Exponentialfunktion

21.09.2008, 08:45

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Exponentialfunktion

Hallo Forum,

ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann. Für einige Hilfen wäre ich sehr dankbar.
China hatte im Jahr 1991 etwa 944 Millionen Einwohner.
Geburtenrate: 3,0% Sterberate: 1,1%
Nun muss ich die Funktion aufstellen, die das Bevölkerungswachstum beschreibt. Es handelt sich dabei um ein exponentielles Wachstum. Die Zeichnung soll für den Zeitraum 1975-2045 gemacht werden. (t=0 das entspricht Jahr 1991 )
Nach welcher Zeit würde sich die Bevölkerung verdoppeln, wenn das Wachstum unverändert anhielte? Wann hätte China 1 Mrd. Einwohner?

Gruß Sina

21.09.2008, 09:36

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sina,

Wie lautet denn eure Funktion für exponentielles Wachstum?
Kannst du auch gleich dazu sagen, für was die einzelnen Variablen stehen?
Versuche Sie doch gleich einzusetzen, wenn das der Fall ist.

21.09.2008, 09:45

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Roman,

die Funktion ist y= a0 * e^ kt

a0 steht für den Anfangsbestand
k steht für den Wachtumsfaktor

und mehr weiß ich auch nicht. Ich versuche seit Stunden diese Aufgabe zu lösen, aber irgendwie kann ich sie nicht lösen.

21.09.2008, 10:00

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir denn $\begin{eqnarray*} a_0\Leftrightarrow a_t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ in Jahren), auch in Form eines Wertes widergeben?
Das sollte denke ich möglich sein.
Genauso $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Dafür hast du doch die Sterbe- bzw. Geburtenrate.

Hinweis: $\begin{eqnarray*} 7 % \end{eqnarray*}$ Wachstum $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} k=1,07\,(107%) \end{eqnarray*}$ .

21.09.2008, 10:13

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich habe versucht eine Funktion aufzustellen und bin dann auf diese Funktion gekommen y= 944 * e^ 1,9t

21.09.2008, 10:19

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ richtig.
Schau dir nochmal meinen Hinweis genau an.
Bei dir hätten wir ein Wachstum von $\begin{eqnarray*} k=1,9\; (190%) \end{eqnarray*}$ .
Kann das sein?

Anzeige

21.09.2008, 10:24

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das kann nicht sein, aber ich habe die Sterberate, also 1,1% von der Geburtenrate 3,0% abgezogen, dann kam ich auf die 1,9%. Deshalb habe ich für k 1,9 stehen oder sollte es 0,019 heißen. Ich weiß nicht wie ich es machen soll. Ich rechne so eine Aufgabe zum ersten Mal.

21.09.2008, 10:32

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Vorgehensweise war schon richtig, du hast nur die $\begin{eqnarray*} 1,9 \end{eqnarray*}$ mit meinem Hinweis falsch interpretiert.
$\begin{eqnarray*} 1,9% \end{eqnarray*}$ Wachstum, bedeutet $\begin{eqnarray*} k =1,019\, (101,9%) \end{eqnarray*}$ .

Dann lautet deine Gleichung also richtig:

$\begin{eqnarray*} y(t)= 944 \cdot e^{1,019\cdot t } \end{eqnarray*}$

Zeichnen kannst du den Graph dieser Funktion nun leicht, indem du für die Variable $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ganze Zahlen einsetzt, welche für die Jahre vor oder nach $\begin{eqnarray*} 1991 \end{eqnarray*}$ stehen.

Hast du vielleicht selber eine Idee, wie du die letzten beiden Fragen angehst?

Noch ein Hinweis: $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ steht für die Einwohnerzahl nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ Jahren.

21.09.2008, 10:40

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich die letzten beiden Fragen versuche zu beantworten, habe ich noch eine kurze Frage. Wenn ich den Graph in das Koordinatensystem eintrage, müsste doch 944 Millionen Einwohner, also y=944 sein und der x-Wert müsste doch 0 sein oder??

21.09.2008, 10:42

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. Falls du einen Grafiktaschenrechnen zur Hand hast, kannst du das schnell verifizieren oder du nutzt einfach schnell den Funktions-Plotter auf der rechten Seite, unter Werkzeuge, in deinem Browser.

21.09.2008, 10:46

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es mit dem Funktions-Plotter versucht, aber irgendwie mache ich glaube ich etwas falsch. Der zeichnet den Graphen nicht.

21.09.2008, 11:31

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche den Graphen zu zeichnen, aber irgendwie blicke ich hier nicht durch. Könnte mir irgendjemand bitte helfen?

21.09.2008, 11:32

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sina,

Ich habe gerade eine Fehler in meiner Erklärung entdeckt.

$\begin{eqnarray*} k=0,019\,(1,9%) \end{eqnarray*}$ ist der richtige Wert. Hammer

Hammer

code:
1:	[plot=-50:50,-100:2000]944exp(0.019x)[/plot]

21.09.2008, 11:33

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso denn??? Jetzt blicke ich gar nicht mehr durch...

21.09.2008, 11:38

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch eine Frage..steht die -10 für 1981 oder wie soll ich das jetzt verstehen???

21.09.2008, 11:49

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Du setzt $\begin{eqnarray*} k=0,019 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} 1,9% \end{eqnarray*}$ das Wachstum der Einwohnerzahl pro Jahr ist, wie wir beide schon festgestellt haben.

Würdest du $\begin{eqnarray*} k=1,019 \end{eqnarray*}$ wählen, hätten wir nach dem ersten Jahr schon ein Zuwachs von mehr als dem Doppelten.

Das kann aber nicht sein.

Ich bin bei dem Wert k mit einer anderen Sache durcheinander gekommen.

Richtig ist, dass du für $\begin{eqnarray*} k=0,019 (1,9%) \end{eqnarray*}$ wählst.

Edit:

Das ich -10 gewählt habe hat damit nichts zu tun.
Ich erweitere die Grafik mal auf -50.

Sie dient lediglich dazu, den Verlauf zu verfolgen.

21.09.2008, 11:55

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss den Graphen von 1975-2045 in 10er Schritten zeichnen, dann müsste doch -10 1981 sein oder??

21.09.2008, 11:57

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig.

21.09.2008, 12:00

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie muss ich die Wertetabelle machen? Der Wert für x bzw. t = 10 ist doch der Wert für 2001 oder?

21.09.2008, 12:30

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie müsste ich diese Frage beantworten: Nach welcher Zeit würde sich die Bevölkerung verdoppeln, wenn das Wachstum unverändert anhielte?

Vielleicht so: y= 2*944*e^0,019*t

21.09.2008, 12:42

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das was ich eben geschrieben habe, ist doch falsch. Das müsste doch so heißen:
$\begin{eqnarray*} ln 2= 0,019 * t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln2 / 0,019 = t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t= 36,48 \end{eqnarray*}$

21.09.2008, 16:04

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das letzte Posting ist korrekt.

21.09.2008, 17:06

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe Wink

Wink

Gruß Sina

24.09.2008, 07:30

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

folgende Aufgabe ist mein Problem:

Das Wachstum verläuft ab dem Jahre 2005 gemäß der Funktion

g(t) = c-a*e ^ -k*t (t=0)

Nun musse ich a,c und k bestimmen, wenn sich die Bevölkerungszahl bei 1,5Mrd. Einwohnern stabilisieren soll, und für das Jahr 2015 die Bevölkerungszahl bei 1,26 Mrd. Einwohnern hochgerechnet wird.

Kann mir bitte jemand sagen wie ich beginnen soll.

Gruß Sina

24.09.2008, 10:30

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier liegt also Beschränktes Wachstum vor.

Für was steht denn die Variable c?

Wenn du c hast, lässt sich a damit ebenfalls sofort berechnen, denn du weisst g(0).
Damit wird die e^- k*0=1 und du hast nur noch g(0), c und a stehen.
Zu guter letzt die bekannte Information zum Jahr 2015 nutzen um k zu berechnen.

Gruß

24.09.2008, 17:01

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Variable c steht für den Anfangsbestand, also 1,5 Mrd. oder??

24.09.2008, 17:09

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, c steht für den Grenzwert oder Schranke.

24.09.2008, 18:29

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du damit?

24.09.2008, 18:33

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist der Wert, über den die Bevölkerungsanzahl nicht hinausgeht.

24.09.2008, 18:35

Sina

Auf diesen Beitrag antworten »

Also 1,5 Mrd. muss für c stehen, oder??

24.09.2008, 18:42

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber das c nennt man den Grenzwert oder die Schranke über den kein Funktionswert hinausgeht, nicht den Anfangsbestand.

24.09.2008, 19:10

Sinaaa

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das ist mir jetzt klar.
Wenn ich für c 1,5 Mrd. und t=o einsetze, sieht die Gleichung folgendermaßen aus: g(t)= 1500-a

24.09.2008, 19:16

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, nur das dein g(t)=g(0) ist, wenn du schon t=0 setzt, und diesen Wert kennst du.
Überleg mal scharf nach und schau eventuell nochmal auf die Aufgabenstellung.

24.09.2008, 19:20

Sinaaa

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dieser Wert vielleicht von der Teilaufgabe, die ich letztens gemacht habe?
Dann muss ich ja nur nachschauen, welche Bevölkerungzahl China im Jahre 2005 hatte und diese Zahl muss ich dann für g(t) bzw. g(o) einsetzen oder?

24.09.2008, 19:21

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig

Freude

24.09.2008, 19:22

Sinaaa

Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Vielen vielen Dank für die Hilfe. Wink

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »