Kern, Dimension bestimmen

23.09.2008, 17:49

Dreamerkid

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Kern, Dimension bestimmen

Halli hallo , ich bin neu hier und hoffe Hilfe zu finden Big Laugh

Big Laugh

und zwar hab ich eine Aufgabe in der in den Kern und die Dimension bestimmen soll und hab so überhaupt keinen Plan wie das geht traurig

traurig

und zwar lautet die Aufgabe wie folgt :

Gegeben seien die Vektoren v1= (1,-1,1), v2=(2,1,1),v3=(3,0,2) in $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ und der Untervektorraum U=L(v1,v2,v3)

a) Prüfen sie ob (v1,v2,v3) linear abhängig ist. Stellen sie dazu ein lineares Gleichungssystem in der Form Ax=b auf und lösen sie es

b)Bestimmen sie den Kern von A und seine Dimension

c) was hat U mit dem bild von A zu tun ?

d) welche Dimension hat das Bild und was ist die Basis von U ?

also a) hab ich schon gemacht aba den Rest kann ich überhaupt nicht

23.09.2008, 19:38

Mazze

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Kann ich nicht hilft uns auch nicht. Wir wäre es mit Ansätzen

b) Sieh nach wie der Kern einer Abbildung definiert ist, und dann überlege wie man die Dimension einer Teilmenge von Vektorräumen bestimmt.

c) Überlege Dir was eine Linearkombination aussagt, und wie man linear kombinationen von 3 Vektoren als Matrix darstellen kann (das hast Du eigentlich schon gemacht).

d) Für Endomorphismen (linearen Abbildungen wo bild und urbildraum gleich sind) solltest Du eine Aussage für Kern und Bild kennen. (Stichwort direkte Summe).

24.09.2008, 11:26

VinSander82

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also für Aufgabe (a) musst du eigentlich nur als Beispiel v1 + v2 rechenen und erhältst das ergebnis??

Rechne mal aus, dann siehst du was raus kommt

uups ok

sagt mal an euch anderen , die es echt drauf haben. Gibt es auch eine andere weise als ich beschrieben habe , weil mit Gleichungssystem nach Ax = b, weiss ich grad auch nicht und würd mich interressieren

Ist die evtl. auch Voraussetzung zu den Aufgben (b) und weiter??

lg vinni

24.09.2008, 11:29

Romaxx

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RE: Kern, Dimension bestimmen

Zitat:

Original von Dreamerkid
...
also a) hab ich schon gemacht aba den Rest kann ich überhaupt nicht

24.09.2008, 11:47

VinSander82

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RE: Kern, Dimension bestimmen
@ Dreamerkid

sag mal schreibst du evtl. am Freitag die Zwischenprüfung in Mathe an der Uni-Hamburg??

LG Vinsander

24.09.2008, 11:55

VinSander82

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Zitat:

Original von Mazze
Kann ich nicht hilft uns auch nicht. Wir wäre es mit Ansätzen

b) Sieh nach wie der Kern einer Abbildung definiert ist, und dann überlege wie man die Dimension einer Teilmenge von Vektorräumen bestimmt.

c) Überlege Dir was eine Linearkombination aussagt, und wie man linear kombinationen von 3 Vektoren als Matrix darstellen kann (das hast Du eigentlich schon gemacht).

d) Für Endomorphismen (linearen Abbildungen wo bild und urbildraum gleich sind) solltest Du eine Aussage für Kern und Bild kennen. (Stichwort direkte Summe).

zu (a) Der Kern der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus V, die durch f auf den Nullvektor von W abgebildet werden. Sie bilden einen Untervektorraum von V. Ist f injektiv, dann enthält der Kern nur den Nullvektor.

das hlft mir aber nicht weiter oder muss man die vektoren in einem Gleichungssystem null setzten??

lg vinni

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24.09.2008, 11:57

Mazze

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Ist die evtl. auch Voraussetzung zu den Aufgben (b) und weiter??

(a) ist weder Voraussetzung für (b) noch für (c). Wenn Du (b) hast und weisst das für Endomorphismen auf einem VR V gilt :

$\begin{eqnarray*} V = \mathop{ker} A \oplus \mathop{Im} A \end{eqnarray*}$

dann kannst Du einen Teil der (d) bereits beantworten.

Zitat:

das hlft mir aber nicht weiter oder muss man die vektoren in einem Gleichungssystem null setzten??

Um den Kern zu berechnen lößt man in der Regel ein homogenes Gleichungssystem.

24.09.2008, 17:36

VinSander82

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wenn ihr mir für aufgabe (b) einen Start gebt, dann kann ich das evtl- lösen.

Nur das von Mazze verstehe ich nicht

ich will es auf jeden fall versuchen

Lg vinni

24.09.2008, 18:16

Mazze

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Du hast doch hier

Zitat:

Der Kern der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus V, die durch f auf den Nullvektor von W abgebildet werden.

schon richtig gesagt was der Kern einer Abbildung ist. Und Du kennst Deine Abbildung A. Was Du lösen musst ist $\begin{eqnarray*} Ax = 0 \end{eqnarray*}$ . Hätte nicht erwartet das man das wirklich sagen muss...

24.09.2008, 19:04

VinSander82

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uuih , dass hab ich jetzt auch eben mitbekommen

Das heisst also, dass ich das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 0\mid\cdot (-1) \end{eqnarray*}$ (addiert mit der ersten Zeile)

$\begin{eqnarray*} -x_{1} + x_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} x_{2} + x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x_{1} + x_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

soory ichhab auf mein blättern mein Durchblick verloren

und dann auflöse

24.09.2008, 19:06

Mazze

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Naja , fast. Das Gleichungssystem ist

$\begin{eqnarray*} x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x_{1} + x_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{2} + 2x_3= 0 \end{eqnarray*}$

24.09.2008, 19:23

VinSander82

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aaah ja, sorry Flüchtigkeitsfehler Gott

Gott

dann bekomme ich für
$\begin{eqnarray*} x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$

was bedeutet das jetz für den kern??

24.09.2008, 19:25

Mazze

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Zitat:

was bedeutet das jetz für den kern??

Das Du falsch gerechnet hast. Zeig mal Deine Schritte.

24.09.2008, 19:33

VinSander82

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hmm , ich hab nach Gleichungssystem aufgelöst

also , die letzte zeile mal -1 und dann mit der ersten addiert

weisst , wie ich mein ??

denk das wäre zu viel schreibaufwand

24.09.2008, 19:39

Mazze

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Wenn Dir das zuviel Aufwand ist kann ich Dir nicht helfen. Aber Du hast falsch gerechnet und ohne zu sehen was Du gemacht hast kann ich Dir nicht sagen wo.

24.09.2008, 19:57

VinSander82

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ok, ich versuch's nochmal

und gebe dir die lösungen

sieh bitte mein edit

scheisse, bin ich zu doof oder was, ich werde noch irre

ich bekomm das einfach nicht hin, ich bekomme immer null raus, was mach ich falsch??

24.09.2008, 20:31

Mazze

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Hui, da haben sich einige Fehler eingeschlichen. Sieht für mich nach fehlendem Grundverständnis des Gaussalgorithmus aus. Zunächst würde ich Dir raten das Gleichungssystem in matrixform zu bringen, dann sieht man mehr :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was Du gemacht hast verstehe ich ehrlich gesagt nicht. Wenn man Gauss korrekt anwendet und die zweite Zeile mit -1 multipliziert und auf die erste addiert kommt folgendes heraus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

ich bekomm das einfach nicht hin, ich bekomme immer null raus, was mach ich falsch??

Du wendest Gauss falsch an, bzw. machst irgendwas was nicht nachzuvollziehen ist. Hier mal ein Beispiel wie man ein GLS korrekt lößt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}x = 0 \end{eqnarray*}$

Multiplikation der ersten Zeile mit -2 und addition mit der zweiten Zeile ergibt :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}x = 0 \end{eqnarray*}$

Subtrahieren der ersten Zeile von der Dritten ergibt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & -4 \end{pmatrix}x = 0 \end{eqnarray*}$

Subtraktion der zweiten Zeilevon der dritten Zeile ergibt :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}x = 0 \end{eqnarray*}$

Lösung :

$\begin{eqnarray*} x_3 = t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = -4t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 = t \end{eqnarray*}$

Ich rate Dir dringend erst einmal die Grundlagen wie Gauss zu klären bevor Du überhaupt nochmal versuchst diese Aufgabe zu lösen.

24.09.2008, 20:43

VinSander82

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wieso hast du erst einmal die zweite Zeile mal -1 multipliziert und dann auf die erste addiert

sorry, WARUM????

24.09.2008, 20:46

Mazze

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 0\mid\cdot (-1) \end{eqnarray*}$ (addiert mit der ersten Zeile)

Deshalb. Lerne Dich odentlich auszudrücken Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Man multipliziert niemals die Zeile auf die drauf addiert wird (oder von der abgezogen wird), das ändert die Lösungsmenge (kein Wunder das Du auf 0 kommst). Man wählt sich eine Zeile aus, skaliert sie mit einem Faktor (multiplikation) und addiert sie zu einer anderen Zeile dazu. Wichtig ist, das sich immer nur genau eine Zeile pro Schritt ändert. Wenn sich zwei ändern hast Du was falsch gemacht.

24.09.2008, 20:53

VinSander82

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ja, aber das hab ich auch nicht gemacht..

bitte sag mir von dieser Aufgabe die Schritte, sonst verzweifel icvh

Ich kann auch nicht mehr warten, ich schreibe Freitag die klausur

pleeeease unglücklich

unglücklich

also

ich habe als letzte Matrix, wie du sie am Beispiel gerechnet hast, soweit ausgerechnet:

Ich hab da $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

raus:

x_1= ?
x_2 = ?
x_3 = ?

wie bist du auf die lösungen letztendlich gekommen??

24.09.2008, 20:55

Mazze

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Zitat:

bitte sag mir von dieser Aufgabe die Schritte, sonst verzweifel icvh

Ich habe Dir ein Beispiel vorgerechnet das SEHR nah an Deiner Aufgabe dran ist. Du must lediglich einige Zahlen ändern. Und mit anderen Zahlen multiplizieren.

24.09.2008, 21:07

VinSander82

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war das oben angegeben richtig??

24.09.2008, 21:10

Mazze

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So, zunächst einmal

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist richtig! Jetzt musst Du nur noch überlegen was Du eigentlich tust. Eigentlich hast Du ein Gleichungssystem :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn man das ausschreibt bekommt man

$\begin{eqnarray*} 2x_1 + x_2 + 3x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x_2 - 2x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0*x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Das solltest Du lösen können.

24.09.2008, 21:20

VinSander82

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ja aber dann ist doch $\begin{eqnarray*} 0 \cdot x_3 = 0 \Rightarrow 0 = 0 \end{eqnarray*}$

was soll ich dann oben in den anderen beiden zeilen noch einsetzen
danke, dass diu so viel Geduld mit mir hast

24.09.2008, 21:24

Mazze

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Zitat:

ja aber dann ist doch $\begin{eqnarray*} 0 \cdot x_3 = 0 \Rightarrow 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Welche reellen Zahlen kannst Du für $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ einsetzen so das die Gleichung stimmt?

24.09.2008, 21:42

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

ach du scheisse, natürlich alle aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

24.09.2008, 21:45

Mazze

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Ganz genau, und was macht man in so einer Situation? Man führt einen Parameter ein, so wie ich es oben gemacht habe (t).

24.09.2008, 21:55

VinSander82

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$\begin{eqnarray*} x_1 = -\frac{5}{4}t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = - \frac{t}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 = t \end{eqnarray*}$

bitte sag mir das es richtig ist

biiiiiiiiiiite geschockt

geschockt

24.09.2008, 21:58

Mazze

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Leider kann ich Dir das nicht sagen, weil es nicht stimmt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir haben

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

und wir haben $\begin{eqnarray*} x_3 = t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Die zweite Gleichung sagt

$\begin{eqnarray*} -2x_2 - 2x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} -2x_2 - 2t = 0 \end{eqnarray*}$ oder anders $\begin{eqnarray*} x_2 = -t \end{eqnarray*}$ . Die letzte Zeile machst Du. Kleiner (sehr wichtiger) Tip: Immer alles ordentlich aufschreiben!

24.09.2008, 22:11

VinSander82

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Ich glaub, ich bin wirklich super schlampig , wenn's um's schreiben geht

Naja
$\begin{eqnarray*} x_1 = -t \end{eqnarray*}$

P.S. meinst wir können noch die Dimension errechnen??

24.09.2008, 22:14

Mazze

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Genau, und das schöne bei Gleichungssystemen ist :

Wenn Du eine Lösung hast, kannst Du prima überprüfen ob Du richtig gerechnet hast, in dem Du die Lösung einsetzt.

Ich mach es hier mal vor. Ürsprünglich hatten wir

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt setzen wir unsere Lösung für x ein und erhalten

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-t \\-t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-t - 2t + 3t \\ t - t \\ -t - t + 2t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergo, richtig gerechnet.

Zitat:

P.S. meinst wir können noch die Dimension errechnen??

Wie ist denn die Dimension definiert ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.09.2008, 22:22

VinSander82

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du bist der Beste, danke smile

smile

Definition:

sei $\begin{eqnarray*} (v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ eine Basis eines Vektorraums (V,K). Dann heisst n die Dimension von V, geschrieben dimV=n oder $\begin{eqnarray*} dim_kV = n \end{eqnarray*}$

Das haben wir eigentlich schon durch unsere Spaltenanzahl gezeigt , oder

also n=3

deshalb dimV = 3

24.09.2008, 22:25

Mazze

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Nun gut, ich hoffe Du weisst das die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems einen Vektorraum aufspannt, unser Vektorraum ist

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 | x_1 = -t,x_2 = -t,x_3 = t\right\} \end{eqnarray*}$

Wie sieht eine Basis aus?

Zitat:

Das haben wir eigentlich schon durch unsere Spaltenanzahl gezeigt , oder also n=3 deshalb dimV = 3

Das ist falsch, die Spaltenanzahl der Matrix sagt nichts über ddie Dimension des Kerns aus (naja es sagt soviel aus das die Dimension höchstens 3 ist).

24.09.2008, 22:46

VinSander82

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Basis heisst hier
$\begin{eqnarray*} V = (v_1-t,v_2-t,v_3+t) \end{eqnarray*}$

24.09.2008, 22:47

Mazze

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Eine Basis besteht aus konkreten Vektoren.

24.09.2008, 22:52

VinSander82

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hmm, meinst also villeicht,dass $\begin{eqnarray*} V =(v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray*}$ ??

24.09.2008, 22:54

Mazze

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Das ist immernoch sehr unkonkret. Eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ wäre zum beispiel

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

Wir haben hier aber einen anderen VR.

24.09.2008, 23:18

VinSander82

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aha, ich denek ich weiss jetzt welche Basis die Vektorne haben

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.09.2008, 23:21

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Du denkst also man brauch 3 Vektoren um den Vektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -t \\ -t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

darzustellen? Du hast letztendlich nur wieder ein e Basis der R³ angegeben. Der Kern ist aber nicht der R³.

Da ich jetzt schlafen gehe : Eine Mögliche Basis wäre zum Beispiel :

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

Sprich der Kern ist Eindimensional. Als kleiner Trick : Die Anzahl der Parameter kann Dir die Dimension manchmal veraten. In dem Fall tut sie es, ein Parameter => Dimension 1.

24.09.2008, 23:27

VinSander82

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jetz stehe ich wieder auf dem schlauch

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
??

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