Lineare Abhänigkeit

24.09.2008, 22:42

yo-man

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Lineare Abhänigkeit

Ich habe ein Problem. Und zwar lautet die Aufgabenstellung so:
Bestimmen sie x so, dass folgende Vektoren linear abhänig sind.

1 0 x-1
x 1 0
0 x 2x

soweit so gut. ich stelle meine gleichungssysteme auf.

also ich bekomme als ergebnis heraus, dass x=2 oder x=-1 sein muss.
und ich r,s,t allgemein wählen kann. also es war so herausgekommen: r=alpha
t=alpha
s=2*alpha

wenn ich das nun überprüfe, bekomme ich jedoch nicht den nullvektor raus.
kann mir jemand helfen?
ist sehr wichtig. morgen schreiben wir eine klausur

mfg

24.09.2008, 22:45

yo-man

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also die vektoren sind untereinander also:

vektor 1 (1) (x) (0)

vektor 2 (0) (1) (x)

vektor 3 (x-1) (0) (2x)

24.09.2008, 22:45

Dunkit

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Wieso (und vor Allem wie) willst du denn den Nullvektor rausbekommen? Verstehe ich nicht ganz.
Und benutze bitte Latex!

Edit: Achso, sorry es geht um lineare Abhängigkeit, ich dachte wir reden von UNabhängigkeit...
poste doch bitte mal die Rechnung---

24.09.2008, 22:47

yo-man

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die lineare abhängigkeit ist doch definiert unter:

wenn diese 3 vektoren mit irgendeiner zahl jeweils multipliziert und addiert werden, ergeben sie den 0 vektor und sind linear abhängig. weitere folge sie liegen in einer ebene, sind komplanar.

oder nicht?

24.09.2008, 22:48

Dunkit

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doch, siehe mein Edit von oben Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.09.2008, 22:52

yo-man

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also ganz einfach. ich will doch überprüfen ob mein x, dass ich herausbekommen habe richtig ist. dafür setze ich in die vektoren das x ein. und jetzt muss ich doch überprüfen ob für meine herausbekommen r,s,t das auch stimmt. dass ich mich nicht verrechneet habe.

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24.09.2008, 22:56

Dunkit

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Ja, das habe ich jetzt auch verstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

ABER: Wenn ich mich nicht vertan habe, stimmen deine errechneten x-Werte so nicht. Daher kann dein Vorhaben auch garnicht funktionieren...

Sagt dir der Begriff DETERMINANTE etwas?

24.09.2008, 22:57

yo-man

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nein sagt mir nichts

24.09.2008, 22:59

Dunkit

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Dann poste mal bitte deine Rechnung, wie du auf deine beiden x-Werte -1 und 2 gekommen bist

24.09.2008, 23:03

yo-man

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wie schreibe ich dass dann hier am besten?

ist so schwierig in dem fenster...

24.09.2008, 23:05

yo-man

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also ich hab erst mal die 3 gleichungen aufgestellt

dann umgeformt und dann kam ich irgendwann drauf,

dass *2t= -- t*x*x + t*x

da hab ich durch t geteilt, ich denke dass da mein fehler ist, weil ja theoretisch t 0 sein könnte oder?

24.09.2008, 23:10

Dunkit

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Zitat:

*2t= -- t*x*x + t*x

meinst du damit
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot t = -t \cdot x^2 + t \cdot x \end{eqnarray*}$ ?
Bitte LateX benutzen!

Selbst wenn du da jetzt durch $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ teilst (Was du tatsächlich nicht ohne weiteres darfst) sollte deine Lösung nicht $\begin{eqnarray*} x=-1 \lor x = 2 \end{eqnarray*}$ sein?!

Irgendwas muss da in der REchnung gründlich schief gelaufen sein.

24.09.2008, 23:13

yo-man

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nein es war
$\begin{eqnarray*} 2*t = - t*x^{2} + t*x \end{eqnarray*}$

24.09.2008, 23:14

Dunkit

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Genau das habe ihc doch geschrieben?! verwirrt

verwirrt

EDIT: Anmerkung: Das "Mal-Zeichen" ist $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ , falls du diesen Unterschied meinst.

24.09.2008, 23:16

yo-man

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nein den unterschied meinte ich nicht, hab das fragezeichen gemeint

24.09.2008, 23:20

Dunkit

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Das Fragezeichen gehört nicht zur Formel, das ist da, weil das Ganze eine Frage war:

Zitat:

Meintest du damit ... ?

24.09.2008, 23:30

yo-man

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kannst du mir jetzt helfen?

weil ich rechne daran schon 2h.

ich weiß nicht weiter. gib mir mal nen ansatz

24.09.2008, 23:39

Dunkit

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du hast den Fehler doch shcon gefunden:

Zitat:

da hab ich durch t geteilt, ich denke dass da mein fehler ist, weil ja theoretisch t 0 sein könnte oder?

24.09.2008, 23:40

yo-man

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das war aber die einzige möglichkeit.... ich komme einfach nicht weiter sonst... bzw. sonst weiß ich kein lösungsansatz. kannst du mir helfen?

24.09.2008, 23:43

yo-man

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hier nochmal die 3 vektoren sauber...

$\begin{eqnarray*} vektor 1 \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \\ 0 \end{pmatrix} vektor 2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \lambda \end{pmatrix} vektor 3 \begin{pmatrix} \lambda-1 \\ 0 \\ 2\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.09.2008, 23:45

Dunkit

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Du hattest doch schon
$\begin{eqnarray*} 2t = -tx^2 +tx \end{eqnarray*}$
Wenn du jetzt durch t teilen möchtest musst du eine Fallunterscheidung machen:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$

24.09.2008, 23:51

yo-man

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ja hab ich doch sochon... früher gemacht... das sind doch meine alten ergebnisse

24.09.2008, 23:51

yo-man

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hups die is ja garnet lösbar...

kannst du nicht mal versuchen diese aufgabe von vorne anzugehen?

24.09.2008, 23:58

Dunkit

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Also nochmal:

du hast die Gleichungen
$\begin{eqnarray*} r + t(x-1) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} rx + s = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sx + t(2x) = 0 \end{eqnarray*}$

Was hast du dann gemacht als nächsten Schritt?

25.09.2008, 00:00

yo-man

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nummero 1 nach r aufgelöst...

r = -tx + t

25.09.2008, 00:00

yo-man

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$\begin{eqnarray*} r = -tx + t \end{eqnarray*}$

25.09.2008, 00:03

yo-man

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diese dann eingesetzt in nummero 2

folgt daraus...

$\begin{eqnarray*} -txx + tx + s = 0 \end{eqnarray*}$

25.09.2008, 00:04

Dunkit

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ok, und weiter?

25.09.2008, 00:06

yo-man

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$\begin{eqnarray*} sx + t(2x) = 0 \end{eqnarray*}$

diese gleichung umgeformt in $\begin{eqnarray*} s = -2t \end{eqnarray*}$

25.09.2008, 00:07

yo-man

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die setzte ich dann gleich mit der anderen...

s=s

txx - tx = -2t

25.09.2008, 00:08

yo-man

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die setzte ich dann gleich mit der anderen...

s=s

$\begin{eqnarray*} txx - tx = -2t \end{eqnarray*}$

25.09.2008, 00:08

Dunkit

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} sx + t(2x) = 0 \end{eqnarray*}$ diese gleichung umgeformt in $\begin{eqnarray*} s = -2t \end{eqnarray*}$

Nein!
Da hast du wieder durch x geteilt!

Versuche doch mal $\begin{eqnarray*} -tx^2 + tx + s =0 \end{eqnarray*}$ nach s umzuformen, und dann in $\begin{eqnarray*} sx + t(2x) = 0 \end{eqnarray*}$ einzusetzen

25.09.2008, 00:10

yo-man

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$\begin{eqnarray*} txxx - txx + 2tx = 0 \end{eqnarray*}$

und dann wie weiter?

25.09.2008, 00:13

Dunkit

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Ich gebe dir die Strategie, die Arbeit machst du dann selbst:

Für $\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$ hat diese Gleichung genau eine Lösung.

Für $\begin{eqnarray*} t = 0 \end{eqnarray*}$ kannst du das Ganze vergessen! Tip: Was wären r und s, wenn $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ ?

25.09.2008, 00:15

yo-man

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lösung ist x=2 oder x=-1

25.09.2008, 00:16

yo-man

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wenn ich jetzt t oder sonst was ausrechne bekomme ich für t,s,r immer 0 raus.
das is ja die triviale lösung... das wär jo falsch

25.09.2008, 00:18

Dunkit

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nein.

Nagut, ich zeigs dir:

Für $\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$ darfst du durch t teilen und bekommst
$\begin{eqnarray*} x^3 - x^2 + 2x = 0 \end{eqnarray*}$
Ausklammern:
$\begin{eqnarray*} x(x^2 - x + 2) = 0 \end{eqnarray*}$
Daraus ergibt sich eine Lösung $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ !
Es bleibt noch $\begin{eqnarray*} x^2 - x + 2 = 0 \end{eqnarray*}$ , was aber nicht lösbar ist (quadratische Ergänzung!)

25.09.2008, 00:20

yo-man

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wenn das auch nicht lösbar ist, wie geht es dann weiter?

25.09.2008, 00:22

Dunkit

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Du hast doch vorher schon die Lösung $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ gefunden! Die ist es!!!
Dass $\begin{eqnarray*} x^2 - x +2 = 0 \end{eqnarray*}$ nicht lösbar ist heißt nur, dass es keine weiteren Lösungen gibt!

25.09.2008, 00:25

yo-man

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ja ok, aber wenn ich nun r,s,t ausrechne bekomme ich die triv. lösung raus oder sehe ich das falsch

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