Topologie

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27.06.2006, 00:51

gast001

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Topologie

Hallo!
Kann mir jemand sagen, ob die Menge T={X,leere Menge} U {(q,oo) : q aus Q} eine Topologie auf R ist?? verwirrt

27.06.2006, 09:53

Mazze

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Welche 3 Eigenschaften muss eine Topologie erfüllen? Und dann schau nach ob das für Dein Teilmengensystem gilt.

27.06.2006, 14:49

gast001

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Also die 3 Eigenschaften sind folgende:

( $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ =Topologie)
1) X und leere Menge liegen in $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$
2) A $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ , B $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ dann auch der Schnitt von A und B $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$
3) ( $\begin{eqnarray*} U_{\lambda } \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} _{\lambda } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ , dann auch die Vereinigung von $\begin{eqnarray*} U_{\lambda } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$

Also die erste Eigenschaft ist klar, denn X und leere Menge liegen in T.
Bei 2) bin ich mir nicht ganz sicher.....also ich hab gedacht dass die Mengenfolge (-1/n , 1/n) als Schnitt {0} hat, und da 0 nicht in $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ liegt ist T keine Topologie auf R.....
Weiß aber nicht ob ich so argumentieren kann verwirrt

27.06.2006, 15:54

Leopold

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Abgeschlossenheit des Systems der offenen Mengen bezüglich unendlicher Durchschnitte ist nicht verlangt. Versuche es einmal mit $\begin{eqnarray*} \bigcup~\left( q , \infty \right) \end{eqnarray*}$ , erstreckt über alle $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q^2>2 \end{eqnarray*}$ .

27.06.2006, 16:27

gast001

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Also dann ist $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ (q,oo>) = $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ??
Versteh aber nicht ganz deine Idee....

27.06.2006, 16:43

Leopold

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Zitat:

Original von gast001
Versteh aber nicht ganz deine Idee....

Und ich hatte schon gefürchtet, ich hätte zuviel verraten.
Denk noch einmal darüber noch und beachte die einschränkenden Bedingungen für $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ bei der Vereinigungsbildung.

27.06.2006, 17:00

gast001

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sorry kapierst immer noch nicht.......

hab mir aber folgendes gedacht:
Menge der rationalen Zahlen ist offen in Q, aber nicht offen (also abgeschlossen) in R, deshab ist T keine Topologie....
stimmt es??

27.06.2006, 17:20

Leopold

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So kannst du an die Sache nicht herangehen. Du darfst nicht die Gültigkeit einer anderen Topologie (hier der euklidischen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) unterstellen. In dieser Aufgabe wird vielmehr ein Mengensystem über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ vorgegeben, dessen Verträglichkeit mit den Axiomen für das System offener Mengen du überprüfen sollst. Wenn die Axiome erfüllt sind, dann hast du einen topologischen Raum und die offenen Mengen sind genau die in der Aufgabe angegebenen. Und wenn die Axiome nicht alle erfüllt sind, hast du eben keinen topologischen Raum und keine offenen Mengen.

Das Wort "offen" wird sozusagen durch das Mengensystem definiert. Mit Offenheit in anderen Zusammenhängen, wie du es sonst gewohnt bist, hat das nichts, aber auch rein gar nichts zu tun.

Überprüfe mein Beispiel, inwieweit es mit 3) verträglich ist.

27.06.2006, 17:50

gast001

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meinst du 2)?? Also mit dem Schnitt:
Ich würd mal sagen dass der Schnitt von Mengen gleich {oo} ist... verwirrt

27.06.2006, 17:52

Leopold

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Nein, ich meine schon 3). Versuche, dir erst einmal nur eine Menge der Vereinigung vorzustellen. Und was ergibt dann die gesamte Vereinigung?

27.06.2006, 18:01

gast001

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Also:
$\begin{eqnarray*} \bigcup (q,\infty )= \mathbb Q \end{eqnarray*}$ \ [-oo,2]
stimmt das?

27.06.2006, 18:34

Leopold

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Beachte, daß die Intervalle $\begin{eqnarray*} (q,\infty) \end{eqnarray*}$ reelle (!) Intervalle sind. Nur ihre untere Grenze $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist als rational festgelegt.

Um noch einmal das Beispiel festzumachen: Betrachte

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{0<q \in \mathbb{Q}, \ q^2 > 2}~\left( q , \infty \right) \end{eqnarray*}$

So liefert z.B. das Intervall $\begin{eqnarray*} \left(34 ; \infty \right) \end{eqnarray*}$ einen Beitrag zur Vereinigung oder das Intervall $\begin{eqnarray*} \left( 2{,}56 ; \infty \right) \end{eqnarray*}$ , aber auch das Intervall $\begin{eqnarray*} \left( 1{,}41422 ; \infty \right) \end{eqnarray*}$ , dagegen nicht das Intervall $\begin{eqnarray*} \left( 1{,}41421 ; \infty \right) \end{eqnarray*}$ und auch nicht das Intervall $\begin{eqnarray*} \left( -2{,}3 ; \infty \right) \end{eqnarray*}$ .

Überlege jetzt, ob die obige Vereinigung wieder vom Typ $\begin{eqnarray*} \left( q , \infty \right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist.

27.06.2006, 18:48

gast001

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ok, nochmal:
$\begin{eqnarray*} \bigcup (q,\infty ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ( \sqrt{2}, \infty) \end{eqnarray*}$
also ist vom Typ (q,oo)

27.06.2006, 20:38

Leopold

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RE: Topologie

Zitat:

Original von gast001
Hallo!
Kann mir jemand sagen, ob die Menge T={X,leere Menge} U {(q,oo) : q aus Q} eine Topologie auf R ist?? verwirrt

27.06.2006, 21:01

gast001

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oh man bin ich blöd Hammer

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ liegt ja nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ !!! deshalb ist T keine Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

vielen Dank für die Hilfe smile

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