Grundfragen Differentialrechnung

Neue Frage »

Aboria1985 Auf diesen Beitrag antworten »
Grundfragen Differentialrechnung
Hallo Leute, hab dem nächste mündliche Prüfung. Zwar weiss ich, wie man alles rechnet (dank eurere hilfe) doch mit dem Verständnis hapert es noch ganz schön. Hab hier mal ein paar Fragen, hoffe das ihr mir dabei helfen könnt.

1) Liegt immer eine Linkgskrümmung vor, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist und eine rechtskrümmung, wenn sie nach unten offen ist?

2) Wenn die Ausgangsfunktion von unten kommt, wieso kommt die 1. Ableitung von oben?

3) Wieso hat die 1. Ableitung, ihre Nullstellen an den Hoch / Tiefpunkten der Ausgangsfunktion?

4) Wieso geht die 2. Ableitung durch die x-Ache wo sich in der Ausgangsfunktion der WP befindet?

5) Welcher Zusammenhang besteht zwischen f(x), f`(x) und f``(x)?

6) Gegeben ist die 1. Ableitung einer Funktion 3. Grades welche nach unten geöffnet ist. Skizziere die Ausgangsfunktion und die 2. Ableitung. (Soweit überhaupt kein Problem), Beschreibe diese in Bezug auf Monotonie (was ist das bzw. bedeutet das?), Krümmungsverhalten, Extrem- und Wendepunkte.

7) Erkläre den Zusammenhang zwischen der Differential und der Integralrechnung.

Bitte helft mir....
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mündliche Prüfung
Zitat:
Original von Aboria1985
1) Liegt immer eine Linkgskrümmung vor, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist und eine rechtskrümmung, wenn sie nach unten offen ist?

selber nachdenken, du hast zwei Möglichkeiten, dass leicht zu verifizieren
1. graphisch überlegen, denke dir die Parabel mal als Straße; dass du dann, wenn du sie enlangfährst linksbiegst, sollte klar sein
2. erinnere dich an den Zusammenhang zweite Ableitung - Krümmung; die zweite Ableitung ist hier sehr einfach

Zitat:
2) Wenn die Ausgangsfunktion von unten kommt, wieso kommt die 1. Ableitung von oben?

ist falsch, betrachte z.B. f(x)=x mit konstanter Steigung 1

Zitat:
3) Wieso hat die 1. Ableitung, ihre Nullstellen an den Hoch / Tiefpunkten der Ausgangsfunktion?

erinner dich an den Zusammenhang erste Ableitung - Tangentensteigung, Rest graphisch überlegen

Zitat:
4) Wieso geht die 2. Ableitung durch die x-Ache wo sich in der Ausgangsfunktion der WP befindet?

warum diese dumme Formulierung? kannst du nicht wie bei 3) von Nullstellen reden!?
überlege dir, was die Extrempunkte der ersten Ableitung mit den Wendepunkten gemein haben

Zitat:
5) Welcher Zusammenhang besteht zwischen f(x), f`(x) und f``(x)?

dass du das JETZT erst fragst NACH den anderen Fragen ist völlig sinnlos!
Versuche das erst mal rauszufinden, aber das kannst du nachlesen.
Vorher haben die anderen Fragen KEINEN Sinn.
Leider habe ich die Frage erst gesehen, nachdem ich die anderen Antworten schon getippt habe.

Rest werde ich deswegen erstmal nach hinten stellen.
Aboria1985 Auf diesen Beitrag antworten »

also ich würde jetzt sagen, durch die differenzierung, wird die funktionsgleichung minimiert, damit anschließend der Anstieg in einem bestimmten Punkt ermittelt werden kann. Deswegen kann auch der wendepunkt und der extrempunkt ermittelt werden, da ich gleichung lediglich minimiert wird, die werte selbst jedoch grundsätzlich gleich bleiben. kann man das so sagen?
Pierre Auf diesen Beitrag antworten »

nein, was heißt denn "minimiert" bei dir?
Aboria1985 Auf diesen Beitrag antworten »

verkleinert, an stelle einer funktion 3. grades erhalte ich dann eine funktion 2. grades.
Krissi123 Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist denn dann die "Minimierung" der folgenden Funktion:




Das Wort Minimierung ist an dieser Stelle nicht wirklich passend...
 
 
Aboria1985 Auf diesen Beitrag antworten »

ganz blöde frage, wieso ist bei f(x) =sinx und bei f`(x)=cosx, haben wir überhaupt nicht gemacht. wir sind einfach immer her gegangen haben für die extrempunkte die erste ableitung auf = 0 gesetzt und für die wp die 2. ableitung auf 0, sorry für die fragen bin jedoch in der abendschule mit 2. std mathe in der woche, da ist nie all so viel zeit um 31 leuten in der klasse alles zu erklären, es wurde wirklich IMMER NUR GERECHNET UND GESAGT NEHMT ES SO HIN. War für die schriftliche auch ganz okay, doch für die mündliche langt es so wohl nicht.
dos Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm also zur ersten Frage: das ist wohl sehr allgemein ausgedrückt, was machst du z.B., wenn deine Funktion mehrere Kurven hat?



Schauen wir uns die Funktion für deine erste Frage an.

Du musst jetzt einfach den Scheitelpunkt ausrechnen; das geht ja ganz einfach mit . Anschließend schaust du einfach, wie sich die Steigungen "vor" und "nach" diesem Scheitelpunkt sind.

In unserem Beispiel jetzt:


Also ist der Scheitelpunkt bei

Jetzt schaust du dir einfach die Steigungen an den folgenden Punkten an und kannst dann sagen, ob es sich dabei um eine Links bzw- Rechtskurve handelt.



Erst streng monoton fallend, danach streng monoton steigend => Linkskurve

Damit dürfte die 6. Frage auch beantwortet sein.

Eine Folge heißt monton wachsend, wenn für alle gilt:



Übertrag es analog auf Funktionen, wobei du dann die Bedingung nicht beachten solltest Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
5) Welcher Zusammenhang besteht zwischen f(x), f`(x) und f``(x)?

Habe ich das richtig gelesen, diese Frage hat euch euer Lehrer nicht beantwortet?
Dann kann er (so ist das in der Schule!) eigentlich auch nicht verlangen, dass ihr das alles wisst, was du oben gefragt hast.
Das ist dafür nämlich absolut wichtig!

Hier in 2 Sätzen:
f'(x0) gibt die Kurvensteigung=Tangentensteigung von f an der Stelle x0 wieder
f''(x0) gibt allgemein etwas über das Krümmungsverhalten an

Dabei ist für das meiste insbesondere der erste Teil wichtig, damit wird z.B. die graphische Herleitung f'=0 für lokale Extrema total anschaulich..
Mal ehrlich: hat euch euer Lehrer diese Details wirklich verschwiegen oder hast du sie nicht verstanden?
Aboria1985 Auf diesen Beitrag antworten »

nein, das haben wir WIRKLICH niergens stehen....
hab auch schon meine arbeitskollegin gefragt wo eine klasse unter mir ist u. das thema gerade abgeschlossen hat. sie konnte auch nichts damit anfangen....

gut, dann werd ich mir jetzt mal das weitere anschauen.
vielleicht klären sich nun auch noch die anderen fragen...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dos
Eine Folge heißt monton wachsend, wenn für alle gilt:



Nee. unglücklich Dann heißt sie monoton fallend.

@Aboria1985: am besten postet du eine konkrete Aufgabe. Oder du versuchst dich an dieser:
Bestimme von der Funktion f(x) = x³ - 3x die Extrem- und Wendepunkte.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundfragen Differentialrechnung
Ich versuch dir mal zu erklären, worum es hier überhaupt geht:


Die Grundfunktion ist für alle Punkte der Kurve zuständig. Die ist bloß dazu da, dass du dir jeden beliebigen Punkt berechnen kannst, der auf der Funktion oben ist.
Jeder PUnkt besteht aus einer x und einer y-Koordinate.

f(x) steht für die y-Koordinate
x steht für die dazugehörige x-Koordinate

f(3) = 7 >> bedeutet: ein Punkt, der auf der Kurve ( oder Gerade) drauf ist, heißt: P (3 / 7)

Wenn du nun die Nullstellen suchst, dann suchst du jene Punkte der Kurve, deren y-Koordinate 0 ist, denn über jeden Punkt auf der x-Achse weiß man, dass die y-Koordinate 0 sein muss.

Daher setzt man nun für f(x) Null ein, denn dann ist die Funktion gezwungen, dir alle x-Werte zu sagen, deren y-Werte 0 sind. Also die Nullstellen.

1. Ableitung = Steigung der Tangente in einem Punkt der Kurve

f'(x) steht für: die Steigung der Tangente in einem beliebigen Punkt (x / irgendwas) der Kurve.

f'(3) = 5 heißt: Die Steigung der Tangente im Punkt (3 / irgendwas) ist 5

Wenn du nun die Extremwerte suchst, dann suchst du jene Punkte, in denen die Tangente die Steigung 0 hat (Zeichne mal in einem Hoch- oder Tiefpunkt eine Tangente ein, dann siehst du, dass die parallel zur x-Achse ist und die Steigung 0 hat.)

Wenn du also statt f'(x) Null einsetzt, dann ist die Kurve verpflichtet, dir die x-Koordinate jener Punkte zu sagen, deren Tangentensteigung 0 ist.
Und das sind automatisch die Extremwerte ODER in speziellen Fällen kann das auch ein Wendepunkt sein, weil es Wendepunkte gibt, deren Tangente ebenfalls die Steigung 0 haben und diese speziellen Wendepunkte heißen Sattelpunkte.
Die dazugehörige y-Koordinate kriegst du ja immer, wenn du in die Grundfunktion einsetzt, denn die liefert dir die y-Werte.
Ob du nun einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt hast, sagt dir die 2. Ableitung.

2. Ableitung = Krümmung der Kurve

Wenn du von links die Kurve entlangfährst, als wäre sie eine Straße, dann merkst du, ob du das Lenkrad links hältst oder rechts hältst.

Wenn du eine Parabel hast, die wie ein umgedrehtes U aussieht, also nach unten offen ist, dann fährst du von links unten entlang und hältst das Lenkrad immer ein bisserl rechts, weil du auf eine Rechtskurve zufährst. Du biegst entlang der ganzen Kurve NIEMALS von rechts auf links. Daher ändert sich hier die Krümmung der Kurve nicht. Sie ist immer und überall rechtsgekrümmt.

Solltest du einmal von links auf rechts lenken müssen oder umgekehrt, dann ändert sich die Krümmung und dort, wo du für einen Moment das Lenkrad grad hältst, weil du grad beim anders einbiegen bist, DORT ist der Wendepunkt.

f'' heißt Krümmung.
f''(x) heißt: die Krümmung an einem Punkt (x / irgendwas)
f''(3) heißt: die Krümmung am Punkt (3 / f(3))

Wenn:
f''(x) eine positive Zahl ergibt, dann war die Kurve dort linksgekrümmt.

Wenn:
f''(x) eine negative Zahl ergibt, dann war die Kurve an diesem Punkt rechtsgekrümmt.

Wenn:
f''(x) = 0 dann muss ein Wendepunkt vorliegen, denn dort war die Kurve weder links, noch rechts gekrümmt, da hältst du das Lenkrad für einen Moment gerade.
Welche Zahl ist weder negativ noch positiv? - die Null
daher muss man die 2. Ableitung 0 setzen und kriegt dann die x-Koordinaten der Wendepunkte raus. f(x) liefert dir dann die dazugehörige y-Koordinate.

Überprüfen, ob Hochpunkt oder Tiefpunkt:

Zeichne mal eine Kurve, die viele Hoch- und Tiefpunkte hat. Und dann schau dir die Krümmung an allen Hochpunkten an. Da siehst dann, dass die Kurve an allen Hochpunkten immer rechtsgekrümmt ist.
Und an allen Tiefpunkten ist die Kurve links gekrümmt.
Wenn du daher die x-Koordinate deines Extremwertes für x in die 2. Ableitung einsetzt und da kommt eine negative Zahl raus, dann war der Extremwert ein Hochpunkt. Kommt eine positive Zahl raus, dann war das ein Tiefpunkt.

Wendetangente:

Eine Tangente ist eine Gerade und die Gleichung für jede Funktionsgerade heißt:

y = Steigung * x + Abschnitt auf der y-Achse

y = m * x + n

(Das x und das y sind die Koordinaten irgendeines Punktes, der auf der Gerade drauf liegt)

Was brauchst du von einer Geraden, damit du die Geradengleichung aufstellen kannst? - irgendeinen Punkt, der auf der Gerade drauf liegt und die Steigung der Gerade.

Bei der Wendetangente kennst du einen Punkt - nämlich geht sie durch den Wendepunkt, also ist der ein Punkt der Geraden.

und die Steigung der WendeTANGENTE liefert dir die 1. Ableitung, denn das ist ja die Steigung der Tangente in einem beliebigen Punkt der Kurve (und du willst ja die Steigung der Tangente im Wendepunkt)

Wenn du daher die x-Koordinate deines Wendepunktes für x in die 1. Ableitung einsetzt, dann erhältst du als ERgebnis die Steigung der Wendetangente und kannst dann in die Geradengleichung einsetzen und erhältst dann das n.

Soweit mal allgemein! Bei Fragen, kannst ruhig noch weiter fragen.

Nun zu deinen spezifischen Fragen:

Zitat:
1) Liegt immer eine Linkgskrümmung vor, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist und eine rechtskrümmung, wenn sie nach unten offen ist?


Das könntest jetzt selber überprüfen, hab dir die Krümmung erklärt.
Wenn du dennoch was nicht verstehst, frag einfach

Zitat:
2) Wenn die Ausgangsfunktion von unten kommt, wieso kommt die 1. Ableitung von oben?


Das ist bei allen deinen Kurven so, bloß nicht bei Geraden, weil bei einer Gerade bei der 1. Ableitung das x verschwindet und somit gibt es keinen Wechsel mehr von positiver zu negativer Steigung und umgekehrt.

y = m * x + n
y' = m

Übrigens zeigt das, dass y' die Steigung einer Geraden ist.


Das hängt mit der Monotonie und in weiterer Folge mit der Krümmung zusammen. Denke nicht, dass du das erklären musst.


Zitat:
3) Wieso hat die 1. Ableitung, ihre Nullstellen an den Hoch / Tiefpunkten der Ausgangsfunktion?


Nimm eine Funktion her:

f(x) = x³ + x² - 2

die 1. Ableitung ist nun:

f'(x) = 3x² + 2x >> Wenn du die Extremwerte ausrechnest, kriegst raus: x1 = 0 und x2 = -2/3

nun tu ich so, als wäre das meine Grundfunktion und berechne die Nullstellen:

also: f(x) = 3x² + 2x
3x² + 2x = 0
x * (3x + 2) = 0
x1 = 0 und 3x + 2 = 0 >> x2 = -2/3

Da siehst, dass die Nullstellen der 1. Ableitung die Extremwerte der Grundfunktion sind.
und genauso verhält es sich für die 2. Ableitung.
Die Nullstellen der 2. Ableitung sind die Extremwerte der 1. Ableitung und die Wendepunkte der Grundfunktion.

Zitat:
4) Wieso geht die 2. Ableitung durch die x-Ache wo sich in der Ausgangsfunktion der WP befindet?


Bereits beantwortet.

Zitat:
5) Welcher Zusammenhang besteht zwischen f(x), f`(x) und f``(x)?


bereits beantwortet



6) Gegeben ist die 1. Ableitung einer Funktion 3. Grades welche nach unten geöffnet ist. Skizziere die Ausgangsfunktion und die 2. Ableitung. (Soweit überhaupt kein Problem), Beschreibe diese in Bezug auf Monotonie (was ist das bzw. bedeutet das?), Krümmungsverhalten, Extrem- und Wendepunkte.

Die Monotonie:

von minus unendlich bis zum 1. Hochpunkt ist die Kurve streng monoton steigend (denn du fährst ja mit dem Auto immer bergauf sozusagen). Vom Hochpunkt bis zum Tiefpunkt ist die Kurve streng monoton fallend.
Und zwar ist das deshalb so, weil jede Tangente im steigenden Bereich eine positive Steigung hat und jede Tangente im fallenden Bereich eine negative Steigung hat.

Das heißt, wenn du gefragt wirst über das Monotonieverhalten, dann musst du das so machen:
Du musst die Intervalle bekannt geben, in denen die Funktion streng monoton steigend und streng monoton fallend ist:

z.b.

Eine Funktion hat folgende Extremwerte: Hochpunkt (-2 / 3) Tiefpunkt (0 / 1), Hochpunkt (5/ 7)

Nun wollen die von dir, dass du sagst:

Die Kurve ist von minus unendlich bis -2 streng monoton steigend

] - unendlich ; -2[ streng monoton steigend

von - 2 bis 0 ist die Kurve streng monoton fallend:

] - 2 ; 0[ streng monoton fallend

und von 0 bis 5 streng monoton steigend
und von 5 bis plus unendlich streng monoton fallend

Beim Krümmungsverhalten funktioniert das genauso.

Die Krümmung ändert sich ja am Wendepunkt.

Und da sagst nun z.b.:

von minus unendlich bis zum x-Wert des Wendepunktes ist die Kurve rechtsgekrümmt (oder linksgekrümmt, kommt auf die Kurve drauf an, aber das sieht man beim Hinschauen schon - da braucht man nix berechnen)
vom x-Wert des WEndepunktes bis zum nächsten x-Wert des Wendepunktes ist sie linksgekrümmt ....usw...


Zitat:
7) Erkläre den Zusammenhang zwischen der Differential und der Integralrechnung.


Mit der Differentialrechnung kann man sich spezielle Punkte der Kurve berechnen, anhand derer man eine Kurve schneller und genauer zeichnen kann als wenn man sich Millionen von PUnkten berechnet.

Mit der Integralrechnung kann man sich die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse berechnen.

Differentialrechnung = Punktberechnung einer Kurve
Integralrechnung = Flächen, bzw. Volumsberechnung einer Kurve

Außerdem:

Das Integral ist das Gegenteil von Differential

Integral von f'(x) liefert f(x)

oder:

Integral von f''(x) liefert f'(x)

aber das können die andern sicher noch genauer erklären.


Ich glaub, das ist der längste Roman, den ich hier jemals geschrieben hab. Hoff, ich hab die Datenbank nicht gesprengt.
Falls die Fragestellerin sich nie wieder meldet, hab ich ein schönes Handbuch fürs Schulrechnen erstellt. Big Laugh

erschöpft:
kiki
Pierre Auf diesen Beitrag antworten »

Lob:Pierre.
@Fragende: Du sagst, ihr hättet das noch nicht gehabt, aber ihr habt schon ständig mit Ableitungen gerechnet...
Mich interessiert ehrlich, wie euer Lehrer das Thema begonnen hat und ob das überhaupt ein gelernter Mathelehrer ist (man hört ja so manches über sogn. Fachfremde). Ich fiinde es jedenfalls ganz und gar nicht ok, dass man euch auf die abendschule bestellt, da mit aufgaben versorgt und das verständnis soll man sich dann selber erarbeiten und das wird dann auch noch mündlich geprüft. mein tipp wäre jedenfalls auch,sich ein einfaches beispiel vorzunehmen die erste ableitung berechnen und in ein koordinatensystem mit der ausgangsfunktion zu skizzieren und zu schauen, an welchen stellen die Hoch- und Tiefpunkte liegen und was da mit der ersten ableitung ist.Dann zu der Frage: wann steigt der graph, wann fällt er, was ist da mit der ersten ableitung. dann das gleiche mit den wendepunkten und der zweiten ableitung. dann kannst du dich der frage widmen :wann hab ich eine linkskrümmung, wann eine rechtskrümmung.
die funktion von "klarsoweit" ist perfekt dazu geeignet.
Dann siehst du glaube ich schon zusammenhönge zwischen funktion, erster und zweiter ableitung.
Dann erst würde ich mich der integralrechnung zuwenden. Formal stimmt es natürlich, was meine vorrednerin geschrieben hat und das könnte auch reichen für deine prüfung. WARUM man aber durch die Ableitung der Stammfunktion die Funktion erhält ist eine ganz andere Geschichte, die man mehr oder weniger kompliziert erklären kann. ganz grob und unwissenschftlich: man will die fläche unter einem graphen berechnen, der der einfachheit halber gänzlich positiv ist, also oberhalb der x-Achse verläuft. nehmen wir einfach mal f(x)=x². Wir wollen jetzt die fläche unter x² im Intervall (0,1) berechnen (Konrollfrage: warum ist es egal, ob ich (0,1) oder [0,1] schreibe?). Bei euch in der Schule habt ihr dann wahrscheinlich einfach nur "auf"geleitet: F(x)=. Fläche ist dann F(1)-F(0)=.
Wieso? Da man den Flächeninhalt von Rechtecken so prima berechnen kann, unterteilt man die Fläche unter dem Graphen in n Rechtecke von gleicher breite. z.B. in 5 Rechtecke der breite 0,2. Wie hoch sollen die sein? Da gibt es verschiedene Möglichkeiten (führt je nachdem zu Ober- oder Untersumme aber bei unendlich vielen Rechtecken zum gleichen Grenzwert; hier im folgenden Untersumme) Für die Höhe nimmimmer den Funktionwert der linken Kante jedenrechteckes. Also f(0), f(0,2),...,f(0,8). Als Fläche A unter x² im Intervall (0,1) erhälst du also näherungsweise: .
Wenn du jetzt das verfahren optimierst, also die rechtecke immer dünner machst, also von der breite , bekommst du ein Ergebnis was ganz genau an 1/3 dran ist. Doofer Lehrerspruch: glaub das jetzt mal. (du kannst es gerne ausprobieren, aber ich denke, dass du deine verblieben Zeit auf andere Dinge verwenden solltest). Wichtig ist: hast du verstanden,was man da macht? Es geht vielleicht nicht immer so einfach, denn die Betrachtung im unendlichen ist oft etwas kompliziert, das Verfahren aber ist immer das selbe: in rechtecke unterteilen und aufsummieren der flächenstücke. die rechtecke dünner machen, damit kleinere fehler und gucken, was mit den gleichungen im unendlichen passiert. was hat das alles nun mit ableitungen zu tun?
Wie du vielleicht siehst, ist das verfahren zeitaufwendig. Die Regel F´ (x)=f(x) macht die Sache wesentlich schneller. Die Regl ist ein Satz, der so wichtig ist, dass man ihn "Hauptsatz der Differntial- und Integralrechnung" nennt. Beweise findest du in jedem Mathebuch der Oberstufe, welches sowas wie "Analysis" oder "Differntialrechnung" imTitel hat. Erstmal überrascht der Satz, aber die Ableitung (also Steigung) kommt nicht von ungefähr. Aber das können wiederum andere besser erklären und ich weiß auch nicht, ob das jetzt zu weit führt...
Ich wünsche dir jedenfalls viel Glück, es ist noch nichts verloren und die Differntialrechnung kann man sich noch ganz gut selber erarbeiten. So wie ich das sehe, reicht bei euch rudimenteres Wissen, als Lehrer hat man ein gewisses Niveau im Unterricht und über das sollte man in Prüfungen nicht wesentlich hinausschießen, daher: nochmal in die Unterrichtsmaterilien schauen, v.a. an die stelle, wo ihr die Ableitung eingeführt habt und wo ihr die Stammfunktion/das Integralzeichen eingeführt habt.
Ebenfalls erschöpf.
Aboria1985 Auf diesen Beitrag antworten »

erst mal vielen vielen Dank, ihr habt euch hier ja richtig viel mühe gegeben. WOW.

So mal zu der Aufgabe von Klarsoweit:
f(x)=x³-3x

Folgende Werte hab ich erhalten:
Pmin(1/-2), Pmax (-1/2) und WP(0/0)

So um kontrollieren zu können ob ich es verstanden habe:
es liegt eine posetive Steigung vor
es liegt zuerst eine Rechtskrümmung vor, die an dem WP in eine linkgskrümmung übergeht. (Kann man hier schreiben rechtskrümmung von - undendlich bis zum x-wert 0 und anschließend eine linkskrümmung vom wert 0 bis plus unendlich?)
Die Funktion ist von minus unendlich bis zum wert -1 stren monoton steigend
Die Funktion ist von minus 1 bis plus 1 streng monoton fallend.
Die Funktion ist von 1 bis plus unendlich streng monoton steigend.

Hoffe es macht euch nichts aus, wenn ich euch noch ein paar verständnisfragen heute oder morgen stellen werden, hätte doch so gerne meinen 2 in mathe.

Da Pierre gefragt hat, keine Ahnung ob unser Mathe Lehrer ein Fachlehrer ist, weiss nur das die Lehrer bei uns an der Abenschule von der Ganztagsschule an die Abendschule versetzt wurden und dementsprechend keine lust haben, welchem lehrer würde es schon gefallen bis abends um halb 10 in der schule zu sitzen? Die Aufgaben hat uns unser Lehrer immer gleich beigebracht, er hat z.b. einen Graphen gezeichnet hat dort die werte makiert und uns dann gezeigt wie man es berechnet, zusammenhänge wurden jedoch nicht erklärt. z.b. hat er den wp peer hand makiert, die 2. ableitung gebildet und gesagt, schaut es stimmt. zuhause haben wir dann ein blatt mit vielen aufgaben und lösungen bekommen, doch wieso das so ist und die zusammenhänge wurden sogut wie nie angesprochen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aboria1985
es liegt eine posetive Steigung vor

Also die Steigung ist nicht immer positiv. Augenzwinkern
Ansonsten stimmen deine Aussagen. Auch die Formulierung ist ok.

kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aboria1985
es liegt eine posetive Steigung vor


nein, du sagst ja selber weiter unten, dass sie zuerst streng monoton steigend, dann streng monoton fallend...
sie ist also nicht durchgehend positiv, denn eine positive Steigung bedeutet, die Kurve ist steigend.

Zitat:
es liegt zuerst eine Rechtskrümmung vor, die an dem WP in eine linkgskrümmung übergeht.

Nein, so sagt man das nicht. Und es würde nicht stimmen, wenn du sagst AM Wendepunkt, denn dort ist die Krümmung weder links, noch rechts.

Zitat:
(Kann man hier schreiben rechtskrümmung von - undendlich bis zum x-wert 0 und anschließend eine linkskrümmung vom wert 0 bis plus unendlich?)


genauso musst du es sagen. Du musst immer das Intervall angeben, von wo bis wo die Kurve links, von wo bis wo sie rechtsgekrümmt ist.


Wichtig ist auch, dass du Tangenten an den Graphen zeichnen kannst, besonders die Wendetangente.

lg kiki
Aboria1985 Auf diesen Beitrag antworten »

So nun interssieren mich noch ein paar sachen ob die so in Ordnung bzw. Richtig sind für die mündliche Prüfung. Hab heute den ganzen Tag mal überall rumgelesen und gesucht. hoffe die ansätze stimmen:

1) Einsetzungs- Gleichsetzung- u Additonsverfahren dienen zur Eliminierung einer unbekannten.

2) p-q-Formel dient zur Nullstellenermittlung einer Funktion 2. Grades, welche in der Normalform stehen muss. (genügt das für die mündliche oder gibt es noch andere hintergründe?)

3) Linearisierung dient dazu eine ausgeschriebene Funktion in einem Klammertherm wiederzugeben. f(x)=m(x-Nullstelle)(x-Nullstelle).
Hier erscheinen die Nullstellen in einem umgekehrten Vorzeichentherm doch wieso und stimmt die Aussage so?

4) Polynomdivison wird bei Gleichungen von x³ oder mehr angewandt. Um diese Abzuleiten (kann man das so sagen? Schließlich wird aus dem x³ ein x²) Glaub nicht, da man ja hinten die werte ohne x weiterbehält..... und nicht nach der Potenzregel Ableitet. Kann man es noch anderster erklären?

5) Bei dem Differenzquotient gilt f(x plus delta x). Richtig?

6) Differentialquotient wird angewendet, wenn die Sekante in eine Tangende übergeht, dabei wird delta x immer kleiner bzw. 0. Dies ist eine möglichkeit um eine Formel der Tangendensteigung zu erhalten und eine andere Form der Ableitung.

7) Grenzwert: Durch diesen ermittelt man, wie sich die Funktion an ihren Grenzenverhält, ob sie wenn x in richtung plus oder minus unendlich geht, y in richtung minus oder plus unendlich geht. Geht das auch so?

8) Subsitution: Form der Nullstellenberechnung, geht nur bei Hochzahlen die durch 2 teilbar sind z.b. x hoch 4. Es dürfen keine anderen Werte vorhanden sein. Form der Nullstellenberechnung.

9) Annäherung von Rechts / Links an einen Pol, hier will man schauen wie sich y verhält, wenn man sich immer mehr an den Pol nähert, ob er minus oder plus unendlich geht. Auch so okay, oder eher zuwenig?

10) Ein Pol ist eine Unstetigkeitsstellte, hier springt die Funktion von minus unendlich nach plus unendlich. Ist das so ebenfalls okay, kommt mir irgendwie wenig vor. Die Funktion springt hier wegen der Lücke oder nicht? Hab dazu leider nichts gefunden.

11) Eine Lücke liegt vor, an dem Punkt, wo die Funktion springt, diese muss behoben werden. Durch das beheben, kann die Funktion würde ich jetzt sagen nicht mehr springen. Aber wieso haben wir dann in der Schule immer geschrieben die Lücke bei z.b. x=1 wird behoben durch den Wert 2,5?

12) Asymthode ist eine Gerade, an die sich der Graph einer Funktion für x in Richtung plus oder minus unendlich dichter annähert ohen sie zu berühren. Stimmt das? Ist doch dann das selbe, wie die Annäherung an einen Pol. Dies ist mir nicht so ganz klar.

und zu guter letzt:
13) Ein Volumen / Oberfläche soll minimiert bzw. maximiert werden, dazu wird eine HB und eine NB erstellt, die NB wird umgestellt, und in die HB eingesetzt. Dies diehnt dazu die Unbekannten Variabeln zu minimieren. Doch wieso wird bei der Berechnung von Minimas bzw. maximas noch eine Ableitung gemacht?

Hoffe ihr könnt mir hier noch helfen.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aboria1985
1) Einsetzungs- Gleichsetzung- u Additonsverfahren dienen zur Eliminierung einer unbekannten.

grob gesagt ja

Zitat:
2) p-q-Formel dient zur Nullstellenermittlung einer Funktion 2. Grades, welche in der Normalform stehen muss. (genügt das für die mündliche oder gibt es noch andere hintergründe?)

ob das genügt, können wir nicht sagen, das entscheidet dein Lehrer; Herleitung oder so wäre z.B. auf jeden Fall noch als weitere Frage denkbar: Stichwort quadratische Ergänzung

Zitat:
3) Linearisierung dient dazu eine ausgeschriebene Funktion in einem Klammertherm wiederzugeben. f(x)=m(x-Nullstelle)(x-Nullstelle).

Humbug, du gibst sie als PRODUKT wieder, das ist das tolle daran.
Zitat:
Hier erscheinen die Nullstellen in einem umgekehrten Vorzeichentherm doch wieso und stimmt die Aussage so?

weil ja genau die Nullstellen eingesetzt das ganze 0 wird; eine NST macht so gerade imm ereinen dieser Linearfaktoren zu 0. "x-x0" wird 0, wenn man da x0 einsetzt.

Zitat:
4) Polynomdivison wird bei Gleichungen von x³ oder mehr angewandt. Um diese Abzuleiten (kann man das so sagen? Schließlich wird aus dem x³ ein x²) Glaub nicht, da man ja hinten die werte ohne x weiterbehält..... und nicht nach der Potenzregel Ableitet. Kann man es noch anderster erklären?

"anderster"?
Man verwendet PD überhaupt nicht, um ABZULEITEN.
Da hast du was missverstanden.

Zitat:
5) Bei dem Differenzquotient gilt f(x plus delta x). Richtig?

das ist nur ein Teil des Diffquots, also bringt die Aussage nix.

Zitat:
6) Differentialquotient wird angewendet, wenn die Sekante in eine Tangende übergeht, dabei wird delta x immer kleiner bzw. 0. Dies ist eine möglichkeit um eine Formel der Tangendensteigung zu erhalten und eine andere Form der Ableitung.

komisch ausgedrückt, aber relativ richtig; es ist keine andere Art der Ableitung, es ist die Ableitung, nix anderes.

Zitat:
7) Grenzwert: Durch diesen ermittelt man, wie sich die Funktion an ihren Grenzenverhält, ob sie wenn x in richtung plus oder minus unendlich geht, y in richtung minus oder plus unendlich geht. Geht das auch so?

sehe keine tolle Aussage dahinter, y kann z.B. auch ganz andere Dinge tun, du kannst auch Grenzwerte x gegen ganz was anderes berechnen etc.

Zitat:
8) Subsitution: Form der Nullstellenberechnung, geht nur bei Hochzahlen die durch 2 teilbar sind z.b. x hoch 4. Es dürfen keine anderen Werte vorhanden sein. Form der Nullstellenberechnung.

da kommt das z.B. vor, aber das ist sicher nicht das einzige Anwendungsgebiet

Zitat:
9) Annäherung von Rechts / Links an einen Pol, hier will man schauen wie sich y verhält, wenn man sich immer mehr an den Pol nähert, ob er minus oder plus unendlich geht. Auch so okay, oder eher zuwenig?

fällt z.B. auch unter Grenzwertbetrachtung 7)
WENN du schon weißt, dass da ein Pol vorliegt, DANN geht y SICHER gegen + oder -unendlich.
Viel interessanter wäre hier die Bestimmnung der Polstellen und woran man sie erkennt.

Zitat:
10) Ein Pol ist eine Unstetigkeitsstellte, hier springt die Funktion von minus unendlich nach plus unendlich. Ist das so ebenfalls okay, kommt mir irgendwie wenig vor. Die Funktion springt hier wegen der Lücke oder nicht? Hab dazu leider nichts gefunden.

Eine "Sprungstelle" okay, man sagt auch einfach "Definitionslücke".
Das die Funktion von + nach - unendlich springt würde ich nicht sagen, muss ja auch nicht sein. Kann ja auch links und rechts jeweils gegen "das gleiche unendlich" gehen.

Zitat:
11) Eine Lücke liegt vor, an dem Punkt, wo die Funktion springt, diese muss behoben werden. Durch das beheben, kann die Funktion würde ich jetzt sagen nicht mehr springen. Aber wieso haben wir dann in der Schule immer geschrieben die Lücke bei z.b. x=1 wird behoben durch den Wert 2,5?

man kann nicht jede Lücke schließen, nur sogenannte hebbare Def.-Lücken (umgangssprachlich "Loch"). Polstellen sind nicht hebbare Lücken.
Schau dir lieber nochmal an, was stetig fortsetzen in hebbaren Lücken genau war.

Zitat:
12) Asymthode ist eine Gerade, an die sich der Graph einer Funktion für x in Richtung plus oder minus unendlich dichter annähert ohen sie zu berühren. Stimmt das? Ist doch dann das selbe, wie die Annäherung an einen Pol. Dies ist mir nicht so ganz klar.

darum nennt man diese senkrechten Polgeraden ja auch "Asymptote" Augenzwinkern
Die Formulierung "unendlich dicht" solltest du überdenken, "beliebig nah" klingt bei weitem besser.

Zitat:
und zu guter letzt:
13) Ein Volumen / Oberfläche soll minimiert bzw. maximiert werden, dazu wird eine HB und eine NB erstellt, die NB wird umgestellt, und in die HB eingesetzt. Dies diehnt dazu die Unbekannten Variabeln zu minimieren. Doch wieso wird bei der Berechnung von Minimas bzw. maximas noch eine Ableitung gemacht?

hast du je Funktionsextrema gesucht!?

Zitat:
Hoffe ihr könnt mir hier noch helfen.

ja, uff, dafür verdiene ich aber ein Eis
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aboria1985
3) Linearisierung dient dazu eine ausgeschriebene Funktion in einem Klammertherm wiederzugeben. f(x)=m(x-Nullstelle)(x-Nullstelle).

Erstens macht das nur Sinn bei Polynomfunktionen und zweitens ist "Linearisierung" der falsche Begriff, zumindest jedenfalls ungenau.
Besser: Zerlegung in Linearfaktoren. Aber Achtung: bei reellen Funktionen geht das nicht immer, z.B.: f(x) = x² + 1

Der Zusammenhang ist folgender:
Wenn ein Polynom p(x) eine Nullstelle x0 hat, dann kann man den Linearfaktor (x - x0) abspalten. Das heißt: es gibt ein Polynom q(x), das einen Grad weniger hat als p(x), mit: p(x) = (x - x0) * q(x)
Das Polynom q(x) findet man mit der Polynomdivision.

Noch was zu behebbaren Definitionslücken:
Untersuche mal die Funktion
Wo ist die Definitionslücke und mit welchem Funktionswert könnte man diese stetig beheben?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
3) Linearisierung dient dazu eine ausgeschriebene Funktion in einem Klammertherm wiederzugeben. f(x)=m(x-Nullstelle)(x-Nullstelle).


Linearfaktorenzerlegung heißt das. Und das bedeutet, dass du 1. entweder durch Herausheben oder 2. durch die binomischen Formeln eine Multiplikation schaffst.
Das ist zu folgendem gut:
Um die Nullstellen zu berechnen, musst du ja die Funktion 0 setzen.
Wenn du nun eine Multiplikation hast, die 0 ergibt, dann muss entweder der eine Faktor oder der andere Faktor 0 gewesen sein, denn sonst könnte niemals 0 herauskommen:

3 * 0 = 0
0 * 3 = 0
0 * 0 = 0

x³ - 3x² + x = 0

x*(x² - 3x + 1) = 0

entweder war x = 0
oder:
x² - 3x + 1 = 0 (mit pq-Formel weiter auflösen, dann bekommt man die restlichen Lösungen)

Das erleichtert die Lösungssuche. Denn ansonsten müsstest du die Nullstellen mit Polynomdivision oder Horner Schema etc. berechnen und das ist viel aufwändiger.

Außerdem:
Kennt man die Lösungen einer Gleichung höheren Grades, so kann man die Gleichung umschreiben in:
(Satz von Vièta)
(x - 1. Lösung) * (x - 2. Lösung) * (x - 3. Lösung) usw... = 0

und wenn man das ausmultipliziert, so bekommt man die ursprüngliche Gleichung wieder.

Das ist auch das, was man bei einer Polynomdivision macht.
Man dividiert z.b. eine Gleichung 3. Grades durch (x - 1. Lösung) durch und hat somit einen FAktor abgespalten, und es bleibt (x - 2. Lösung) * (x - 3. Lösung) übrig, eine quadratische Gleichung also, für die du die Lösungsformel kennst.

Zitat:
Hier erscheinen die Nullstellen in einem umgekehrten Vorzeichentherm doch wieso und stimmt die Aussage so?

Hab ich grad oben erklärt.
Das hat eben mit (x - 1. Lösung) zu tun:

z.b.
(x - (-1)) = (x + 1)...hier war die Nullstelle -1

Zitat:
4) Polynomdivison wird bei Gleichungen von x³ oder mehr angewandt. Um diese Abzuleiten (kann man das so sagen? Schließlich wird aus dem x³ ein x²) Glaub nicht, da man ja hinten die werte ohne x weiterbehält..... und nicht nach der Potenzregel Ableitet. Kann man es noch anderster erklären?


Hab ich oben erklärt. Man spaltet einen Linearfaktor (z.b. x - 1. Lösung) ab , dann bleibt nur noch (x - 2. Lösung) * (x - 3. Lösung) >> quadratische Gleichung mit x² übrig.
ABER DA HAST DU NIX ABGELEITET!!!!!!!!! Wehe, du sagst sowas, hihi.


Zitat:
5) Bei dem Differenzquotient gilt f(x plus delta x). Richtig?

Ich erklär dir das mal.

Wenn man die Steigung einer Geraden, die durch die Punkte A und B geht, berechnen will, dann braucht man zuerst einen Richtungsvektor.

Der lautet dann: VektorAB und wird berechnet, indem man B - A rechnet.



Wenn bei einem Richtungsvektor die x-Koordinate 1 ist, dann ist die y-Koordinate automatisch die STeigung der Geraden !!!!!!!!!!!! Das ist gaaaanz wichtig!!!!

das heißt, ich dividere nun den Vektor duch durch, damit oben 1 steht, dann lautet die y-Koordinate, also die Steigung der Geraden:

k = Steigung der Sekante =

und für y kann man f(x) einsetzen.

k = Steigung der Sekante =
Deswegen heißt ja das ganze auch Differenzenquotient, weil man eine Differenz bildet und die dann durchdividiert.

Für die Funktionskurve sucht man aber die Tangentensteigung.
Und der Unterschied zwischen Sekante und Tangente ist der, dass die Sekante durch 2 PUnkte der Kurve geht und somit hat man 2 Punkte und kann den Vektor berechnen und daraus die Steigung.

Das Problem bei der Tangente ist, dass die Tangente ja nur in EINEM EINZIGEN Punkt die Kurve berührt und wie soll man da nun einen Vektor berechnen, um auf die Steigung zu kommen???????

Daher hat man sich nun folgendes überlegt. Man nimmt den Tangentenpunkt und einen Punkt der Kurve weiter rechts drüben und legt eine Sekante durch. Nun lässt man diesen rechten Punkt immer näher die Kurve entlang zum Tangentenpunkt wandern und bildet immer wieder die Sekante und zwar so lange, bis der PUnkt sich so an den Tangentenpunkt angenähert hat, dass die faktisch schon die komplett gleichen Koordinaten haben.

Daher, wenn man nun die Tangentensteigung will, muss man unendlich an annähern (also den Grenzwert = limes bilden) und somit hat man dann die Tangentensteigung und DAS IST DANN DIE 1. ABLEITUNG.

daher:




so...mal genug für heute...
hoff, ich konnte dir helfen

lg kiki
Aboria1985 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo kikira,
ich weiss es ist ziemlich viel, aber könntest du mir vielleicht bitte auch noch bei den anderen fragen helfen?
Aboria1985 Auf diesen Beitrag antworten »

uff, wieder etwas wo ich nicht so ganz verstehe,

1) Wieso wird bei der Ermittlung der AS, der Zähler durch den Nenner geteilt? Ich weiss, das man das so machen muss, wenn m größer ist als n. Doch wieso überhaupt? Wenn m und n z.b. gleich sind kann man den Wert aus der Grenzermittlung einsetzten, bzw. wenn n größer ist als m, dann gilt für die Funktionsgleichung der AS, der Wert Null. Kann mir das jemand erklären, wieso man so rechnet, was da für hintergedanken sind?

2) Wieso wird der Rest der AS, (wenn die AS eine eigene Funktionsgleichung hat) gegen plus/minus unendlich gesetzt?

3) Was passiert, wenn man eine behebbbare Lücke nicht behebt bzw. wenn man sie behoben hat, wie verändert sich hier der Graph? Ich würde sagen, das dadurch der Pol verschwindet und die Funktion nun ganz normal (zusammenhängend "wahrscheinlich blöd ausgedrück") läuft.

4) Wieso schreibt man z.b. die Lücke bei dem x-Wert -1 wird behoben druch z.b. 4,5? Kann man hiermit noch etwas anfangen, bzw. muss man dies in die Funktionsgleichung einbauen? Oder muss ich jetzt die Kurvendiskussion mit der bereinigten Funktionsgleichung weiter führen?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
7) Grenzwert: Durch diesen ermittelt man, wie sich die Funktion an ihren Grenzenverhält, ob sie wenn x in richtung plus oder minus unendlich geht, y in richtung minus oder plus unendlich geht. Geht das auch so?


Eine Anwendung hab ich dir da oben bei der STeigung der Tangente gezeigt.
Alle hier anzuführen - da schreib ich ja bis in alle Unendlichkeit, also ohne limes, hihi...
Ich sag dir mal eine andere:
Man kann dadurch das Verhalten der Kurve im Unendlichen herausfinden.
Das heißt, wenn du für die x-Koordinate eine extrem hohe positive Zahl einsetzt, dann siehst du, wie die dazugehörige y-Koordinate wäre, und könntest somit sagen, wie die Kurve weiterhin verläuft im Plusbereich.
Dasselbe gilt für den Minusbereich.
Eine Kurve könnte z.b. von oben kommen, dann hat sie ihre speziellen Punkte (Nullstellen, Extremwerte und WEndepunkte) und geht dann nach rechts unten und wird niieeeeee wieder nach oben kommen, denn sonst hättest ja bei der Berechnung der Extremwerte noch einen Tiefpunkt herauskriegen müssen. Zum Beispiel
Sie kann aber auch von links oben kommen und geht dann nach rechts oben bis in alle Unendlichkeit weiter.
Das ist total verschieden.
Sie kann auch von links unten kommen, ihre Punkterln haben und dann nach rechts oben bis in alle Unendlichkeit weitergehen und wird nie wieder einen Bogen machen, um wieder herunter zu kommen.

Man kann damit auch die Polstellen nachweisen.


Zitat:
8) Subsitution: Form der Nullstellenberechnung, geht nur bei Hochzahlen die durch 2 teilbar sind z.b. x hoch 4. Es dürfen keine anderen Werte vorhanden sein. Form der Nullstellenberechnung.

