Schema dividierte Differenzen

25.09.2008, 09:55

Blacks

Schema dividierte Differenzen

$\begin{eqnarray*} y[x_0,x_1,x_2] := \frac{y[x_1,x_2]-y[x_0,x_1]}{x_2-x_0} \end{eqnarray*}$ Hallo,
zunächst einmal bin ich mir nicht sicher, ob meine Frage hier hin gehört. Falls nicht, kann sie ruhig verschoben werden.

Mein Problem liegt im Grunde bei einer Schreibweise, die mir unklar ist.
Ich habe ein Schema zur Berechnung von dividierten Differenzen nach Newton, von dem ich jetzt nur die erste Zeile angebe:

$\begin{eqnarray*} x_n-x_0\quad ...\quad x_2-x_0\quad x_1-x_0 \mid \quad x_0 \quad \mid \quad y_0 \quad \mid \quad y[x_0,x_1] \quad y[x_0,x_1,x_2] \quad ... \quad y[x_0,...,x_n] \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} y[x_i,...,x_{i+k}] := \frac{y[x_{i+1},...,x_{i+k}]-y[x_i,...,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}, \\ k=1,...,n-i \end{eqnarray*}$

Nun verstehe ich aber nicht, was die eckigen Klammern bedeuten sollen.
$\begin{eqnarray*} y[x_0,x_1,x_2] \end{eqnarray*}$ ist ja definiert als $\begin{eqnarray*} y[x_0,x_1,x_2] := \frac{y[x_1,x_2]-y[x_0,x_1]}{x_2-x_0} \end{eqnarray*}$
Allerdings kann ich mir diesem Term nichts anfangen, weil mir die Bedeutung der eckigen Klammern ein Rätsel ist.

Ich denke, dass sollte kein Problem für euch sein und hoffe, dass mir schnell geholfen werden kann.

25.09.2008, 09:58

Dual Space

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RE: Schema dividierte Differenzen
Schau nach, wie $\begin{eqnarray*} y[x_i] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y[x_i,x_{i+1}] \end{eqnarray*}$ definiert sind. Dann ergibt sich alles von selbst.

25.09.2008, 10:08

Blacks

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Ich will ja nicht meckern, aber das war doch genau meine Frage...

Ich habe - zugegeben etwas umständlich - gefragt, was $\begin{eqnarray*} y[x_i,x{i+1}] \end{eqnarray*}$ bedeutet und du antwortest: schau nach wie $\begin{eqnarray*} y[x_i,x{i+1}] \end{eqnarray*}$ definiert ist verwirrt

Ist ja nicht weiter schlimm, aber:
In meinem Skript wirds nicht erklärt...gegoogelt hab ich und nicht vernünftiges gefunden...hab auch schon hier im Interpolations-Workshop nachgeschaut...aber das hat mir alles nicht geholfen.
Wäre nett, wenn du mir das einfach erklären könntest.

25.09.2008, 11:24

Airblader

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http://de.wikipedia.org/wiki/Neville-Ait...rte_Differenzen

Es gilt $\begin{eqnarray*} [x_i]f = f_i \end{eqnarray*}$ , so dass man eine Rekursion hat.

air

25.09.2008, 11:40

Blacks

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Den Artikel bei Wikipedia hab ich schon gelesen, aber da hab ich es auch nicht verstanden.
Und ich muss leider sagen, dass ich deine Gleichung auch nicht durchschaue, Airblader.

Vll kann ich es anhand eines konkreten Zahlenbeispiels besser verstehen.
Gegeben sind die 4 Punkte $\begin{eqnarray*} P_1=(0,0) \quad P_2=(1,1) \quad P_3=(2,5) \quad P_4=(3,14) \end{eqnarray*}$

In meinem Skript ist brechnet worden: $\begin{eqnarray*} y[x_1,x_2,x_3] = \frac{9-4}{2} = \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

Kann mir die Rechnung jemand erklären?

25.09.2008, 12:01

Dual Space

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Zitat:

Original von Blacks
Ich habe - zugegeben etwas umständlich - gefragt, was $\begin{eqnarray*} y[x_i,x{i+1}] \end{eqnarray*}$ bedeutet

Und ich habe - eigentlich sehr klar - geantwortet, dass du in deinen Mitschriften nachschauen sollst, denn dort steht das mit Sicherheit irgendwo oder sie sind unvollständig.

25.09.2008, 12:22

Blacks

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Ich bin nicht hier um mich zu streiten, ich habe einfach nur Hilfe erbeten.

Airblader hat versucht mir zu helfen. Seine Hilfe habe ich leider nicht verstanden und ich hoffe, dass er sich nochmal die Mühe machen wird, mir das zu erklären.

Du sagtest, dass ich in meinen Mitschriften nachschauen soll...
Ich bin nun wirklich nicht so bewandert in Mathematik wie du, Ariblader und wahrscheinlich die meisten hier. Aber ich bin mit Sicherheit nicht dumm.
Bevor ich mich hier an das Forum wende, dann habe ich meine Mitschriften und mein Skript schon etliche male durchsucht, das Internet durchforstet und die Suchfunktion des Forums genutzt. Allein deswegen schon, weil das Forum nicht die schnellste Hilfe ist.
Ich habe dir dann auf deinen ersten Post ganz freundlich geantwortet, dass ich in meinen Unterlagen nichts gefunden habe und gebeten mir zu helfen. Aber auf solche Kommentare, wie

"Und ich habe - eigentlich sehr klar - geantwortet, dass du in deinen Mitschriften nachschauen sollst, denn dort steht das mit Sicherheit irgendwo oder sie sind unvollständig. "

kann ich verzichten, das hilft mir nicht.
Wenn du mit mir darüber diskutieren willst, ob das in meinen Unterlagen steht oder nicht, muss ich ablehnen. