Galois-Gruppe

21.06.2006, 14:28

PsychoCat

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Galois-Gruppe

Hallo

smile

Komme mal wieder bei einer Aufgabe nicht weiter:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subset L \end{eqnarray*}$ ein Zerfällungskörper der Familie aller Polynome der Form $\begin{eqnarray*} f=x^2-a, a \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Verifizieren Sie , dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subset L \end{eqnarray*}$ galoisch ist und dass die Galois-Gruppe $\begin{eqnarray*} G = Gal(L/\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \sigma^2=1 \forall \sigma \in G \end{eqnarray*}$ besitzt.

Was ich mir bisher überlegt habe:
Galoisch ist ein Körper, wenn er Zerfällungskörper einer Familie von separablen Polynomen ist. Nun ist f separabel für $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ , aber 0 ist ja auch eine rationale Zahl, d.h. das Polynom, das mir Probleme macht ist x². Kann man dann sagen x² zerfällt sowieso schon in Q, also ist L ein Zerfällungskörper von separablen Polynomen? Dann wäre der Teil fertig.
Diese Galois-Gruppe ist ja die Menge aller bijektiven Homomorphismen von L nach L. Demnach müsste doch $\begin{eqnarray*} \sigma^2(x)=\sigma(x^2) \end{eqnarray*}$ sein und da L von den Wurzeln der rationalen Zahlen erzeugt wird, ist $\begin{eqnarray*} x^2 \in Q \end{eqnarray*}$ (?) Dann würde aber gelten $\begin{eqnarray*} \sigma^2(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ und das ist i.A. nicht gleich x, also $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ nicht die Identität.. Irgendwas mache ich also von grundauf falsch. verwirrt

verwirrt

21.06.2006, 18:16

quarague

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wenn du an IQ die Nullstellen des Polnoms f=x² adjungierst, kriegst du ja wieder IQ, ich glaube also, das du dieses Polynom für deine weiteren Betrachtungen ignorieren kannst.
Es gilt $\begin{eqnarray*} \sigma^2=\sigma \circ \sigma \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} \sigma^2(x)=\sigma(\sigma(x)) \end{eqnarray*}$
Ein Homomorphismus erfüllt aber
$\begin{eqnarray*} (\sigma(x) )^2=\sigma(x) \cdot \sigma(x)=\sigma(x^2) \end{eqnarray*}$

21.06.2006, 18:34

PsychoCat

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achne das war quatsch, ja stimmt.. hab die Gruppenverknüpfung und Multiplikation durcheinandergeworfen, danke für den Tipp smile

smile

Aber das löst mein Problem noch nicht, habe noch etwas gerechnet und schon wieder irgendwas falsch gemacht glaub ich:
$\begin{eqnarray*} \sigma (x) = \sigma (\sqrt a)= \sqrt {(\sigma (\sqrt a))^2}= \sqrt {\sigma (a)} = \sqrt a = x \end{eqnarray*}$ weil sich jedes $\begin{eqnarray*} x \in L \end{eqnarray*}$ darstellen lässt als $\begin{eqnarray*} \sqrt a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$
Wenn das aber gelten würde, wäre $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ja schon die Identität, was mach ich da wieder falsch? verwirrt

verwirrt

21.06.2006, 19:57

PsychoCat

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ach ich glaub ich habs smile

smile

Es kann ja auch sein, dass $\begin{eqnarray*} \sigma (\sqrt a) = -x \end{eqnarray*}$ ist, aber wenn ich das dann nochmal anwende, kommt x raus smile

smile

22.06.2006, 01:22

JochenX

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ich mag mich mal ein bissl einmischen

Zitat:

Diese Galois-Gruppe ist ja die Menge aller bijektiven Homomorphismen von L nach L.

ist im Allgemeinen falsch. Wo lässt du bei dieser Definition den Körper K?
Es ist natürlich die Gruppe (sagen wir doch lieber Gruppe statt Menge), der bijektiven Hom. (man sagt auch "Automorphismen") von L, die K festlassen.
Der letzte Teil ist ziemlich wichtig!

Das Polynom X^2 kannst du natürlich ignorieren, der Grund ist ja ganz einfach:
Vergleiche deinen Zerfällungskörper mit dem Zerfällungskörper der Polynommenge ohne "X^2".
X^2 liefert nix neues im Zerfällungskörper, also wirds ja nicht benötigt.
[Vergleiche: C ist Zerfällungskörper von X^2+1 über IR; genauso ist es auch Zerfällungskörper von X^2+1 und jeder beliebigen Menge von weiteren reellen Polynomen, die aber für die Erweiterung "nix Neues mehr bringen" (aber sie stören ja auch nicht!!); da kannste dann auch beliebig viel inseparable dazupacken; oder du fasst C gleich als Zerfällungskörper von (X^2+1)^2 auf...... in jedem Fall bleibt C separabel über IR]
Es reicht ja die Existenz einer separablen Polynomfamilie, dass du auch inseparable finden kannst, interessiert ja keinen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beachte übrigens auch, dass JEDE Erweiterung von Q separabel ist.

Betrachte deine Automorphismen am einfachsten NUR auf den Erzeugern (damit sind sie festgelegt).
Es gilt dabei: sei x ein Erzeuger von L/K (x dabei nicht in K), dann ist x NST von X^2-x^2 für irgendsoein Polynom.
Ein K-Automorphismus muss x auf eine Nullstelle seines Minimalpolynoms schicken und da bleiben eben nur x und -x.
Die Fälle verifiziert du eben schnell nach; sei f so ein Automorphismus, x beliebiger Erzeuger:
Fall 1: f(x)=x, dann ist f(f(x))=f(x)=x
Fall 2: f(x)=-x, dann ist.....
insg. f^2=id

22.06.2006, 09:11

Anirahtak

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Hallo,

alternativ könnte man sich auch überlegen, wie viele Elemente Gal(L/IQ) hat...

Gruß
Anirahtak

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22.06.2006, 12:53

PsychoCat

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ja danke

Freude

hab ich verstanden, aber so wie ich es gemacht habe müsste es auch gehen oder? Den Satz, den ich für Anirahtaks Ansatz brauche, hatten wir glaub ich erst heute in der Vorlesung.

Habe aber schon wieder ein neues Problem und da es immernoch um Galois-Erweiterungen geht, schreib ich das einfach hier rein:
Die Galois-Gruppen Gal(L/E) c Gal(L/K) sind ja isomorph zu den Zwischenkörpern K c E c L. Jetzt habe ich den Grad der Erweiterung [L:K]=p² für eine Primzahl p gegeben. Dieser Grad ist meines Wissens gleich der Ordnung von Gal(L/K). Eine Gruppe der Ordnung p² ist isomorph zu Cp² oder Cp x Cp wenn Cn die zyklische Gruppe der Ordnung n ist. Berechnen soll ich nun die Anzahl der Zwischenkörper K c E c L in den beiden Fällen. Ich verstehe aber schon gar nicht warum das überhaupt einen Unterschied macht. Die Ordnung einer Untergruppe H c G teilt ja immer die Ordnung von G, also bleibt für die Ordnung von H ja eigentlich nur 1,p und p² egal wie G jetzt aussieht und von Ordnung 1 gibt es nur die Gruppe 1, von Ordnung p die Gruppe Cp und von Ordnung p² ist schon G selber. Das wären 3 in beiden Fällen und demnach gäbe es dann auch in beiden Fällen 3 Zwischenkörper. Angeblich soll es im Fall G isomorph zu Cp x Cp aber viel mehr Zwischenkörper geben, nämlich p²+1 böse

böse

22.06.2006, 16:04

JochenX

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Zitat:

Die Galois-Gruppen Gal(L/E) c Gal(L/K) sind ja isomorph zu den Zwischenkörpern K c E c L

nicht ISOMORPH, sondern bijektiv, es sind gleich viele, aber strukturgleich sind sie nicht.
Welche Struktur hast du denn auf den Körpern?

Beachte: 1,p,p^2 sind zwar die Kardinalitäten der Untergruppen, aber es kann ja mehrere Untergruppen gleicher Kardinalität geben.
In Z/2ZxZ/2Z (in deiner Schreibweise C2xC2) fallen mir sofort mind. 2 Untergruppen der Ordnung 2 ein. Nämlich Z/2Zx{0} und {0}xZ/2Z.

ob es in Z/p^2Z wirklich nur passende 3 Untergruppen gibt, musst du auch noch zeigen.

22.06.2006, 19:02

PsychoCat

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Achso ja auf Körper gibt es Multiplikation und Addition, auf Gruppen nur Multiplikation.

Hm und woher weiß ich dann wieviele Gruppen es von einer bestimmten Ordnung gibt..? Wodurch unterscheiden die sich denn dann? Nur durch die Darstellung? Z.B. hätte ich nicht gedacht, dass Z/2Zx{0} und {0}xZ/2Z verschiedenen Zwischenkörpern entsprechen, das ist doch irgendwie dasselbe, nur die Achsen sind sozusagen umbenannt.. Bisher hatten wir immer nur Isomorphieklassen von Gruppen. Dann ist meine erste Aufgabe wahrscheinlich auch falsch:

Da war Gal(L/K)=S3 mit ord(S3)=3!=6 und ich soll rausfinden wieviele Zwischenkörper es gibt und wie die Gruppen Gal(L/E) aussehen.
Wie die aussehen ist aber trotzdem bis auf Isomorphie zu beantworten oder..? Da käme für die Ordnung 1,2,3,6 in Frage und entsprechend die Gruppen 1, C2, C3 und ich glaube ein semidirektes Produkt von C2 x C3 für die Ordnung 6. Da hätte ich nun wiederum gesagt es sind also 4 Zwischenkörper.. Aber wieviele gibt es denn jetzt? unglücklich

unglücklich

22.06.2006, 21:14

JochenX

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Zitat:

Achso ja auf Körper gibt es Multiplikation und Addition, auf Gruppen nur Multiplikation.

schlimmer noch, deine letzte Begründung ist falsch; du betrachtest eine Menge von Untergruppe deiner Galoisgruppe und zum anderen eine Menge von Körpern.
Auf dieser Menge benötigst du eine Struktur, wenn du einen Isomorphismus haben willst!
Aber auf den Mengen gibt es das nicht.

Zum Rest mal ganz allgemein:
Ein Beispiel, dass mir spontan einfällt wäre folgendes:
$\begin{eqnarray*} K=\mathbb Q, L=\mathbb Q [\sqrt{2}, \sqrt{3}] \end{eqnarray*}$
Deine Galoisgruppe hat 4 Elemente und ist isomorph zu Z/2ZxZ/2Z.
Finde mal selbst raus, wie die Galoisgruppe genau aussieht und wie die beiden Zwischenkörper aussehen, die zu den beiden echten nichttrivialen Untergruppen gehören (das ist nicht schwer). (*)

Zu der Aufgabe mit der S3 hilft vielleicht auch der Sylowsche Satz.
Ansonsten sollten aber auch die Untergruppen der S3 schnell zu bestimmen sein:
es gibt die triviale und die ganze Untergruppe
es gibt 3 der Ordnung 2 (je von einer Transposition erzeugt)
es gibt 2 der Ordnung 3 (je von einem der beiden verschiedenen Drehzykel erzeugt)

Das wars, insgesamt gibt's, wenn ich mich nicht verrechnet habe, 7 Untergruppen der S3, also auch 7 Zwischenkörper, seien die nun isomorph oder nicht....

Wann sind denn Körper überhaupt isomorph?
Die beiden Zwischenkörper aus (*) z.B. sind das gar nicht..... imho.

23.06.2006, 14:32

PsychoCat

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Aalso, dann mach ich mal dein Beispiel:
Warum die Galois-Gruppe isomorph ist zu C2 x C2 weiß ich jetzt nicht, aber da du das schon so schön angegeben hast, fang ich da mal an. Die Elemente dort sind (0,0),(1,0),(0,1) und (1,1)
Echte Untergruppen haben die Ordnung 1 oder 2.
Von Ordnung 1 wäre nur die triviale Gruppe mit dem Element (0,0)
Von Ordnung 2 wären die von 3 Gruppen, die von den anderen 3 Elementen erzeugt werden, nämlich C2 x 0, 0 x C2 hmmm und die Gruppe {(0,0),(1,1)} kann man da sagen das ist einfach die Gruppe C2?
Alle anderen Kombinationen würden wieder die ganze Gruppe erzeugen.

Ohman das find ich schon relativ komplex und das bei sonem einfachen Beispiel Augenzwinkern

Augenzwinkern

Habe noch nicht son wirkliches Vorgehensmuster.. Eigentlich bin ich jetzt so vorgegangen: Mögliche Gruppenordnungen bestimmen, überprüfen welche Gruppen die einzelnen Elemente erzeugen, überprüfen welche Gruppen mehrere Elemente zusammen erzeugen.. da gibts aber selbst hier ja schon relativ viele Kombinationen.

Das mit der S3 hab ich auch nicht verstanden unglücklich

unglücklich

Hab noch nie von Drehzykel gehört..

23.06.2006, 18:52

JochenX

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ersetze Drehzykel durch Drei-Zykel, das macht auch mehr Sinn.
Das ist eine der Permutationen, die alle 3 Elemente vertauscht, also z.B. das Zykel (1 2 3), bzw. das andere ist (1 3 2)

Nochmal bissl zu meinem Beispiel:
$\begin{eqnarray*} L:=\mathbb Q[\sqrt{2},\sqrt{3}], \mathbb Q \end{eqnarray*}$
Naja, so viele Zwischenkörper gibt es hier ja nicht, es gibt ja nur diese: $\begin{eqnarray*} \{L, \mathbb Q[\sqrt{2}], \mathbb Q[\sqrt{3}], \mathbb Q\} \end{eqnarray*}$ <-- vollständig?

Schauen wir uns mal die Q-Automorphismen von L an:
Es ist L der Zerfällungskörper der Polynome $\begin{eqnarray*} X^2-2, X^2-3 \end{eqnarray*}$ , die sind separabel, L ist galoisch.
Ein Q-Autom. ist auf den Erzeugern festgelegt, die Erzeuger müssen auf Nullstellen des Minimalpolynoms abgebildet werden.
Bleibt für diese Wurzeln also nur je auf sich selbst oder auf die negative Wurzel abgebildet zu werden.

Du kannst das ganze auch als Nullstellenpermutation ansehen:
Setze $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}=:1', -\sqrt{2}=:2', \sqrt{3}=:3', -\sqrt{3}=:4' \end{eqnarray*}$ , dann kannst du deine Galoisgruppe als Untergruppe der S4 betrachten.

Nun darfst du aber mal weitermachen.

EDIT: habe meinen Fehler gefunden, oben ist es rot, wo er war.
Tatsächlich findest du den 5. Zwischenkörper am einfachsten, indem du dir mal die Fixkörper zu den Galoisuntergruppen anschaust.
ich habe ihn eben gefunden und hatte einen Riesenbock noch oben.

24.06.2006, 12:48

PsychoCat

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Die Körpererweiterung hat Grad 4=2*2=p² und laut meinem Aufgabenblatt muss es dann p+3=5 Untergruppen und somit auch 5 Zwischenkörper geben. (Die Aufgabe war falsch, es sind p+3 und nicht p²+1 Untergruppen wobei das im Fall p=2 keinen Unterschied macht)
Die 3 echten Untergruppen HcG hab ich ja oben hingeschrieben, falls die richtig sind. Jetzt ist der zugehörige Zwischenkörper jeweils $\begin{eqnarray*} L^H \end{eqnarray*}$ also der Fixkörper von L unter Wirkung von H. Hm welcher Gruppenwirkung entsprechen denn jetzt meine Elemente in den Untergruppen..? Zum Beispiel für H={(0,0),(1,0)} entspricht (0,0) ja wahrscheinlich der Identität und die schickt eh jedes Element auf sich selbst, aber was entspricht (1,0) verwirrt

verwirrt

Aber ich glaube das mit der S3 hab ich nun verstanden:
Die Untergruppen sind ja isomorph zu C2 bzw C3, also zyklisch und dann muss ich nur noch gucken welche Ordnung die Elemente von S3 haben, richtig? Das geht aber auch nur in dem Fall, weil die Untergruppenordnungen Primzahlen sind, sonst wüsste ich nicht was ich machen sollte.

25.06.2006, 17:11

PsychoCat

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Also wie ich rausbekomme wie die Körper aussehen, wenn ich die Galois-Gruppe habe, weiß ich immernoch nicht unglücklich

unglücklich

Mit anderen Worten wie man einen Fixkörper berechnet.

Bei meiner Aufgabe muss ich das allerdings ja erstmal noch gar nicht, sondern nur herausbekommen wieviele Gruppen bzw Zwischenkörper es gibt. Wenn Gal(L/K) isomorph ist zu Cp² hat, dann kommt für eine echte Untergruppe H nur die Ordnung p in Frage und H ist isomorph zu Cp, also auch wieder zyklisch. Aber warum gibt es da jetzt nur eine echte? Ich müsste ja zeigen, wenn ich zwei Elemente aus Gal(L/K) der Ordnung p habe, dann erzeugen diese die selbe Untergruppe. Anders ausgedrückt könnte man also auch sagen ich muss zeigen, dass das eine Element ein Vielfaches des anderen ist. Aber finde bisher keinen Beweis dafür :-/ Benutzen muss ich da wohl auf jeden Fall, dass die "Obergruppe" zyklisch ist, weil im anderen Fall (Cp x Cp) gibt es ja mehr als eine.

Wenn Gal(L/K) isomorph ist zu Cp x Cp dann haben die Untergruppen ebenfalls Ordnung p und sind zyklisch, aber die Obergruppe eben nicht. Untergruppen wären Cp x 0, 0 x Cp und <(1,1)> wie im Beispiel C2 x C2 aber das sind erst 3 und nicht p+1 (p+3 ist die Gesamtzahl -2 triviale).

07.07.2006, 12:04

PsychoCat

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übrigens erzeugen die beiden Dreizyklen von S3 glaub ich die selbe Untergruppe Lehrer

Lehrer

07.07.2006, 13:16

JochenX

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Zitat:

Original von PsychoCat
übrigens erzeugen die beiden Dreizyklen von S3 glaub ich die selbe Untergruppe Lehrer

Lehrer

Das ist richtig, die beiden sind ja invers zueinander, wenn ich oben was anderes behauptet haben sollte, dann tuts mir leid. So genau erinnere ich mich nicht mehr an die ganze Sache hier.

Wenn du noch fragen hast, dann gebe bitte deinen aktuellen Kenntnisstand bzgl. der Aufgabe an.

10.06.2007, 18:23

Netzer_Delling_Fan

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Ich hab zwar keine Frage zu der hier gestellten Aufgabe, aber ich wollte nicht extra einen neuen Thread eröffnen, deshalb dachte ich, ich könnte meine zwei Fragen, die ich zu Galoisgruppen habe, einfach hier stellen...

Also, erstens bin ich mir nicht ganz sicher, was die Begründung dafür ist, dass die Automorphismen der Galoisgruppe einer Galoiserweiterung linear unabhängig sind. In der Praxis ist es mir schon irgendwie klar, aber ich kann's nicht wirklich begründen...

Zweitens würde ich gerne wissen, wie ich begründen kann, dass ich, wenn ich auf alle Automorphismen dieser Gruppe einen einzelnen daraus anwende, warum ich dann wieder genau alle Automorphismen erhalte...

Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Ich brauche diese Sachen für meinen Vortrag im Algebra-Proseminar und irgendwie ist es mir nicht ganz klar.

EDIT: Also zur zweiten Frage habe ich eine Vermutung, bin mir aber nicht ganz sicher, ob das so einfach geht. Wenn ich jetzt ein n1 der Automorphismen auf alle anderen anwende, müssen die doch theoretisch untereinander unterschiedlich sein, da n1 ja injektiv ist und aus n1(n2(u)) = n1(n3(u)) (für alle u) folgen müsste, dass n2(u) = n3(u) für alle u. Geht das so?

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