Das ist nicht ganz richtig so.
Man kann DANN Substitution anwenden, wenn nur 3 Glieder da sind UND wenn man die niedrigere Potenz mit 2 multipliziert und die höhere dann herauskommt.

z.b.



dann setzt man für

denn dann ist

und kann quadratische Auflösungsformel anwenden.
Dann wieder zurückeinsetzen für u und man erhält alle 6 Lösungen, falls es hier alle 6 Lösungen überhaupt gibt, denn Nullstellen können immer welche wegfallen.

oder:



es würd auch mit x^4 und x^8 gehen...
die kleinere Hochzahl mal 2 muss die größere ergeben.



Zitat:
9) Annäherung von Rechts / Links an einen Pol, hier will man schauen wie sich y verhält, wenn man sich immer mehr an den Pol nähert, ob er minus oder plus unendlich geht. Auch so okay, oder eher zuwenig?

fällt z.B. auch unter Grenzwertbetrachtung 7)
das hab ich oben schon und loed hat das auch gut gesagt.

Zitat:
10) Ein Pol ist eine Unstetigkeitsstellte, hier springt die Funktion von minus unendlich nach plus unendlich. Ist das so ebenfalls okay, kommt mir irgendwie wenig vor. Die Funktion springt hier wegen der Lücke oder nicht? Hab dazu leider nichts gefunden.


Das ist nicht richtig so wie du das formulierst. Die Funktion kann von -unendlich nach -unendlich springen oder von +unendlich nach -unendlich oder von +unendlich nach -unendlich und so weiter und so fort, das kommt eben auf die Kurvengleichung drauf an.

Ich erklär dir das mal von Grund auf:

Die Kurvengleichung ist ja dazu da, dass du dir jeden beliebigen Punkt (x/y), der auf der Kurve drauf ist, berechnen kannst.
Das heißt, das x in der Gleichung steht für die x-Koordinate und das f(x) für die y-Koordinate.

Nun kanns vorkommen, dass du eine gebrochen rationale Kurve hast. Das heißt, die besteht aus einem Bruch und im Nenner steht irgendwo x oder x² oder x³ - irgendwas mit x eben.

Was darf man in der Mathematik NIE machen? - Durch 0 dividieren.
Das heißt, im Nenner darf NIEMALS 0 stehen.
Denn man weiß nicht, was z.b. 5 durch 0 sein sollte, denn man müsste sich ja fragen, wie oft 0 in 5 enthalten wäre. Und da gibts keine Antwort drauf.

Wenn nun also bei dir im Nenner irgendwo x stehen sollte, dann musst du sofort Definitionsmenge machen.
Denn es könnte ja sein, dass du, wenn du dir eine Wertetabelle machst und dir viele Punkte der Kurve berechnen willst, dass du dann mal auf die Idee kommst, für x genau die Zahl einzusetzen, wo der Nenner dann 0 wird.
Und in der Definitionsmenge muss man bekanntgeben, welche Zahlen man nur für x einsetzen darf, sodass der Nenner nicht 0 wird.

ich geb dir mal ein Beispiel:
nämlich das von Klarsoweit - das ist ein Super Beispiel:



da steht im Nenner x - also sofort Definitionsmenge machen

x - 1 darf NICHT 0 werden



und dann löst man das wie eine Gleichung auf:



Das heißt, man darf für x niemals 1 einsetzen, denn dann würde im Nenner 0 stehen und wenn du das in den TR eingibst, dann kommt für y error raus.

Das heißt, es GIBT KEINEN PUNKT, der die x-Koordinate 1 hat.
Daher ist hier die Funktion unterbrochen und du kannst nicht einfach die Kurve in einem Strich durchzeichnen. (= NICHT stetig)

Am besten macht man dann, wenn man zu zeichnen beginnt, gleich mal bei x = 1 eine parallele Gerade zur y-Achse und zeichnet die gleich mit rot. Denn das ist dann die Sperrgerade (=Asymptote), über die du die Funktion niemals drüberzeichnen darfst.
Sie nähert sich aber unendlich von links und von rechts dieser Asymptote an.
Und die Stelle x = 1 wird als Definitionslücke oder Sprungstelle bezeichnet.

Du kannst dir die Asymptote wie einen Bahnschranken vorstellen, der immer zu ist, das heißt, du kommst niemals drüber, du kannst höchstens unendlich lange nach rechts oder links weg entlanglaufen und in der Unendlichkeit wirst du diese Schranke dann irgendwann mal berühren und bei ihr angelangen, sodass du sie angreifen kannst.
Denn man sagt, dass eine Kurve und eine Asymptote sich in der Unendlichkeit treffen.

Nun gibt es aber MANCHMAL einen Trick, der einem hilft, das x aus dem Nenner wegzukriegen und dann braucht man nicht mal mehr Definitionsmenge machen, denn dann kannst ja für x alle Zahlen einsetzen, die du willst.
Und das nennt man dann Heben der Sprungstelle/Definitionslücke . Das geht aber nur manchmal, nicht immer.
Und die Funktion von Klarsoweit ist eine, bei der man das kann:

denn, wenn man die binomischen Formeln kann oder Herausheben oder Linearfaktorenzerlegung, dann sieht man, dass man den Zähler aufspalten kann nach der Formel:

a² - b² = (a - b) * (a + b)

denn:

x² - 1 = (x - 1) * (x + 1)

und nun würde seine Funktion so aussehen:



und da kürzt sich dann das (x - 1) weg und es bleibt übrig:



Und nun hat man kein x mehr im Nenner, keine Definitionslücke und daher auch keine Asymptote.

Zitat:
und zu guter letzt:
13) Ein Volumen / Oberfläche soll minimiert bzw. maximiert werden, dazu wird eine HB und eine NB erstellt, die NB wird umgestellt, und in die HB eingesetzt. Dies diehnt dazu die Unbekannten Variabeln zu minimieren. Doch wieso wird bei der Berechnung von Minimas bzw. maximas noch eine Ableitung gemacht?

hast du je Funktionsextrema gesucht!?

Also, das ganze schaut so aus:

Die Hauptbedingung ist die Formel dessen, was maximal oder minimal werden soll.

Nun schaut man sich die Formel an und überlegt, ob das eine Funktion ist, denn man muss das ja nachher ableiten und man darf nur Funktionen ableiten.
Wie erkennt man nun anhand der Gleichung, ob man eine Funktion vor sich hat?
Auf der linken Seite muss 1y oder 1A oder 1V oder 1O stehen und auf der rechten Seite darf nur eine einzige andere Unbekannte und Zahlen stehen. Deswegen wäre die Formel für das Volumen des Zylinders z.b. keine Funktion, denn:

V = r² * pi * h

links steht zwar 1V, aber rechts stehen 2 Unbekannte, nämlich r und h.

Und genau deswegen braucht man eine Nebenbedingung, die ebenfalls eine Formel sein soll, die einen Zusammenhang zwischen den Unbekannten der Hauptbedingung ( r, h) und einer gegebenen Zahl sein soll, damit man dann für eine Unbekannte in die HB einsetzen kann, damit auf der rechten Seite nur noch r oder nur noch h steht, denn dann hat man eine Funktion und kann schreiben:

V(r)
oder
V(h)

Nun soll ja das Volumen maximal werden.
Und wie macht man das, wenn man einen Extremwert (einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt) haben will?
Man macht die 1. Ableitung und setzt sie 0.

