeschlossen. Aber mitnichten! Das kann so, braucht aber nicht so zu sein.

Folglich hier die Frage: Ist $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ jetzt abgeschlossen?
Und um diese Frage zu beantworten, untersuchst du das Komplement (complere ~ lat. ergänzen), also die Restmenge auf Offenheit.

20.06.2006, 20:00

hä?

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Das wäre ja der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ohne den Streifen.
also: $\begin{eqnarray*} (-\infty ;0)\bigcup (1;\infty )\times \{ 0\} \end{eqnarray*}$ und das ist doch offen, da die beiden Teile (Vereinigung und Nullmenge) offen sind, obwohl ich auch gelesen hab, dass Nullmenge auch gleichzeitig abgeschlossen ist...
Deswegen würd ich sagen, dass es doch nicht offen ist und damit $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen.
Richtig?

20.06.2006, 20:01

kurellajunior

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Wieso $\begin{eqnarray*} \times \{ 0\} \end{eqnarray*}$ nicht eher $\begin{eqnarray*} \times \{ \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ ?

20.06.2006, 20:07

Leopold

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Deine Schreibweise stimmt nicht. Da fehlen Klammern, und der rechte Faktor ist falsch. Richtig wäre (das hochgestellte $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ soll Komplement heißen):

$\begin{eqnarray*} X_1^{\, c} = \left( (-\infty,0) \cup (1,\infty) \right) \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Oder anschaulicher:

$\begin{eqnarray*} X_1^{\, c} = \left( (-\infty,0) \times \mathbb{R} \right) \cup \left( (1,\infty) \times \mathbb{R} \right) \end{eqnarray*}$

Und tausendmal besser:
Den ganzen Formelkram oben vergessen. Die Komplementmenge vorstellen (!!!) und entscheiden, ob sie offen ist. Dafür das Kugelkriterium nehmen.

Dein erster Ansatz war der beste: $\begin{eqnarray*} X_1^{\, c} = \text{der} \ \mathbb{R}^2 \ \text{ohne den Streifen} \end{eqnarray*}$

20.06.2006, 20:14

hä?

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aha, ok, also der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ohne den Streifen ist offen, da es jetzt keinen Rand mehr gibt, also kann ich um jeden Punkt eine Kugel legen.

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen!

20.06.2006, 20:16

Leopold

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So ist's.

Freude

Und die andern jetzt einmal alleine probieren. Du kannst deine Ergebnisse ja später hier hereinstellen und von jemandem überprüfen lassen.

Und wichtig!
Abgeschlossenheit und Offenheit sind keine Gegensätze. Es gibt Mengen, die weder das eine noch das andere sind. Und es gibt Mengen, die beides sind.

20.06.2006, 20:34

kurellajunior

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Kurze Frage zum letzten Punkt,

sind Kreise, die Ihren Rand nicht beinhalten beides? Oder zählt der Rand als berührt und widerspricht damit dem geschlossen-Kriterium?

20.06.2006, 20:44

hä?

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Danke für eure Hilfe soweit ihr beiden! Gott

Gott

Ich hab jetzt auch was zu $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ :
Dieser Sreifen ist nicht offen, da eine Seite einen Rand hat, folglich kann ich auf dieser Seite keinen Kreis um die Punkte legen.

Das Komplement dieser Menge ist schon alleine deswegen nicht offen, weil jetzt eine Seite schon mal Randpunkte bekommt:
$\begin{eqnarray*} X_2^c = ((-\infty ;2)U[3;\infty )\times (-\infty ;4]U[6;\infty )) \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ auch nicht geschlossen.
Richtig?
Und wie funktioniert es jetzt bei $\begin{eqnarray*} X_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ ?
Da komm ich doch nicht mehr mit Kreisen aus, oder?
Muss ich da weitere von dir Leopold angeführte Kriterien benutzen?

20.06.2006, 21:24

Leopold

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Du magst Formeln, stimmt's?
Nur stimmen die nicht. So liegt z.B. der Punkt $\begin{eqnarray*} (2,5|1) \end{eqnarray*}$ im Komplement von $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ , er liegt aber nicht in deinem kartesischen Produkt.

Wichtiger als die Formeln sind das Verständnis für die Sache. Und da hast du es doch richtig gesagt: Die Sache mit dem Rand, die ist es!

Das Komplement von $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ ist alles außerhalb des Rechtecks, aber einschließlich der unteren, rechten und oberen Seite. Und um Punkte dieser Seiten kann man keinen Kreis zeichnen, der ganz $\begin{eqnarray*} X_2^{\, c} \end{eqnarray*}$ angehört. Also ist $\begin{eqnarray*} X_2^{\, c} \end{eqnarray*}$ nicht offen und damit $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen.

Bei $\begin{eqnarray*} X_3 \end{eqnarray*}$ handelt es sich um eine Hyperbel: $\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Das ist nur eine "Linie". Was ist also mit dem Komplement der "Linie"?

@ kurellajunior

In zusammenhängenden Räumen sind die leere Menge und der ganze Raum die einzigen Mengen, die zugleich offen und abgeschlossen sind. Und der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ist zusammenhängend.
Ja, man erhebt das sogar zur Definition: Ein Raum heißt dann und nur dann zusammenhängend, wenn die leere Menge und der ganze Raum die einzigen ...

Für ein Gegenbeispiel stelle dir zwei Kreisscheiben vor, die sich nicht schneiden. Zusammen bilden die einen topologischen Raum. Um das klar herauszustellen: Nicht der umgebende $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ wird hier als "Vollraum" gedacht, sondern die Vereinigungsmenge der Kreisscheiben ist schon der volle topologische Raum. Kugeln in diesem Raum sind dann die Schnittgebilde von echten Kreisen mit diesem topologischen Raum (in der Zeichnung rot).
Und jede der gelben Kreisscheiben ist in diesem topologischen Raum sowohl offen als auch abgeschlossen. Der Raum ist nicht zusammenhängend. Anschaulich ist das, glaube ich, klar.

20.06.2006, 22:02

hä?

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Danke nochmal Leopold! Du kannst echt gut erklären!

Du hast recht, ich sollte mir das mit den Formeln etwas abgewöhnen und mehr meine Phantasie benutzen.
Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann ist $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ also weder offen noch abgeschlossen. Weil das Rechteck die Linke Seite enthält, ist es nicht offen und weil das Komplement die rechte, untere und obere Seiten enthält ist es nicht offen, also $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen.

$\begin{eqnarray*} X_3 \end{eqnarray*}$ ist ja auch nicht so schwer,wenn man an die Sache mit Vorstellungskraft rangeht:
Die Hyperbel ist natürlich nicht offen, da sie nur aus einem Rand besteht und ihr Komplement ist alles außer der Rand, also offen, also ist $\begin{eqnarray*} X_3 \end{eqnarray*}$ abgeschlossen.

$\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ ist eine Kosinuskurve, also auch eine "Linie" und demnach nicht offen, ihr Komplement ist der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , der aber jetzt wegen der Einschränkung durch $\begin{eqnarray*} \mathbb R_+^* \end{eqnarray*}$ durch die y-Achse einen Rand hat und demnach nicht offen ist. Also ist $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen.

Soweit richtig?
verwirrt

verwirrt

20.06.2006, 22:07

hodgesaargh

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wenn ich mich auch mal in die diskussion einklinken darf (mich interessiert das thema auch): was dieses x*y=1 angeht, würde ich sagen, das komplement ist vermutlich offen (sie enthält für die epsilon-umgebungen aller punkte des komplements). damit ist die vorgegebene menge abgeschlossen. sie ist aber nicht gleichzeitig offen, weil epsilon-umgebungen der punkte auf dem graphen nie vollständig in x3 liegen.
ähm: da habe ich wohl zu lange überlegt/ im script geblättert. verwirrt

verwirrt

20.06.2006, 22:44

Leopold

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@ hä?

Es stimmt zwar, daß $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen ist. Deine Begründung verstehe ich aber nicht. Das ist ja keine gewöhnliche Cosinuskurve, sondern eine, die bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ oszilliert. Wenn du dich beim Ursprung nur eine Idee von der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse nach rechts wegbewegst, dann mußt du dabei unendlich viele Schlaufen der Kurve überschreiten. Die Punkte des Intervalls $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ auf der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse, genauer also die Punkte von $\begin{eqnarray*} \{ 0 \} \times [-1,1] \end{eqnarray*}$ , sind alle Berührungspunkte von $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ , gehören aber nicht zu $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen. Oder anders gesagt: Der Ursprung selbst liegt im Komplement von $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ , aber jeder noch so kleine Kreis um den Ursprung enthält Punkte von $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ . Also ist das Komplement von $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ nicht offen und damit $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen.

20.06.2006, 23:16

hä?

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Oh, ja, hast recht, es ist ja keine gewöhnliche Kosinuskurve Hammer

Hammer

Eine letzte Frage noch:
wenn ich dich richtig verstanden habe, dann müsste
$\begin{eqnarray*} X_5:=X_4U(\{0 \} \times [-1;1]) \end{eqnarray*}$ auch nicht offen sein, da es im Prinzip nichts an der Kurve ändert, sondern nur am Ursprung.
Das Komplement ist jetzt aber offen, da der Ursprung jetzt nicht mehr drin liegt. Also wäre $\begin{eqnarray*} X_5 \end{eqnarray*}$ abgeschlossen.

Kommt das so hin?

20.06.2006, 23:44

Mathespezialschüler

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Verschoben

21.06.2006, 10:38

hä?

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könnte das vielleicht jemand nachprüfen?
ich werd euch dann auch in Ruhe lassen.
Teufel

Teufel

21.06.2006, 12:57

Abakus

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Korrekt, $\begin{eqnarray*} X_5 := X_4 \cup (\{0 \} \times [-1;1]) \end{eqnarray*}$ ist im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ bzgl. der euklidischen Topologie abgeschlossen und nicht offen.

Grüße Abakus smile

smile

21.06.2006, 21:28

hä?

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Danke an alle, die mir bei diesem Thema geholfen haben!

Besonders an Leopold Freude

Freude

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