Abbildungen (3) |
21.09.2008, 11:53 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Abbildungen (3) Überprüfe die folgenden Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität. a) , Das haben wir in der Vorlesung noch nicht so wirklich besprochen aber es ist in den Übungsaufgaben drin. Wie gehe ich denn jetzt sowas an? Hier sind 4 Variabeln drin. Ich kann mir nichtmals etwas unter dieser Funktion vorstellen. Wie überprüfe ich das auf Injektivität. Wir haben nur einmal eine Menge bewiesen wo das kartesische Produkt vorkam. Deswegen weiß ich nicht genau wie ich hier vorgehen muss. Fange ich so an? Seien mit dann gilt , wobei sich in folgender Form schreibt: mit . Ansatz richtig? Naja weiter wüsste ich nicht wie ich fortfahren soll. |
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21.09.2008, 12:06 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Prinzipiell schon, nur ist Deine Funktion nicht injektiv . Also Gegenbeispiel ! Zur Surjektivität nimmst Du an und zeigst das es ein gibt mit . Dieses ist sehr einfach! (für diese Funktion) |
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21.09.2008, 12:30 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist sehr einfach? Naja ich finds eher nicht einfach, bzw. ich weiß garnicht wie ich das zeigen soll |
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21.09.2008, 12:32 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Indem Du dir eine konkrete Belegung (x,y,z,w) wählst (die Abhängig von b ist) so das F(x,y,z,w) = b ist. Denk dran die Null ist dein Freund. Man wählt sich immer möglichst einfache Urbilder. Du kannst Dir völlig bel. reelle Zahlen wählen, es muss nur xw - yz = b gelten. |
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21.09.2008, 12:41 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Verstehe ich dich richtig? Ich wähle z.B und bekomme dann für und somit ist und damit surjektiv? |
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21.09.2008, 12:44 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Völlig falsch, ich sagte die Null ist Dein Freund, nicht Du sollst alles Null setzen. Surjektivität für eine Funktion f heisst, dass es für jedes x in der Bildmenge mindestens ein y in der Urbilmenge gibt mit f(y) = x. Allerdings hast Du schonmal einen Schritt in die richtige Richtung gemacht, nämlich die Variablen belegt. Es ist aber klar das eine der Variablen x,y,z,w etwas mit b zu tun haben muss. edit : Du hättest lediglich gezeigt das die 0 im Bild liegt, allerdings ist doch die Menge in die abgebildet wird etwas größer als {0}. edit2 : Du bringst auch die Kausalitäten durcheinandern. Du wählst zu erst ein und zeigst dann , dass es ein gibt mit f(x,y,z,w) = b. |
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21.09.2008, 12:47 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Mazze Hmm ja sorry dass ich das auf Anhieb nicht so alles verstehe, ich beschäftige mich erst seit kurzem damit. Kann ich , und wählen womit ich dann hätte. |
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21.09.2008, 12:48 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann hast Du nur gezeigt das die 5 im Bild liegt. Warum wählst Du nicht x = b? Du musst es doch allgemein zeigen. |
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21.09.2008, 12:51 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh mann natürlich, dann kommt raus. Das heißt es gibt für ein ein mit . Richtig? Jetzt war das alles unsauber, könntest du mir das Mal sauber aufschreiben, damit ich weiß wie die Argumentation so aussieht? Danke |
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21.09.2008, 12:57 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, die Surjektivität schreib ich auf. Du bleibst uns aber noch das Gegenbeispiel für die Injektivität schuldig Wir betrachten und zeigen das f surjektiv ist. Dazu wählen wir beliebig aber fest. Mit und haben wir für jedes Bildelement b ein Urbild (x,y,z,w) gefunden, so dass ist. Damit ist f surjektiv. |
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21.09.2008, 13:05 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, muss ich für die Injektivität auch die Variabeln fest belegen und zeigen dass es ein gibt mit für . |
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21.09.2008, 13:06 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist der Weg. Man sollte aber korrekterweise sagen dass Du zeigst, das f gerade nicht injektiv ist . (Mit Gegenbeispielen kann man Aussagen nur Widerlegen) |
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21.09.2008, 13:19 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, wir betrachten und widerlegen das injektiv ist. Dazu wählen wir mit und und mit und Somit haben wir gezeigt, dass für ein mit gilt: . Somit ist nicht surjektiv. Korrekt? |
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21.09.2008, 13:49 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
fast, schau Dir den Satz
genau an . |
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21.09.2008, 16:05 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
[Off-Topic:] Für gibt es übrigens die Kurzschreibweise Damit würdest Du Deine Beweise besser lesbar machen. |
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21.09.2008, 19:52 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Somit ist f nicht injektiv wollte ich sagen. Nächste Abbildung: b) Ich muss genauso vorgehen wie bei der anderen Aufgabe, aber was bedeutet Sind das 2 Funktionen, wegen dem Komma oder wie muss ich das deuten. Muss ich zu beiden eine Surjektivität oder Injektivität zeigen? |
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21.09.2008, 20:04 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du bildest ja in den ab, also bekommst du einen Vektor mit zwei Komponenten. Das Komma trennt die beiden Vorschriften wie die Funktion die einzelnen Koordinaten des Bildvektors berechnet. |
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21.09.2008, 20:24 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok ich verstehe. Damit ich zeige dass f surjektiv ist muss ich ja ein nehmen und zeigen dass es ein gibt mit . Man soll ja eine konkrete Belegung wählen in Abhängigkeit von . Aber mir fällt hier garkeine ein. Oder was mache ich wieder falsch? |
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21.09.2008, 20:27 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nana, aufpassen ! . Immer genau auf Definitions- und Wertebereich achten [insbesondere auch mit den Dimensionen]! Und was ist ? Betrachte mal und . |
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21.09.2008, 20:33 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm bin gerade verwirrt. Ich glaube es muss beides Element von sein. Was sagt mir das jetzt? |
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21.09.2008, 20:36 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, es muss beides ein Element von sein. Das sollte eigentlich ein Gegenbeispiel für die Injektivität sein, aber das hat nur geklappt weil ich mich verrechnet hatte . Musst du doch selbst suchen... |
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21.09.2008, 20:40 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich überleg schon die ganze Zeit aber komme auf keine vernünftige Belegung, die die Injekitivität widerlegt. |
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21.09.2008, 20:42 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Könnte daran liegen dass es injektiv ist Fange doch mal an: Sei . Zeige, dass dann . Hinweis: Zwei Elemente des sind genau dann gleich, wenn beide Komponenten gleich sein, das heisst falls und . |
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21.09.2008, 20:45 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ system-agent . Die Funktion ist injektiv, daher muss man den allgemeinen Beweis ansetzen. Dies sieht man schon an der zweiten Komponente. Wie man injektivität zeigt , hast Du ja vorher schon schön angefangen . edit : zu spät |
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21.09.2008, 20:48 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Mazze: Ich habe so eine dämliche Angewohnheit jedem Quadrat zu mistrauen bezüglich Injektivität |
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21.09.2008, 20:53 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau das wollte ich jetzt gerade in meinem Edit schreiben Irgendwie kommt mir das jetzt komisch vor dass zu zeigen. Seien mit dann gilt: Also: und Wie zeige ich jetzt dass gilt? Ich müsste zeigen dass es keine zwei Belegungen gibt wofür gilt: , aber wie mache ich das? Edit: Vielleicht mit der Belegung und ? Also im Prinzip geht es ja um . Dieser Term verändert sich für zwei verschiedene Zahlen und somit muss ja gelten aber wie kann ich das am besten zeigen? |
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21.09.2008, 20:59 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du weisst ja, dass . Diese beiden Vektoren sind gleich [nach Wahl der Urbilder]. Was bedeutet das nun für die zweite Komponenten? |
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21.09.2008, 21:00 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das bedeutet ansonsten würde das bedeuten die Abbildung ist surjektiv. |
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21.09.2008, 21:01 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man versteht dich nicht. |
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21.09.2008, 21:03 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es muss gelten sonst wäre die Abbildung nicht injektiv. Edit: Da falls |
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21.09.2008, 21:10 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hilf dir mal weiter: Wir wählen so, dass die Funktionswerte an diesen beiden Punkten gleich sein, das heisst . Wir haben dann zu zeigen. Nun was bedeutet ? Es bedeutet, dass . Das heisst diese beiden Bildvektoren sind gleich. Das heisst nach meinem Hinweis oben insbesondere, dass dann . Nun mach du weiter. |
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21.09.2008, 21:14 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und somit . Dann muss gelten , da ja beide Bildvektoren gleich sind und da bedeutet dass: |
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21.09.2008, 21:15 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Perfekt |
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21.09.2008, 21:18 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja Perfekt ist das noch lange nicht, aber dank dir kriege ich das immer besser in den Griff. Ich muss das jetzt erstmal verarbeiten und mir das ganze nochmal anschauen. Danach habe ich noch eine Abbildung die noch ein tick schwerer ist. Danke bis dahin und ich wünschte ich könnte dich auf ein Bier oder so einladen. Edit: Wir müssen ja noch widerlegen dass f surjektiv ist |
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21.09.2008, 21:23 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da machst Du das was ich Dir vorhin kurz gesagt habe, ein Gegenbeispiel finden. Also ein Element im Bildraum das kein Urbild hat.
Ich hab auch zu erst ein Gegenbeispiel gesucht und dann genauer hingeschaut |
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21.09.2008, 21:36 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich würde sagen dass das Ding surjektiv ist Nehme ein beliebig. Finde also so, dass . Es muss also sein, d.h. wähle . Damit ergibt sich Nun kann man entsprechend wählen. |
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21.09.2008, 21:48 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Müsste man dann y so wählen? Aber dann wäre doch sondern . Irgendwas bringe ich da wieder durcheinander. |
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21.09.2008, 21:49 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Ja, du bringst das durcheinander. Wir müssen ja lediglich die Koordinaten und wählen, denn das 2-Tupel ergibt ja den Vektor. |
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21.09.2008, 21:52 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt, logisch Also ist bijektiv, denn es ist ja injektiv und surjektiv. |
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21.09.2008, 21:54 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sieht ganz danach aus (sofern ich nicht einen sehr dämlichen Denkfehler drin hab ). |
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