extremalproblem

18.09.2008, 15:23

nadine226

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extremalproblem

hallo,
ich habe folgende aufgabe zu lösen:

ein tunnel hat den querschnitt eines rechtecks mit aufgesetztem halbkreis.
welche abmessungen sind zu wählen, damit dir ummauerungskosten ( auch die straße) bei gegebenem querschnitt A möglichst gering ausfallen?

ich weiß das die hauptbedingungen mit U(a,r)=
anfangen muss

und die nebenbedingung mit A=

aber ich weiß nicht was dahinter kommt.

danke im voraus

18.09.2008, 15:27

Jacques

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Hallo,

Also a ist die Höhe der Mauer bis zum aufgesetzten Halbkreis?

Dann muss Du doch nur die Straßenbreite über r ausdrücken und die Flächeninhalte von Halbkreis und Rechteckt addieren. verwirrt

verwirrt

18.09.2008, 15:32

klarsoweit

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RE: extremalproblem

Zitat:

Original von nadine226
damit dir ummauerungskosten ( auch die straße)

Wird jetzt auch die Straße gemauert? verwirrt

verwirrt

Also meinetwegen, wenn es so in der Aufgabe steht.

18.09.2008, 15:38

nadine226

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RE: extremalproblem
$\begin{eqnarray*} \bigcup = \frac{2 \pi r}{2} +2r +2a \end{eqnarray*}$

A= \frac{\pi r^{2} }{2} +a \cdot 2r

und nun?

18.09.2008, 15:39

nadine226

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RE: extremalproblem
die 2. gleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} A= \frac{\pi r^{2} }{2} +a \cdot 2r \end{eqnarray*}$

18.09.2008, 15:42

Jacques

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Das stimmt alles soweit. Jetzt die Nebenbedingung nach einer der beiden gesuchten Größen auflösen (am besten r) und in die Hauptbedingung einsetzen.

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18.09.2008, 15:49

nadine226

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ich hab das jetzt nach a aufgelöst. nach r habe ich nicht geschafft.
ich bin mir aber nicht sicher ob das stimmt.

$\begin{eqnarray*} a = \frac{2A}{2r} - \frac{\pi }{2}\cdot r \end{eqnarray*}$

18.09.2008, 15:53

Jacques

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Das ist nicht richtig. Kannst Du den Rechenweg nochmal aufschreiben?

18.09.2008, 16:53

nadine226

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ich seh schon. habe mich verechnet.

$\begin{eqnarray*} a= \frac{2A}{4r} - \frac{ \pi }{4} \cdot r \end{eqnarray*}$

18.09.2008, 16:55

Jacques

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Jetzt stimmt es. Den linken Bruch kannst Du noch kürzen.

18.09.2008, 20:43

nadine226

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wenn ich jetzt nach r auflöse ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} r1/2 = \pm \sqrt{ \frac{0,5}{\pi }A } \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

18.09.2008, 20:53

Jacques

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Ist das jetzt schon das Endergebnis? Also hast Du bereits die erste Ableitung gebildet und die Extremstelle herausgefunden?

18.09.2008, 20:57

nadine226

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ne hab ich nicht. wo muss ich das denn machen?

18.09.2008, 21:02

Jacques

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Es geht doch letztendlich darum, den geringstmöglichen Flächeninhalt herauszufinden. Dafür stellst Du -- mithilfe der Nebenbedingung -- eine Funktion auf, die jedem a den zugehörigen Flächeninhalt A zuordnet. Und dann findest Du über die Ableitungsfunktion die „Tiefstellen“ heraus, also diejenigen Zahlen für a, bei denen A kleinstmöglich wird.

Die Funktion lautete:

$\begin{eqnarray*} A(a, r) = \frac{\pi r^{2} }{2} +a \cdot 2r \end{eqnarray*}$

Jetzt eliminierst Du die zweite Variable r, indem Du sie über a ausdrückst:

$\begin{eqnarray*} a= \frac{2A}{4r} - \frac{ \pi }{4} \cdot r \end{eqnarray*}$

Diesen Term oben einsetzen und dann die Ableitung der Funktion bilden.

18.09.2008, 21:10

nadine226

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muss ich das in A oder in U einsetzen?

18.09.2008, 21:11

Jacques

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In die Gleichung zu A. Das ist ja die „Zielgleichung“, denn A soll minmal werden.

18.09.2008, 21:13

nadine226

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achso. und wonach muss ich auflösen?
ich ja auf beiden seiten des = ein A stehen?!

18.09.2008, 21:17

Jacques

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Nein, sobald Du den Term für a eingesetzt hast, kannst Du die Gleichung als Funktionsvorschrift ansehen:

Jedem Radius r wird der zugehörige Flächeninhalt A zugeordnet.

Und zu dieser Funktion bildest Du die Ableitungsfunktion, um die Extremstellen herauszufinden.

Hm, Du müsstest das Prinzip doch kennen. Ansonsten solltest Du Dir vielleicht erstmal eine einfachere Extremwertaufgabe ansehen, bei der man die Vorgehensweise besser nachvollziehen kann.

18.09.2008, 21:23

nadine226

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ich kenn das prinzip schon aber bei mir steht da wenn ich a=... in A... einsetze:

$\begin{eqnarray*} A= \frac{ \pi r^2}{2}+(\frac{A}{2r} -\frac{\pi }{4}\cdot r) \cdot 2r \end{eqnarray*}$

muss ich von der die ableitungsfunktion bilden oder kann ich die erst noch vereinfachen? ich weiß das ich die klammer ausrechnen kann und dann?

18.09.2008, 21:27

Jacques

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Die Gleichung stimmt schonmal. Du kannst sie zur Verdeutlichung noch als Funktionsvorschrift kennzeichnen, indem Du A(r) anstelle von A schreibst.

Löse auf jeden Fall zuerst die klammern auf. Natürlich kann man die Funktion auch jetzt schon ableiten, aber das wäre viel zu kompliziert.

18.09.2008, 21:31

nadine226

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$\begin{eqnarray*} A= \frac{ \pi r^2}{2}+A-\frac{ \pi r^2}{2} \end{eqnarray*}$

???

18.09.2008, 21:36

Jacques

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Moment, ich merke gerade, dass wir auf dem falschen Weg sind:

Also die nach a aufgelöste Nebenbedingung muss natürlich in die Hauptbedingung eingesetzt werden:

$\begin{eqnarray*} U = \pi \cdot r + 2 \cdot r + 2 \cdot a \end{eqnarray*}$

Wir haben einfach die Nebenbedingung in sich selbst eingesetzt, dabei kommt natürlich nur Unsinn heraus.

Aber der Rest stimmt, ich hatte bloß die Bedingungen durcheinander gebracht. Bitte entschuldige. Ups

Ups

18.09.2008, 21:38

nadine226

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kein problem. versuch es eben nochmal. momentchen...

18.09.2008, 21:43

nadine226

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als ableitungsfunktion habe ich nun:

$\begin{eqnarray*} \bigcup = \pi r+2+A-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

soweit richtig?

18.09.2008, 21:50

Jacques

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[Du kannst übrigens einfach „U“ schreiben anstelle das Zeichens für die Mengenvereinigung Augenzwinkern

Augenzwinkern

]

Die Ableitungsfunktion müsste falsch sein. Kannst Du nochmal die Ausgangsfunktion nach der Einsetzung kontrollieren?

Ich habe:

$\begin{eqnarray*} U(r) = \pi \cdot r + 2 \cdot r + 2 \cdot \left( \frac{A}{2\cdot r} - \frac{\pi \cdot r}{4} \right) \end{eqnarray*}$

vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} U(r) = ( \pi + 2) \cdot r - \frac{\pi}{2} \cdot r + \frac{A}{r} \end{eqnarray*}$

18.09.2008, 22:01

nadine226

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okay soweit bin ich jetzt auch. hatte ne 2 in der gleichung zuviel smile

smile

und was muss ich nun mit der vereinfachten form machen? wenn ich davon die 1. ableitung bestimme löst sich r doch auf oder?

18.09.2008, 22:04

Jacques

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Also bei mir tritt r auch in der Ableitung noch auf. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was hast Du denn raus?

18.09.2008, 22:11

nadine226

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vorher:

$\begin{eqnarray*} U=(\pi+2)r- \frac{\pi}{2} \cdot r+\frac{A}{r} \end{eqnarray*}$

abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} U=\pi +2-\frac{\pi}{2}+A \end{eqnarray*}$

18.09.2008, 22:14

Jacques

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Den ersten Teil bis +A hast Du korrekt abgeleitet.

Danach stimmt es allerdings nicht mehr: A/r abgeleitet ist nicht A, sondern -A/r².

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{x}\right)^{\prime} = \left( x^{-1} \right)^{\prime} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

18.09.2008, 22:20

nadine226

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okay, da liegt also mein fehler. kannst du evtl die zeile A/r -> -A/r² nochmal genauso aufschreiben wie 1/x =...
also ich meine die einzelnen schritte!?
wäre super.
ich rechne schonmal weiter

18.09.2008, 22:25

Jacques

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$\begin{eqnarray*} \left( \frac{A}{r} \right)^{\prime} = \left( A \cdot \frac{1}{r} \right)^{\prime} = \left( A \cdot r^{-1} \right)^{\prime} = A \cdot \left( - r^{-2} \right) = A \cdot \left( - \frac{1}{r^2} \right) = -\frac{A}{r^2} \end{eqnarray*}$

18.09.2008, 22:26

nadine226

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ich habe jetzt für r1/2 raus:

$\begin{eqnarray*} r1/2=\pm \sqrt{\frac{A}{2+\pi } } \end{eqnarray*}$

richtig?

18.09.2008, 22:30

nadine226

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danke

18.09.2008, 22:30

Jacques

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Nicht ganz:

$\begin{eqnarray*} r_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{2A}{\pi + 4}} \end{eqnarray*}$

Wobei die negative Lösung natürlich wegfällt.

18.09.2008, 22:34

nadine226

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okay. diesmal hab ich teile nicht mal 2 gerechnet obwohl ich es angekündigt hab...
wars das jetzt?

18.09.2008, 22:41

Jacques

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Streng genommen müsste man noch über die zweite Ableitung prüfen, ob an der Stelle tatsächlich ein Tiefpunkt liegt. Aber man darf wohl annehmen, dass es so ist, denn andernfalls wäre die Aufgabe nicht lösrbar.

Dann hast Du die Lösung für r! Jetzt nur noch diesen Term in die nach a aufgelöste Nebenbedingung einsetzen, um auch die Lösung für a zu erhalten.

18.09.2008, 22:50

nadine226

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$\begin{eqnarray*} a= \frac{A}{2\cdot \sqrt{\frac{2A}{4+\pi}} } - \frac{\pi}{4}\cdot \sqrt{\frac{2A}{4+\pi}} \end{eqnarray*}$

kann ich die noch vereinfachen? und wenn ja wie?

18.09.2008, 22:58

Jacques

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Also ich wüsste keine Vereinfachung.

Höchstens den Doppelbruch auflösen:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{2} \cdot \sqrt{\frac{\pi + 4}{2A}} - \frac{\pi}{4} \cdot \sqrt{\frac{2A}{\pi + 4}} \end{eqnarray*}$

Aber das sollte es schon gewesen sein. Freude

Freude

19.09.2008, 13:49

nadine226

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okay, super danke smile

smile

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