Größter gemeinsamer Teiler

19.09.2008, 22:28

chaotix

Größter gemeinsamer Teiler

Guten Abend, ich hoffe mir kann jemand helfen

man soll zeigen dass $\begin{eqnarray*} a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = ggT(a,b)\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Ich hab in Wikipedia das Lemma von Bezout gefunden, und mit dem wird der Beweis zum Einzeiler.

Allerdings ist das eine Übung aus einer Gruppentheorie-Vorlesung und ich habe keine Ahnung von Zahlentheorie.

Gibt es eine andere Möglichkeit das zu beweisen?

19.09.2008, 23:02

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Hallo,
auch wenn es nicht unbedingt danach aussieht, sind aZ, bZ und dZ, wobei d = ggT(a,b) Mengen, und was muss man bei Mengen zeigen?

Richtig:
$\begin{eqnarray*} aZ + bZ \subset dZ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} aZ + bZ \supset dZ \end{eqnarray*}$

Eigentlich ist der Beweis ganz leicht zu führen.

$\begin{eqnarray*} aZ + bZ \subset dZ \end{eqnarray*}$
Hier reicht es zu zeigen, dass a und b in dZ liegen (trivial).

$\begin{eqnarray*} aZ + bZ \supset dZ \end{eqnarray*}$
naja und hier muss man nur zeigen, dass $\begin{eqnarray*} d \in aZ + bZ \end{eqnarray*}$ (da hilft das Lemma von Bezout Augenzwinkern

)

Achja, man sollte noch wissen, wie der ggT von zwei Zahlen definiert ist.

19.09.2008, 23:36

chaotix

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vielen dank für deine antwort smile

aber wenn ich das Lemma von Bezout ja doch brauche könnte ich doch das ganze auch so zeigen:

$\begin{eqnarray*} ggT(a,b)\mathbb{Z} = \left\lbrace ggt(a,b) n \vert n \in \mathbb{Z} \right\rbrace = \left\lbrace (s a + t b ) n \vert n \in \mathbb{Z} \right\rbrace = \left\lbrace a \cdot s n \vert n \in \mathbb{Z} \right\rbrace + \left\lbrace b \cdot t n \vert n \in \mathbb{Z} \right\rbrace = \left\lbrace a \cdot m \vert m \in \mathbb{Z} \right\rbrace + \left\lbrace b \cdot m \vert m \in \mathbb{Z} \right\rbrace = a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} s,t \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Das sollte doch auch gehen, oder nicht?

20.09.2008, 07:29

system-agent

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Du kannst auch die Definition von ggT nutzen:
$\begin{eqnarray*} d\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ heisst ggT von $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} d|a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d|b \end{eqnarray*}$ und wenn für jedes $\begin{eqnarray*} e\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} e|a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e|b \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} e|d \end{eqnarray*}$ folgt.

Nun hast du $\begin{eqnarray*} a\mathbb Z+b\mathbb Z=d\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und du musst nur noch den zweiten Teil der Definition zeigen [das mit dem $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ], denn der erste Teil ist offensichtlich.

20.09.2008, 08:04

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Zitat:

Original von chaotix
$\begin{eqnarray*} \left\lbrace (s a + t b ) n \vert n \in \mathbb{Z} \right\rbrace = \left\lbrace a \cdot s n \vert n \in \mathbb{Z} \right\rbrace + \left\lbrace b \cdot t n \vert n \in \mathbb{Z} \right\rbrace \end{eqnarray*}$

Eine gefährlicher, zumindest aber schlecht begründeter Schluss, wenn du ihn einfach nur so aufschreibst! Von rechts gelesen kann man erstmal lediglich

$\begin{eqnarray*} \left\lbrace a \cdot s n \vert n \in \mathbb{Z} \right\rbrace + \left\lbrace b \cdot t n \vert n \in \mathbb{Z} \right\rbrace = \left\lbrace s a n + t b m \vert n,m \in \mathbb{Z} \right\rbrace \end{eqnarray*}$

folgern, woraus nur

$\begin{eqnarray*} \left\lbrace a \cdot s n \vert n \in \mathbb{Z} \right\rbrace + \left\lbrace b \cdot t n \vert n \in \mathbb{Z} \right\rbrace \supseteq \left\lbrace (s a + t b) n \vert n \in \mathbb{Z} \right\rbrace \qquad (*) \end{eqnarray*}$

folgt. Dass hier dennoch Gleichheit gilt, liegt ausschliesslich an der speziellen Wahl von $\begin{eqnarray*} a,b,s,t \end{eqnarray*}$ gemäß Bezout. Für beliebige ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b,s,t \end{eqnarray*}$ gilt in (*) i.a. nicht Gleichheit.

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