endliche abelsche Erweiterung |
| 27.06.2006, 14:11 | PsychoCat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
endliche abelsche Erweiterung
zu 1.: E c L ist ja galoisch, folgt daraus nicht unmittelbar, dass auch K c E galoisch ist? zu 2.: Gal(L/K) ist abelsch, das muss ich mit Sicherheit verwenden. [L:E] ist gleich der Ordnung von Gal(L/E) und [L:K]=[L:E]*[E:K]. Wenn d [L:K] teilt, dann ist [L:K] = d*k und man könnte das so umformulieren, dass es eine Untergruppe von Gal(L/K) der Ordnung k geben muss. Aber warum das so ist hab ich leider keine Idee 
zu 3.: Das sollte ich mir wohl erst überlegen, wenn ich die 2 habe 
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| 27.06.2006, 17:58 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu 1, ich verwende deine Schreibweise: Sei K c E c L Körpererweiterungskette und L|K galoissch; dann ist L|E galoissch, weil..... E|K galoissch <=> Gal(L|E) ist NORMALTEILER von Gal(L|K) so ähnlich sagts der Hauptsatz, Gal(E|K) ist dann isomorphzur Faktorgruppe von.... Das E|K im Allgemeinen nicht galoissch ist, zeigt z.B. dieses einfache Beispiel: K=Q, L ist der Zerfällungsskörper von X^3-2 Findest du einen Zwischenkörper, der NICHT Zerfällugskörper einer Familie von Polynomen ist? Sicher. Soweit mal, über den Rest habe ich mir noch keine Gedanken gemacht. edit: achja, "abelsche Erweiterung" soll schon bedeuten, dass die Galoisgruppe abelsch ist, oder? So hatte ich das verstanden..... |
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| 27.06.2006, 20:01 | PsychoCat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, abelsche Erweiterung ist so definiert zumindest bei uns in der Vorlesung. Danke, dann verstehe ich die 1 glaub ich schonmal, da Gal(L/K) ja abelsch ist, ist jede Untergruppe normal (wusste ich vorher gar nicht, aber leicht zu sehen) und E c K somit galoisch. 
Werde jetzt auch nochmal über die 2 nachdenken. |
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| 27.06.2006, 20:33 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist ja relativ einfach mit den Untergruppen der abelschen Gruppen.... Sei U Untergruppe, dann ist sie normal, wenn für alle g gU=Ug ist. Na fällt dir was auf?
Wegen dem zweiten Beweis: erinnere dich, dass abelsche Gruppen als Produkt zyklischer Gruppen geschrieben werden können. Abelsche endliche Gruppen also als Produkt von Z/nZ-Gruppen. |
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| 27.06.2006, 23:25 | PsychoCat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja dass die normal ist hab ich schon gesehen
Hm kann ich meinen Beweis dann so aufbauen: Zerlege d=p1*...*pn in Primzahlen dann ist Gal(L/K) isomorph zu Cp1 x ... x Cpn x "irgendwas" und somit ist Cp1 x ... x Cpn Untergruppe der Ordnung d und es gibt einen Zwischenkörper derselben Ordnung. ? edit: ach die gesuchte Untergruppe ist dann das "irgendwas" oder? zu 3: Als Tipp haben wir noch bekommen wir sollten uns die Gruppe A5 ansehen. Die ist ja einfach, hat also keinen Normalteiler, was mich so auf Anhieb aber noch nicht sonederlich wetierbringt. |
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| 27.06.2006, 23:50 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ne, dass die Primteiler da auch wirklich so vorkommen, davon kannst du nicht ausgehen. Aber es sei , dann ist #G das Produkt der n_i. d als Teiler von G ist dann ein Teiler der Produkts. Für einen Primteiler von d muss dieser Primteiler auch in den n_i einen Wert teilen, wenn der Primteiler öfters vorkommt auch dementsprechend oft. => du kannst d so in ein Teilerprodukt zerlegen, dass die Faktoren je Teiler eines der n_i sind. [mir fällt grad keine bessere Formulierung ein]. Jede zyklische Gruppe Z/nZ hat zu jedem PTeiler von n eine Untergruppe (einfach), damit kannst du dann deine Gruppe zusammenbasteln. Etwas schlecht formuliert, vielleicht verstehst du's und sagst es besser! A5 ist nicht abelsch, also solltest du nun einen Teiler der Gruppenordnung (60) finden, zu der es keine Untergruppe gibt. Als Idee biete ich dir mal 30 an, denn eine solche Gruppe müsste Normalteiler sein (Index 2). |
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| 28.06.2006, 12:03 | PsychoCat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, dann hab ich erstmal noch eine allgemeine Frage: Wenn G abelsch, hab ich dann 2 verschiedene Darstellungsmöglichkeiten? Nämlich einmal mit Primzahlpotenzen und mit ? Habe beides schon gesehen und bringe das gerade nicht so zusammen. Dann versuch ichs nochmal: Zerlege d in Primfaktoren Dann gilt für : für ein und es es existieren dann jeweils die Untergruppen Aber ist dann auch das Produkt dieser eine Untergruppe von G? Im Allgemeinen sind Produkte von Untergruppen nicht wieder Untergruppen oder? Z.B. ist C2 Untergruppe von C4, aber C2 x C2 keine Untergruppe von C4 sonst müsste es schon die gesamte Gruppe sein und das ist sie nicht. Wenn dieses Produkt Untergruppe ist, dann könnte ich ja die Faktorgruppe bilden, denn dann hat diese die Ordnung ord(G)/d und es gibt einen Zwischenkörper mit [L:E] = ord(G)/d und es folgt [E:K]=d Wenn diese Untergruppe von A5 von Odnung 30 normal sein muss, dann bin ich fertig, denn A5 hat keine Normalteiler soweit ich weiß, weil sie einfach ist. Ich weiß allerdings gerade nicht warum diese Untergruppe normal sein muss. |
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| 28.06.2006, 18:13 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die Darstellung bei der k(i) ein Teiler von k(i+1) ist, ist mir bekannt, aber diese Zerlegungen sind ja (ohne Zusatzbedingung) eben nicht eindeutig und das brauchst du hier auch nicht. Deine andere Darstellung kenne ich nicht, aber ich nehme schon an, dass es sowas gibt. Es geht hier nicht um Produkte von Untergruppen, sondern um direkte Produkte. Da musst du schon aufpassen, insbesondere ist auch C2=Z/2Z KEINE Ugr. von C4=Z/4Z. Allerdings ist die Faktorgruppe keine Untergruppe von G!? Die Idee ist eher, dass du von jeder der Z/nZ eine geeignete Untergruppe wählst. Eine Untergruppe vom Index 2 ist IMMER Normalteiler. Überlege dir einfach, welche beiden Nebenklassen es gibt. Das ist einmal die "triviale" Nebenklasse und "der ganze Rest". |
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| 28.06.2006, 19:21 | PsychoCat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso ist C2 keine Untergruppe von C4? Das Element 2 hat doch Ordnung 2 oder nicht?
Oh Faktorgruppen sind keine Untergruppen? Hm dann nehme ich statt der einfach die ? bzw oder so wenn der jeweilige Primfaktor mehrfach auftritt und das komplette wenn er gar nicht auftritt.. Sag jetzt nicht wieder falsch
Aber dazu brauch ich doch meine Darstellung, was hilft es mir denn, wenn k(i) ein Teiler von k(i+1) ist
Ich find meine einfacher nachzuvollziehen 
Über die Untergruppe vom Index 2 muss ich gerade erstmal nachdenken. Ach und auch wenn das hier vll jetzt etwas viel wird, hab noch eine ganz doofe Frage: Ich soll hier zeigen, dass wenn Gal(L/K) einfach ist, dass dann L für jedes Minimalpolynom von einem Element aus L und nicht aus K Zerfällungskörper ist. Aber ist das nicht die Definition von normal?? Und ist nicht jede Galois-Erweiterung K c L normal?? |
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| 28.06.2006, 20:34 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nanana, C4 (ich verwende die Schreibweise Cn für Z/nZ jetzt auch mal!) hat zwar eine Untergruppe, die isomorph ist zur C2, aber die C2 selbst als C2 ist nicht Untergruppe davon. Das Element "1" hat in beiden Gruppen andere Bedeutungen, tatsächlich kannst du bei der Isomorphie der Untergruppe die 2 aus C4 auf die 1 der C2 schicken. Sei <a> eine zyklische Gruppe mit p*q Elementen, dann ist <a^p> eine Untergruppe mit q Elementen. Als Beispiel: Sei C18 die zyklische Gruppe in 18 Elementen und uns interessiert der Teiler 6. Dann haben wir 18=6*3 und "das dritte Element" erzeugt eine Untergruppe der Ordnung 6. Seien die Elemente also , dann wäre die Untergruppe , das geht natürlich mit jedem Teiler bei jeder Gruppenordnung (bei zyklischen Gruppen).
darüber reden wir, nachdem die andere Aufgabe abgeschlossen ist; der Denkfehler liegt, dass es ja nicht Zerfällungskörper EINES Polynoms sein muss. Nimm Q, adjungiere zwei Wurzeln, z.B. W(2) und W(3); ist dann der entstandene Körper der Zerfällungskörper des Minpols von W(2)? |
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| 28.06.2006, 22:56 | PsychoCat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja ok verstehe
Dann müsste es aber doch so gehen wie ich es oben beschrieben habe oder? Die Primfaktoren q von d haben jeweils eine Vielfachheit l und G besteht aus zyklischen Gruppen der Ordnung einer Primzahlpotenz p^m. Die Primfaktoren von d müssen dabei auch auftauchen und dann nehme ich jeweils die Untergruppen dieser zyklischen Gruppen mit Ordnung p^(m-l) (die gibt es ja wie du gerade gezeigt hast) und dazu nehme ich noch die zyklischen Gruppen der "ps" die in d gar nicht auftauchen. Das Produkt dieser Gruppen ist dann Untergruppe von G und hat die Ordnung ord(G)/d Was sagt mir der denn Grad 2 der Untergruppe HcG.. Das sagt mir, dass der Grad von G doppelt so groß ist wie der Grad von H. Wenn ich nun ein Element aus g G und nicht aus H daran multipliziere, folgt daraus, dass gH=H oder gH=G sein muss? Denn was dazwischen kann es ja nicht geben.. Achso also Zerfällungskörper ist der "kleinste" sozusagen. Dann muss ich da auch nochmal drüber nachdenken. |
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| 28.06.2006, 23:11 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nicht ganz, gleiche Primfaktoren können sich auch in mehreren der Faktoren "verstecken". Auch in der Schreibweise mit den Primpotenzen kannst du ja nicht sagen, dass eine Primzahl nur in genau einer der Gruppen verbraten wird. Nimm die Primzahl 2 in der Kleinschen Vierergruppe C2xC2..... Aber prinzipiell hast dus denke ich, das Problem ist hier wirklich die Formulierung!
Nix Grad, das nennt sich Index. gH=G wird nie auftreten für H ungleich G. Es gilt aber: die Nebenklassen sind disjunkt, die Nebenklassen vereinigt geben gerade ganz G. Index 2 => 2 Nebenklassen, die disjunkt sind, vereinigt sind sie G. Eine der Nebenklassen ist SICHER e*H=H, die andere muss dann ja G\H sein. Bleibt dann viel Spiel, um kein Normalteiler zu sein!? |
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| 28.06.2006, 23:34 | PsychoCat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh Gott ja stimmt, das wird ja eine Notationsschlacht sondergleichen.. Ich werde jetzt erstmal ins Bett gehen und morgen nochmal über den INDEX 2 nachdenken. Oder beim Einschlafen
Die andere Aufgabe ist dann nicht schwer oder? Wenn L nicht Zerfällungskörper von diesem Minimalpolynom wäre, dann müsste der Zerfällungskörper ein Zwischenkörper KcEcL sein, der der Untergruppe Gal(L/E) entspricht und diese wäre normal, weil EcL galoisch, insbesondere normal 
Das geht ja aber nicht, weil Gal(L/E) einfach ist und somit keine normalen Untergruppen hat.Vielen Dank an dieser Stelle nochmal LOED, ohne dich wär ich aufgeschmissen 
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| 28.06.2006, 23:44 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, das schaut gut aus; die Zwischenkörpererweiterungen sind natürlich insbesondere alle separabel - eine Kleinigkeit, die man auch nicht vergessen darf. Und dass ein Zerfällungskörper eines Polynoms die Eigenschaft erfüllt, Zerfällungskörper einer Familie von Polynomen..... Naja, ist eben eine kleine Familie. Damit ist der Zwischenkörper E galoiisch über K und insbesondere ist Gal(E/K) = Gal(L|K)/Gal(L/E), insbesondere muss Gal(L|E) normal sein! Jetzt folgt aus der Einfachheit direkt Gal(L|E)=Gal(L|K) oder ={e}. So voreilig mit "das geht nicht" solltest du also nicht sein (
), aber der Rest ist jetzt natürlich einfach (denn E muss dann L oder K sein).Achja, die Index2-Geschichte war bei uns ganz am Anfang auf dem Übungsblatt (oder wars im Tutorium?). Da hatten wir noch gar keine Ahnung von Galoistheorie, also suche die Hintergründe einiges weiter vorne in deinem Skript. Und nun wünsche ich dir gut zu ruhen! |
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