Irrationalität beweisen

20.09.2008, 11:26

ajax2leet

Irrationalität beweisen

Ich versuche mich im Moment daran, die Irrationalität von
$\begin{eqnarray*} \sqrt{y^3 -2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \not = 3 \end{eqnarray*}$ zu beweisen.
Ich hab ein wenig recherchiert und herausgefunden, dass die Irrationalität von Wurzeln oft mithilfe des Arguments der eindeutigen Primfaktorzerlegung in Körpern beweisen wird.

Ich hab nur leider keine Ahnung, wie ich das auf die obige Gleichung anwenden kann Augenzwinkern

Vielelicht hat jemand ein Stichwort für mich?

20.09.2008, 11:33

Leopold

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Vor allem ist zu klären, wofür $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ steht. Soll das eine ganze Zahl sein?

20.09.2008, 11:40

ajax2leet

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Ahh, verzeihung, $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

20.09.2008, 12:13

Leopold

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Quadriert man die Gleichung und führt man suggestivere Bezeichnungen ein, so geht es um die Lösungen von

$\begin{eqnarray*} m^3 - n^2 = 2 \end{eqnarray*}$

in ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} m,n>0 \end{eqnarray*}$ . Da Geradzahligkeit und Ungeradzahligkeit beim Potenzieren erhalten bleiben, gibt es nur die Möglichkeit, daß $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ entweder beide gerade oder beide ungerade sind. Wären beide gerade, so wäre ihre Differenz durch 4 teilbar, könnte also niemals 2 sein. Daher müssen $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ beide ungerade sein.

Das fällt mir spontan zu dieser Gleichung ein.

20.09.2008, 12:25

ajax2leet

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Danke schonmal, aber von dieser Gleichung bin ich auf die Wurzel gekommen Augenzwinkern

Ich dachte, dass die Wurzel vllt. leichter zu lösen wäre.
Bei dieser Gleichung habe ich auch schon rausgefunden, dass $\begin{eqnarray*} ggT(m,n) = 1 \end{eqnarray*}$

20.09.2008, 12:35

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Die sich aus $\begin{eqnarray*} m^3-27 = n^2-25 \end{eqnarray*}$ ergebende Produktzerlegung

$\begin{eqnarray*} (m-3)(m^2+3m+9) = (n-5)(n+5) \end{eqnarray*}$

könnte nützlich sein.

20.09.2008, 14:25

ajax2leet

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Danke, ich denke das hat mir geholfen.

So sieht mein Beweis aus:

$\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m^3 - 27 = n^2 - 25 \Rightarrow m > n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m^3 - 27 =n^2 - 25 \Leftrightarrow (m-3)(m^2+3m+9) = (n-5)(n+5) \end{eqnarray*}$

Annahme $\begin{eqnarray*} n > 5 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \frac{m-3}{n-5} = \frac{n+5}{m^2+3m+9} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} m > n \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{m-3}{n-5} > 1 \Rightarrow \frac{n+5}{m^2+3m+9} > 1 \Rightarrow n > m^2+3m + 4 \Rightarrow n>m \end{eqnarray*}$ Widerspruch $\begin{eqnarray*} \Rightarrow n \leq 5 \end{eqnarray*}$

Durch einfaches Einsetzen erkennt man, dass $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} m=3 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit? Augenzwinkern

20.09.2008, 14:29

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Zitat:

Original von ajax2leet
$\begin{eqnarray*} m^3 - 27 = n^2 - 25 \Rightarrow m > n \end{eqnarray*}$

Kann ich absolut nicht nachvollziehen. Womit dein Beweis leider zusammenbricht.

Ich hatte auch eher in die Richtung gedacht, dass man die (zumindest fallweise gültige) Teilerfremdheit von Faktoren der obigen Produktdarstellung für die Argumentation nutzt.

20.09.2008, 14:40

ajax2leet

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Ahh, ja, dumm von mir smile

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