Logarithmus - Gleichung

23.06.2006, 00:07

KopfZerbrochen

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Logarithmus - Gleichung

Hallo!

Bin nach gescheitertem Studium der Info-Technik nun dabei, meine Lücken aufzufüllen. Dies versuche ich nun, in dem ich unter anderem Mathematik-Vorkurs, Teubner durcharbeite. Gerade bin ich bei den Übungsaufgaben zu Kapitel 3, Logarithmen und beiß mir gerade die Zähne aus... Bitte seid so freundlich und helft - ich hab auch schon viel recherchiert aber ich kriegs ned einfach ned auf meine Aufgabe bezogen....

DIe Lösung ist bekannt, nur der Weg ist interessant:

Verzeiht bitte, dass ich mit dem integrierten FORMEL-Editor nicht zurecht kommen, ich vermise schonmal MAL- / GETEILT - Punkte.

Daher auch diese Schreibweise:

x = lg 5 MAL lg 20 PLUS (lg 2) HOCH 2

evtl nochmal textuell:
lg bezichnet den dekadischen Log.

X gleich dek.Log von 5 mal dek.log von 20 plus Klammer auf, dek.log von zwei, klammer zu, hoch 2.

Lösung: x = 1. Klar mit Taschenrechner völlig easy, es soll aber ohne gehn. WIE, bitte verratet mir, WIE?

23.06.2006, 00:13

20_Cent

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$\begin{eqnarray*} x=lg(5)*lg(20)+(lg(2))^2 \end{eqnarray*}$

meinst du das?

edit:

$\begin{eqnarray*} x=lg(5)*lg(20)+(lg(2))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \iff x=lg(20^{lg(5)})+lg(2^{lg(2)}) \end{eqnarray*}$

und jetzt das nächste log-gesetz, vielleicht klappts dann.
edit2: die 20 in 10*2 aufteilen, dann gehts.
mfG 20

23.06.2006, 00:19

kopfZerbrochen

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aaahhhhh! mercäääääää! Und ich hab den GANZEN Tag geahnt, dass es BANAL sein muss!!!!

23.06.2006, 10:42

KopfZerbrochen

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Damn! Leider komme ich bei der ganzen Umformerei auf keinen grünen Zweig, dafür immer tiefer in den Wald.

Wäre jemand so freundlich mir den riesigen Gefallen zu tun, die ganzen Lösungsweg exemplarisch für die anderen Aufgaben zu posten?

Bitte! Danke.

23.06.2006, 11:10

AD

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Alle beteiligten ganzen Zahlen, von denen Logarithmen gebildet werden, enthalten nur die Teiler 2 und 5. Gemäß den Logarithmenregeln $\begin{eqnarray*} \lg(a\cdot b)=\lg(a)+\lg(b) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lg\left(\frac{a}{b}\right)=\lg(a)-\lg(b) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lg(10)=1 \end{eqnarray*}$ kannst du nun alles auf $\begin{eqnarray*} \lg(2) \end{eqnarray*}$ zurückführen:

$\begin{eqnarray*} \lg(5) &=& \lg\left(\frac{10}{2}\right) = \lg(10)-\lg(2) = 1-\lg(2)\\ \lg(20) &=& \lg(10\cdot 2) = \lg(10)+\lg(2) = 1+\lg(2) \end{eqnarray*}$

Und dann folgt nach binomischer Formel ganz einfach

$\begin{eqnarray*} \lg(5)\cdot\lg(20)+(\lg(2))^2 = (1-\lg(2))\cdot (1+\lg(2)) + (\lg(2))^2 = 1 - (\lg(2))^2 + (\lg(2))^2 = 1 \end{eqnarray*}$

23.06.2006, 11:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von KopfZerbrochen
Wäre jemand so freundlich mir den riesigen Gefallen zu tun, die ganzen Lösungsweg exemplarisch für die anderen Aufgaben zu posten?

Welche anderen Aufgaben? verwirrt

verwirrt

Eine andere Variante geht so:
Wegen $\begin{eqnarray*} lg(20) = lg(10 \cdot 2) = 1 + lg(2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} lg(5) + lg(2) = lg(10) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} lg(5) \cdot lg(20)+(lg(2))^2 = lg(5) \cdot (1+lg(2))+(lg(2))^2 = lg(5) + lg(2) \cdot (lg(5) + lg(2)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = lg(5) + lg(2) = 1 \end{eqnarray*}$

@20_Cent: mit deinem Ansatz komme ich nicht weiter. verwirrt

verwirrt

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23.06.2006, 15:38

20_Cent

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Zitat:

Original von 20_Cent
$\begin{eqnarray*} x=lg(5)*lg(20)+(lg(2))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \iff x=lg(20^{lg(5)})+lg(2^{lg(2)}) \end{eqnarray*}$

und jetzt das nächste log-gesetz, vielleicht klappts dann.
edit2: die 20 in 10*2 aufteilen, dann gehts.

das nächste log-gesetz macht folgendes:

$\begin{eqnarray*} \iff x=lg(20^{lg(5)}*2^{lg(2)}) \end{eqnarray*}$

jetzt 20 = 2*10 und dann noch ein paar weitere log-gesetze...

$\begin{eqnarray*} \iff x=lg((2*10)^{lg(5)}*2^{lg(2)}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \iff x=lg(10^{lg(5)}*2^{lg(5)}*2^{lg(2)}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \iff x=lg(5*2^{lg(5)+lg(2)}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \iff x=lg(5*2^{lg(10)}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \iff x=lg(5*2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \iff x=1 \end{eqnarray*}$

23.06.2006, 15:40

AD

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Oh ja, es gibt viele Wege nach Rom. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.06.2006, 08:41

KopfZerbrochen

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Hallo!
Erstmal vielen Dank für eure beiden Lösungswege. Damit konnte ich meine nächsten Übungsaufgaben locker lösen.

Der Lösugnsweg zu dieser hier, ist mir jedoch - nach langem probieren und umformen - wieder schleierhaft:

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{10^{2+lg(9)}} \end{eqnarray*}$

Meine bisherigen Lösungsschritte, über deren Richtigkeit und Sinn ich mir mal relativ sicher bin:

$\begin{eqnarray*} x^{2} = 10^{2} * 10^{lg9} \end{eqnarray*}$ | logarithmieren

$\begin{eqnarray*} lg(x^{2}) = lg(10^{2} * 10^{lg9}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lg(x^{2}) = lg(10^{2}) + lg(10^{lg9}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lg(x^{2}) = lg(10^{2}) + lg(9) * lg(10) \end{eqnarray*}$

...

Möchte mir jemand helfen und Tips geben? Danke!!!!

27.06.2006, 08:45

Calvin

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Bis jetzt sieht alles richtig aus. Was ist denn lg(10)? Den lg(10²) würde ich erstmal so stehenlassen und die beiden verbliebenen Logarithmen auf der rechten Seite wieder zu einem zusammenfassen. Dann kann man die Lösung relativ leicht erkennen.

27.06.2006, 08:57

Maxl

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So, mittlerweile bin ich registriert. Es gilt also:

KopfZerbrochen <=> Maxl

Den (math.) Beweis tret ich an, sobald ich adäquate Fähigkeiten erworben habe...

So, vielen Dank für den Tip!

Ich löse also wie folgt weiter:

$\begin{eqnarray*} lg(x^{2}) = lg(10^{2}) + lg(9) * 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lg(x^{2}) = lg(10^{2}) + lg(9) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lg(x^{2}) = lg(10^{2} * 9) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lg(x^{2}) = lg(900) | DeLog. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} = 900 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 30 \end{eqnarray*}$

27.06.2006, 09:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von KopfZerbrochen
$\begin{eqnarray*} x^{2} = 10^{2} * 10^{lg9} \end{eqnarray*}$ | logarithmieren

Wozu da logarithmieren? verwirrt

verwirrt

Was ist denn $\begin{eqnarray*} 10^{lg9} \end{eqnarray*}$ ?

27.06.2006, 11:19

kikira

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..., wieso? Big Laugh

Big Laugh

zensiert! (klarsoweit)

28.06.2006, 07:51

Maxl

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Ah, $\begin{eqnarray*} 10^{lg(9)} = 9 \end{eqnarray*}$ ! Interessant. Is mir bisher noch ned aufgefallen.

Insofern is' das Logarithmieren wirklich fürn Lokus und die ganze Sache ungleich einfacher.

Nochmal von vorne, für potentiell Interessierte.

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{10^{2+lg(9)}} \end{eqnarray*}$

Lösung, nach Denkanstößen von ArthurDent editiert.

1) $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{10^{2} * 10^{lg(9)}} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{10^{2} * 9} = \sqrt{900} \end{eqnarray*}$

3) Ergebnis: $\begin{eqnarray*} x = 30 \end{eqnarray*}$

@ArthurDent & "der Scheinlösung x = -30":
Da hat er absolut Recht:
$\begin{eqnarray*} x^2 = \mp \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{9} = 3 \end{eqnarray*}$ Lösungen von Wurzeltermen per Def. immer positiv.

28.06.2006, 08:02

AD

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Schritt (1) und (4) sind überflüssig, man kann die Vereinfachungen auch unter der Wurzel vornehmen. Ja, sie sind sogar kontraproduktiv, denn mit Schritt (1) handelt man sich die Scheinlösung -30 ein!

28.06.2006, 09:01

Maxl

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Neue Aufgaben, diesmal mit dem natürlichen Log. zur Basis e.

1)
$\begin{eqnarray*} x = ln(\frac{7,63}{\sqrt{e^3}}) \end{eqnarray*}$

nach Umformen bin ich dann soweit angelangt:

$\begin{eqnarray*} x = ln(7,63) - \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Kann ich mit ln(7,63) noch irgendwas schlaues anfangen, sodass ich zur Lösung KEINEN Taschenrechner brauche oder war's das soweit?

2) Is mir die Lösung beim Eintippen selbst aufgefallen:
$\begin{eqnarray*} x = \{(\sqrt[3]{e})^2\}^{ln(8)} = e^{\frac{2}{3} * ln(8)} = e^{ln(\sqrt[3]{8^2})} = e^{ln(4)} = 4 \end{eqnarray*}$

28.06.2006, 09:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von Maxl
$\begin{eqnarray*} x = ln(7,63) - \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

OK, mehr geht nicht.

Zitat:

Original von Maxl
$\begin{eqnarray*} x = \{(\sqrt[3]{e})^2\}^{ln(8)} = e^{\frac{2}{3} * ln(8)} = e^{\sqrt[3]{8^2}} = e^{ln(4)} = 4 \end{eqnarray*}$

kleiner Schreibfehler:
$\begin{eqnarray*} x = \{(\sqrt[3]{e})^2\}^{ln(8)} = e^{\frac{2}{3} * ln(8)} = e^{ln(\sqrt[3]{8^2})} = e^{ln(4)} = 4 \end{eqnarray*}$

28.06.2006, 09:13

AD

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Zitat:

Original von Maxl
Kann ich mit ln(7,63) noch irgendwas schlaues anfangen, sodass ich zur Lösung KEINEN Taschenrechner brauche oder war's das soweit?

Nö, ohne TR war's das soweit.

Zu 2) Ist richtig, nur beim drittletzten Term hast du im Exponenten ein ln(...) vergessen.

EDIT: ...Sekunden zu spät im Ziel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.06.2006, 09:45

Maxl

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dankö!

Nochwas: Eigentlich wollt ich gerade wieder fragen, habe aber beim Latexen die Lösung gesehn. Scheint irgendwie in dieser Schreibweise "sichtbarer" zu sein, als auf dem Papier:

$\begin{eqnarray*} x = ln(\frac{0,23}{2e^2}) = ln(0,23) - (ln(2) + 2 ln(e)) = ln(0,23) - ln(2) -2 = -4,1628... \end{eqnarray*}$

Mein Problem war, dass ich den Flüchtigkeitsfehler beging, falsch umzuformen:

$\begin{eqnarray*} ... = ln(0,23) - 2 ln(e^2) = ln(0,23) - ln(e^4) = ln(0,23) - 4 = -5,47... \end{eqnarray*}$

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