Verschoben! vektorrechnen

23.09.2008, 15:54

sonja88

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vektorrechnen

hallo!!! kann mir ev. jemand bei meinen wichtigen übungen helfen, ich bin ziemlich verzweifelt... wäre echt lieb!!!

1. Die Vektoren r bzw. s haben die Länge 3 bzw. 4 und schliessen den Zwischenwinkel ein. Bestimmen sie die länge der vektoren r+s und r-s.

Mein Ansatz:
ich habe nun herausbekommen, dass das skalarprodukt von rs 6 ist. ich bräuchte nun quasi den winkel zwischen r+s und r, dann könnte ich die länge bestimmen, aber wie bekomme ich den???

2. Hier fehlt mir leider jeglicher Ansatz...
Der Einheitsvektor e sei gegeben. beschreiben sie den räumlichen geometrischern Ort aller punkte X, welche die eigenschaft haben, dass x die bedingung ex=wurzel2/2 lxl

3. die aufgabe lautete: Es seien a und b zwei ortsvektoren mit demselben anfangspunkt, welche nicht auf einer geraden lieben. wir betrachten die menge aller ortsvektoren x=ra1+sb, wobei s und r zwischen 0 und 1 sindund r+s=1. Konstruieren sie den ortsvektor x und stellen sie eine vermutung über die endpunkte von x auf und beweisen sie diese.
ich habe nun festgestellt, dass die ep. auf einer gerade liegen, doch wie kann ich das beweisen (zumal mir ein ortsvektor für die geradengleichung fehlt)???

ich bin froh um JEDE hilfe, da die übungen noten fürs semester geben. also: danke schon jetzt und liebe grüsse.

23.09.2008, 16:15

mYthos

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Hallo!

Zu 1)

Aus dem Skalarprodukt und den Längen von r und s kannst du zunächst den Winkel zwischen r, s berechnen. In dem Differenz- Dreieck liegt bei r - s liegt die Seite r - s diesem Winkel gegenüber, im Dreieck der Vektorsumme ist es der Supplementärwinkel (Ergänzung auf 180°)

Zu 2)

Wie ist das Skalarprodukt denn definiert? (Betrag des 1. mal Betrag des 2. Vektor mal cos ... ). Daraus kannst du eine Gleichung erstellen. Dabei setze |e| = 1.

mY+

EDIT:

Zu 3)

Zu sehen, dass die Endpunkte auf einer Geraden liegen, ist schon mal sehr gut, aber noch weiss man nicht, auf welcher? verwirrt

verwirrt

Tipp:

Da r + s = 1, setze r = 1 - s
x = (1 - s)a + sb
x = ...

23.09.2008, 16:21

riwe

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RE: vektorrechnen

Zitat:

Original von sonja88
hallo!!! kann mir ev. jemand bei meinen wichtigen übungen helfen, ich bin ziemlich verzweifelt... wäre echt lieb!!!

1. Die Vektoren r bzw. s haben die Länge 3 bzw. 4 und schliessen den Zwischenwinkel ein. Bestimmen sie die länge der vektoren r+s und r-s.

Mein Ansatz:
ich habe nun herausbekommen, dass das skalarprodukt von rs 6 ist. ich bräuchte nun quasi den winkel zwischen r+s und r, dann könnte ich die länge bestimmen, aber wie bekomme ich den???

2. Hier fehlt mir leider jeglicher Ansatz...
Der Einheitsvektor e sei gegeben. beschreiben sie den räumlichen geometrischern Ort aller punkte X, welche die eigenschaft haben, dass x die bedingung ex=wurzel2/2 lxl

3. die aufgabe lautete: Es seien a und b zwei ortsvektoren mit demselben anfangspunkt, welche nicht auf einer geraden lieben. wir betrachten die menge aller ortsvektoren x=ra1+sb, wobei s und r zwischen 0 und 1 sindund r+s=1. Konstruieren sie den ortsvektor x und stellen sie eine vermutung über die endpunkte von x auf und beweisen sie diese.
ich habe nun festgestellt, dass die ep. auf einer gerade liegen, doch wie kann ich das beweisen (zumal mir ein ortsvektor für die geradengleichung fehlt)???

ich bin froh um JEDE hilfe, da die übungen noten fürs semester geben. also: danke schon jetzt und liebe grüsse.

wieso ist das skalarprodukt 6 verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

23.09.2008, 17:15

sonja88

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hallo!!!
vielen, vielen dank schon mal. irgendwie steh ich aber immer noch auf dem schlauch. habe weitergeknobelt und bin zu folgendem gekommen.

1. ja, hab vergessen, alpha ist pi/3 (sorry). jetzt versteh ich aber trotzdem nicht, wei ich dieses dreiech und deren winkel erweitern kann, da ja die winkel auf der gegenkathete nicht gleich gross sind. ist denn der winkel zwischen r und r+s pi/6?

2. bin nun so weit, dass ich für omega pi/4 erhalte. wie aber weiter und was ist hier ein geometrischer punkt???

3. ja, ich hab jetzt den tipp beherzigt und nach r aufgelöst (für mich praktischer, da ich vorhin schon r hatte). vielleicht bin ich auf nem holzweg, wenn ich nun weitermache und sage, dass ich eine gerade durch die endpunkte will. ich bekäme folgende parameterdarstellung: g: x=ortsvektor (???)+t (a-b). aber irgendwie bring das ja auch nichts. könnte ich eventuell die tatsache nutzen, dass das skalarprodukt eines rechten winkels 0 ist???

bitte helft mir, das wasser wieder zum fliessen zu bringen traurig

traurig

danke.

23.09.2008, 17:19

mYthos

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3) hast du vollkommen richtig gelöst. Es ist die Gerade durch die Endpunkte der beiden Vektoren. Deren Gleichung hast du auch richtig angegeben

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = a + t(\vec{a} - \vec{b}) \end{eqnarray*}$

2)
Skalarprodukt der beiden Vektoren

$\begin{eqnarray*} \vec{e} \cdot \vec{x} = | \vec{e} | \cdot | \vec{x} | \cdot \cos \omega \end{eqnarray*}$

Links ist nun der Wert aus der Angabe einzusetzen.

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt2}{2}| \vec{x} | = 1 \cdot | \vec{x} | \cdot \cos \omega \end{eqnarray*}$

Daraus folgt richtig, dass $\begin{eqnarray*} \omega = 45° \end{eqnarray*}$ sein muss.
Welche Punkte beschreiben nun (räumlich) alle möglichen Endpunkte des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ , welcher in allen Lagen einen Winkel von 45° mit dem feststehenden Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{e} \end{eqnarray*}$ einschließt?

1)
Nun hast du ein Dreieck mit den Seiten 3 und 4 und den von beiden eingeschlossenen Winkel 60°. Damit lässt sich doch die Länge der - wie schon gesagt - gegenüberliegenden Seite (r - s) berechnen. Analog bei r + s, diese liegt (in einem anderen Dreieck) dem Winkel von 120° gegenüber ...

mY+

23.09.2008, 17:57

Huggy

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Bei 1) gibt es noch einen anderen Weg:

Für jeden Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mid \vec{v} \mid^2=\vec{v}\cdot\vec{v} \end{eqnarray*}$ . Das kannst du auch für die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{r}+\vec{s} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{r}-\vec{s} \end{eqnarray*}$ anwenden.

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23.09.2008, 17:58

sonja88

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ich entschuldige mich an dieser stelle, dass ich ein wenig schwer von begriff bin.
3. reicht das für den beweis, bzw. wie kann ich beweisen, dass nun die endpunkte tatsächlich auf dieser gerade liegen?

2. nun, ich würde sagen, es sind alle punkte, die die steigung auf der gerade mit steigung 1 sind, oder die gleich weit entfernt sind von 0 wie der endpunkt von x.

3. kann ich die seite denn mit einer trigonometrischen funktion berechnen? da steh ich echt auf der leitung....

danke und herzliche grüsse.

23.09.2008, 18:05

riwe

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Zitat:

Original von sonja88
hallo!!!
vielen, vielen dank schon mal. irgendwie steh ich aber immer noch auf dem schlauch. habe weitergeknobelt und bin zu folgendem gekommen.

1. ja, hab vergessen, alpha ist pi/3 (sorry). jetzt versteh ich aber trotzdem nicht, wei ich dieses dreiech und deren winkel erweitern kann, da ja die winkel auf der gegenkathete nicht gleich gross sind. ist denn der winkel zwischen r und r+s pi/6?

2. bin nun so weit, dass ich für omega pi/4 erhalte. wie aber weiter und was ist hier ein geometrischer punkt???

3. ja, ich hab jetzt den tipp beherzigt und nach r aufgelöst (für mich praktischer, da ich vorhin schon r hatte). vielleicht bin ich auf nem holzweg, wenn ich nun weitermache und sage, dass ich eine gerade durch die endpunkte will. ich bekäme folgende parameterdarstellung: g: x=ortsvektor (???)+t (a-b). aber irgendwie bring das ja auch nichts. könnte ich eventuell die tatsache nutzen, dass das skalarprodukt eines rechten winkels 0 ist???

bitte helft mir, das wasser wieder zum fliessen zu bringen traurig

traurig

danke.

zu 1) mal dir halt das parallelogramm auf

dann hast du mit dem cosinussatz für die beiden diagonalen:

$\begin{eqnarray*} |\vec{r}\pm\vec{s}|=r^2+s^2\pm |\vec{r}||\vec{s}|\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$

wegnen $\begin{eqnarray*} cos(\pi-\alpha)=-cos\alpha \end{eqnarray*}$

23.09.2008, 18:14

mYthos

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Der letzte Punkt bei dir wird 1) gemeint sein.

3)
Du hast nichts mehr zu beweisen. Der Anfangspunkt ist A (Ortsvektor a), der Richtungsvektor (a - b). Für t = -1 erhältst du sofort den Punkt B (Ortsvektor b). Damit steht fest, dass es eine Gerade ist, welche durch die Endpunkte A und B der Vektoren a, b geht.

2)
Deine Beschreibung verstehe ich gar nicht.
Denke dir den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ so um $\begin{eqnarray*} \vec{e} \end{eqnarray*}$ gedreht, dass die beiden Vektoren immer vom selben Anfangspunkt ausgehen und miteinander auch immer den gleichen Winkel einschließen. EDIT: [Welche Linie beschreibt dann der Endpunkt von $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ ? In welcher Ebene liegt diese?] Dies trifft nicht zu!

1)
Greife den Vorschlag von Huggy auf (es ist im Prinzip ein verkappter Cos-Satz), der führt ganz schnell zum Erfolg.

mY+

23.09.2008, 18:18

sonja88

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nun bin ich doch noch etwas weiter und habe für länge r-s wurzel 13 und r+s wurzel 37. stimmt das?
danke

23.09.2008, 18:25

riwe

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Freude

23.09.2008, 18:39

sonja88

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3. juhu, fertig. danke
2. ehrlichgesagt weiss ich nicht, auf welcher linie die endpunkte liegen, da ich ja nicht weiss, wie lange mein x ist....

danke!!!

23.09.2008, 18:52

riwe

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3

verwirrt

23.09.2008, 19:58

mYthos

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@werner

Deine Zeichnung ist - wie immer - schön, trifft aber hier nicht die Tatsachen.
Es sind ja die Parameter r, s beide kleiner oder gleich 1!

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r + s = 1 \ \to \ r = 1 - s \ ; \ \ 0 \leq r,s \leq 1 \end{eqnarray*}$
________________________________________________

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = (1 - s) \vec{a} + s \vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{a} - s \vec{a} + s \vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{a} + s (\vec{b} - \vec{a}) \end{eqnarray*}$

[attach]8680[/attach]

@sonja88

Sieh dir zu 3) noch mal die Zeichnung an, dann ist es dir vielleicht noch klarer.

Zum anderen: Die Länge von $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ musst du nicht kennen, entscheidend ist, dass der Winkel zu $\begin{eqnarray*} \vec{e} \end{eqnarray*}$ immer gleich bleibt.

Meine vorige Aussage, dass es sich um eine Linie handeln müsse, ist nicht richtig, denn die Länge von $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ kann durchaus variieren. Es wird sich also um eine Fläche handeln. Welche Fläche beschreibt also eine Gerade, die sich um eine Achse ( $\begin{eqnarray*} \vec{e} \end{eqnarray*}$ ) dreht und mit dieser immer denselben Winkel einschließt?

mY+

23.09.2008, 20:19

riwe

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Zitat:

Original von mYthos
@werner

Deine Zeichnung ist - wie immer - schön, trifft aber hier nicht die Tatsachen.
Es sind ja die Parameter r, s beide kleiner oder gleich 1!

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r + s = 1 \ \to \ r = 1 - s \ ; \ \ 0 \leq r,s \leq 1 \end{eqnarray*}$
________________________________________________

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = (1 - s) \vec{a} + s \vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{a} - s \vec{a} + s \vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{a} + s (\vec{b} - \vec{a}) \end{eqnarray*}$

[attach]8680[/attach]

@sonja88

Sieh dir zu 3) noch mal die Zeichnung an, dann ist es dir vielleicht noch klarer.

Zum anderen: Die Länge von $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ musst du nicht kennen, entscheidend ist, dass der Winkel zu $\begin{eqnarray*} \vec{e} \end{eqnarray*}$ immer gleich bleibt.

Meine vorige Aussage, dass es sich um eine Linie handeln müsse, ist nicht richtig, denn die Länge von $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ kann durchaus variieren. Es wird sich also um eine Fläche handeln. Welche Fläche beschreibt also eine Gerade, die sich um eine Achse ( $\begin{eqnarray*} \vec{e} \end{eqnarray*}$ ) dreht und mit dieser immer denselben Winkel einschließt?

mY+

kannst du mir bitte den fehler klar machen verwirrt

verwirrt

ich denke dass meine zeichnung richtig ist, wegen $\begin{eqnarray*} 0\leq r+s \leq 1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} 0\leq r,s \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist das doch keine gerade verwirrt

verwirrt

23.09.2008, 20:34

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du mit deiner Zeichnung und dem Smiley verwirrt

verwirrt

überhaupt aussagen? Dass meine Überlegung nicht richtig ist, denke ich.

Die Ungleichung, die ich hingeschrieben habe, sagt lediglich, dass beide Parameter, also r, s zwischen 0 und 1 liegen sollen. Das ist doch keine Geradengleichung. r + s ist aber immer gleich 1, diese Summe liegt NICHT zwischen 0 und 1.

Bei dir ist jedenfalls der Richtungsvektor der Geraden nicht der Differenzvektor von a, b, wie es die Rechnung zeigt und daher stimmt das nicht.

mY+

23.09.2008, 20:49

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Was willst du mit deiner Zeichnung und dem Smiley verwirrt

verwirrt

überhaupt aussagen? Dass meine Überlegung nicht richtig ist, denke ich.

Die Ungleichung, die ich hingeschrieben habe, sagt lediglich, dass beide Parameter, also r, s zwischen 0 und 1 liegen sollen. Das ist doch keine Geradengleichung. r + s ist aber immer gleich 1, diese Summe liegt NICHT zwischen 0 und 1.

Bei dir ist jedenfalls der Richtungsvektor der Geraden nicht der Differenzvektor von a, b, wie es die Rechnung zeigt und daher stimmt das nicht.

mY+

ich habe eine höfliche frage gestellt, sonst nichts
(was willst du eigentlich immer mit den Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

verwirrt

)

ich sehe immer noch nicht, was an meiner skizze falsch und anders ist,
aber jeder wie er will, also ganz wie du meinst smile

smile

23.09.2008, 21:21

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich dir etwa unhöflich geantwortet? Dass das so rüberkommt, wollte ich nicht, entschuldige bitte. Ich muss mich aber mit dem (im Raum liegenden) Vorwurf auseinandersetzen, dass ich hier einen Schmarren verzapfe. Ich schlage vor, du sagst mir mal einfach, wo mein Fehler liegt, denn unsere beider Ansichten unterscheiden sich ja und können folglich nicht beide zutreffend sein. Und es soll doch bei Gott nicht so sein, wie jeder will oder wie ich will, sondern wie es der Aufgabe gemäß richtig ist. Bleiben wir also - schon im Interesse der Hilfesuchenden - sachlich.

Übrigens, dass

Big Laugh

bedeutet :big laugh:, breites Lächeln, ist also als durchaus positiv zu verstehen.

mY+

23.09.2008, 21:29

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Habe ich dir etwa unhöflich geantwortet? Dass das so rüberkommt, wollte ich nicht, entschuldige bitte. Ich muss mich aber mit dem (im Raum liegenden) Vorwurf auseinandersetzen, dass ich hier einen Schmarren verzapfe. Ich schlage vor, du sagst mir mal einfach, wo mein Fehler liegt, denn unsere beider Ansichten unterscheiden sich ja und können folglich nicht beide zutreffend sein. Und es soll doch bei Gott nicht so sein, wie jeder will oder wie ich will, sondern wie es der Aufgabe gemäß richtig ist. Bleiben wir also - schon im Interesse der Hilfesuchenden - sachlich.

Übrigens, dass

Big Laugh

bedeutet :big laugh:, breites Lächeln, ist also als durchaus positiv zu verstehen.

mY+

ich habe nie behauptet, dass du falsch liegst, das hast du,
aber das ist (mir) eh egal. da mach ich nicht so einen wind darum herum.

ich sehe nur nicht, worin sich unsere beiden zeichnungen unterscheiden,
und daher war meine frage, was ist an meiner falsch verwirrt

verwirrt

.

das sehe ich immer noch nicht.
meine beschreibt exakt den vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC}=\vec{b}-\vec{a} \end{eqnarray*}$
bzw. die punkte der strecke AB,
(woher soll ich wissen, wie man das korrekt nennt)
deine soweit ich erkennen kann auch

und jedem seien seine smileys gegönnt smile

smile

+

unglücklich

(ICH bin halt ein kindischer tropf)

23.09.2008, 22:40

sonja88

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hallo,
jezt bin ich wieder zurück, entschuldigung es hat ein wenig länger gedauert.
aber erstmals ein grosses dankeschön für eure mühe und die genialen zeichnungen.

jezt aber zu 3. handelt es sich also um ein kreissegment?

gruss.

23.09.2008, 22:43

mYthos

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@werner
Der dick gezeichnete rote Vektor schien a zu sein, offenbar ist er es nicht.
Da du deine Zeichnung nach meiner eingestellt hast, und noch mit dem unglücklich

unglücklich

, dachte ich, dass du meine als nicht richtig ansiehst. Sorry für das Missverständnis.

@sonja
Was meinst du bei 3) mit dem Kreissegment? Das ist doch das Beispiel, weswegen es gerade die lange Diskussion gab. Du meinst vielleicht 2). Da gibt's aber kein Kreissegment. Es ist ein Kegelmantel! Warum? Wie sieht der nun aus (Spitze, Öffnungswinkel)?

mY+

23.09.2008, 22:54

sonja88

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ich schein wohl schon etwas müde zu sein... huch, das war ja ne geburt, abe jezt hat es eeeendlich bei mir klick gemacht und das scheint nun auch logisch. ich war lediglich ein wenig verwirrt wegen "Fläche".
also, vielen, vielen dank für alle hilfe. nun werde ich meien kreditpünktchen morgen einheimsen Augenzwinkern

Augenzwinkern

danke also nochmals für die lange hilfe und sorry, ich wollte keine diskussion provozieren!
liebe grüsse und tschüss Wink

Wink

23.09.2008, 23:20

mYthos

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Fein, dass du alles verstanden hast. Der Kegelmantel ist eine Fläche, wenn auch keine ebene .. . Und für die Diskussion kannst du ja nichts, das kommt immer wieder mal vor und ist ja auch nichts Schlimmes. Im Gegenteil, sie soll ja zur Klärung beitragen.

Gute Nacht!

mY+

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