Und man will ja ein MAXIMALES VOLUMEN oder MINIMALES VOLUMEN (wonach eben in der Angabe gefragt wird)
und dann kriegt man für r die Zahl raus, bei der das Volumen ein Maximum oder Minimum wird.

wenn für r 2 Lösungen rauskommen, dann kann man entweder logisch überlegen, welche Lösung die richtige sein muss, man könnte aber im Zweifelsfall überprüfen, ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt, indem man r in die Krümmung einsetzt und schaut, ob es da links- oder rechts-gekrümmt war - eben wie man überprüft, ob Hoch- oder Tiefpunkt.


kann nimmer! hihi
lg kiki
Aboria1985 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und zu guter letzt:
13) Ein Volumen / Oberfläche soll minimiert bzw. maximiert werden, dazu wird eine HB und eine NB erstellt, die NB wird umgestellt, und in die HB eingesetzt. Dies diehnt dazu die Unbekannten Variabeln zu minimieren. Doch wieso wird bei der Berechnung von Minimas bzw. maximas noch eine Ableitung gemacht?

hast du je Funktionsextrema gesucht!? (versteh den zusammenhang nicht)



Zitat:
2) p-q-Formel dient zur Nullstellenermittlung einer Funktion 2. Grades, welche in der Normalform stehen muss. (genügt das für die mündliche oder gibt es noch andere hintergründe?)

ob das genügt, können wir nicht sagen, das entscheidet dein Lehrer; Herleitung oder so wäre z.B. auf jeden Fall noch als weitere Frage denkbar: Stichwort quadratische Ergänzung

Wie soll das gehen? Steh gerade auf dem schlauch. haben eigentlich immer p-q-Formel gemacht, entweder Faktorisierung o. Linearisierung.

Zitat:
7) Grenzwert: Durch diesen ermittelt man, wie sich die Funktion an ihren Grenzenverhält, ob sie wenn x in richtung plus oder minus unendlich geht, y in richtung minus oder plus unendlich geht. Geht das auch so?

sehe keine tolle Aussage dahinter, y kann z.B. auch ganz andere Dinge tun, du kannst auch Grenzwerte x gegen ganz was anderes berechnen etc.

Wie würdest du es dann ausdrücken, wenn man die Grenzwerte für die AS ermittelt, oder die Grenzwerte für die Kurvendiskussion?

Zitat:
9) Annäherung von Rechts / Links an einen Pol, hier will man schauen wie sich y verhält, wenn man sich immer mehr an den Pol nähert, ob er minus oder plus unendlich geht. Auch so okay, oder eher zuwenig?

fällt z.B. auch unter Grenzwertbetrachtung 7)
WENN du schon weißt, dass da ein Pol vorliegt, DANN geht y SICHER gegen + oder -unendlich.
Viel interessanter wäre hier die Bestimmnung der Polstellen und woran man sie erkennt.

Polstellen erkennt man doch, wenn man die Werte aus dem Definitionsbereich einsetzt (Werte an denen die Kurve nicht definiert ist). Ergibt der Nenner dann Null, und der Zähler eine Zahl liegt ein Pol vor. Reicht doch so aus oder?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

lies mal meinen post oberhalb
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Mal was ganz grundsätzliches:
Du bombadierst uns hier mit Fragen, die den Stoff von mindestens einem halben Jahr Mathe betreffen. Warum kommst du erst jetzt damit an?
Es wäre auch hilfreich, wenn du mal eine konkrete Aufgabe nehmen würdest, an der man mal das Thema diskutieren könnte. Ich hatte dir eine konkrete Aufgabe gestellt und statt daß du dich damit mal beschäftigst, stelltst du nur noch mehr Fragen. Bei der Fülle der Fragen weiß man langsam nicht mehr, was jetzt geklärt ist und was noch zu klären wäre.

So, und jetzt zum Thema Asymptoten:

Zitat:
Original von Aboria1985
1) Wieso wird bei der Ermittlung der AS, der Zähler durch den Nenner geteilt? Ich weiss, das man das so machen muss, wenn m größer ist als n. Doch wieso überhaupt? Wenn m und n z.b. gleich sind kann man den Wert aus der Grenzermittlung einsetzten, bzw. wenn n größer ist als m, dann gilt für die Funktionsgleichung der AS, der Wert Null. Kann mir das jemand erklären, wieso man so rechnet, was da für hintergedanken sind?

2) Wieso wird der Rest der AS, (wenn die AS eine eigene Funktionsgleichung hat) gegen plus/minus unendlich gesetzt?

Grundsätzlich geht es hier um gebrochen rationale Funktionen der Form .
Dabei seien p(x) ein Polynom vom Grad m und q(x) ein Polynom vom Grad n.
Jetzt gibt es 3 Fälle:

1. m < n:
Mit etwas Überlegung stellt man fest, daß für x gegen unendlich f(x) gegen Null geht. Die x-Achse ist also die Asymptote.

2. m = n:
Mit etwas Überlegung stellt man fest, daß für x gegen unendlich f(x) gegen eine Konstante c ungleich Null geht. Die zur x-Achse parallele Gerade a(x) = c ist also die Asymptote.

3. m > n:
Mit etwas Überlegung stellt man fest, daß für x gegen unendlich f(x) gegen plus bzw. minus unendlich geht. Man kann durch Polynomdivision auf folgende Form kommen:

Dabei ist a(x) ein Polynom und der Grad von p_1(x) ist niedriger als von q(x). Für x gegen unendlich geht also der Bruch gegen Null und übrig bleibt a(x) als Asymptote. Üblicherweise wendet man diese Verfahren an, wenn m=n+1 ist. Denn dann ist a(x) eine Gerade.

Jetzt zu den Definitionslücken:

Zitat:
Original von Aboria1985
3) Was passiert, wenn man eine behebbbare Lücke nicht behebt bzw. wenn man sie behoben hat, wie verändert sich hier der Graph? Ich würde sagen, das dadurch der Pol verschwindet und die Funktion nun ganz normal (zusammenhängend "wahrscheinlich blöd ausgedrück") läuft.

4) Wieso schreibt man z.b. die Lücke bei dem x-Wert -1 wird behoben druch z.b. 4,5? Kann man hiermit noch etwas anfangen, bzw. muss man dies in die Funktionsgleichung einbauen? Oder muss ich jetzt die Kurvendiskussion mit der bereinigten Funktionsgleichung weiter führen?

Zunächst die Frage: Was verstehst du unter einer "behebbaren Definitionslücke"?
Schauen wir uns dazu erstmal diese 2 Funktionen an:

f(x) = 1 / x
und


Wie man sieht, hat g(x) im Unterschied zu f(x) keine Definitionslücke bei x=0. Trotzdem ist die y-Achse Asymptote für g(x) und g(x) ist bei x=0 nicht stetig. Interessant sind die Definitionslücken, wo sich die Funktion stetig fortsetzen läßt. Es geht also im Grunde nicht um "behebbare Definitionslücken", sondern um "stetig behebbare Definitionslücken". Dazu muß man sich natürlich auch mit dem Begriff der "Stetigkeit" auskennen.
Eine solche Funktoin ist:

Diese hat an der Stelle x=1 eine Definitionslücke, aber keine Asymptote. Stattdessen läßt sie sich durch die Erweiterung f(1) = 2 stetig fortsetzen. Durch diese Erweiterung erhält man eine neue Funktion, die natürlich außerhalb von x=1 mit der ursprünglichen Funktion identisch ist, sich aber in x=1 unterscheidet. Die erste Funktion ist dort nicht definiert, die zweite Funktion hingegen ist dort definiert und zwar derart, daß sie dort auch noch stetig ist.
Aboria1985 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke euch, für eure Hilfe, denk das jetzt alles geklärt ist. Ihr hab es euch super erklärt. Auch wenn ich die Aufgaben von dir nicht gepostet hab, heist es noch lange nicht, das ich sie nicht gerechnet habe. Denn gerechnet hab ich jede. Hatten heute noch mal zuzweit unterricht nur mit dem mathe lehrer u. ich muss sagen es hat super geklappt dank euch. Warum ich jetzt erst damit komme... hab erst vor einer woche erfahren, das ich in die mündliche prüfung muss. War eigentlich nicht geplant. Vom Rechenweg hatte ich so gut wie keine Probleme. Nur das erklären ist etwas ganz anderes. Ich bin euch wirklich überaus dankbar.

Gruß Aboria
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »