Durchschnitt und Vereinigung abgeschlossener Mengen

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Heine Borel 200006 Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnitt und Vereinigung abgeschlossener Mengen
HI!

Sei (X,d) ein metrischer Raum dann ist die Durchschnitt UNENDLICH vieler offener Mengen ja nicht mehr offen , die UNENDLICHE Vereinigung jedoch wieder offen.

Wie sieht es bei abgeschlossenen Mengen aus ?

Der schnitt unendlich vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen. Aber wie sieht es mit der Vereinigung unendlich vieler abgeschlosener Mengen aus ? ist diese auch wieder abgeschlossen ?


Danke
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Dann noch ein wenig die deMorganschen Regeln für das Komplement von Durchschnitten bzw. Vereinigungen angewandt, kannst du deine Frage selbst beantworten.
Heine Borel 200006 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ja!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein! Hast du deMorgan richtig angewandt?
Heine Borel 200006 Auf diesen Beitrag antworten »

So wie es aussieht nicht Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir eine Famlie abgeschlossener Mengen. Dann sind die Komplemente offen, und es gilt



Die rechts stehende Vereinigung ist also offen, und damit deren Komplement abgeschlossen.

Also: Nicht die Vereinigung, sondern der Durchschnitt belebig vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen.
 
 
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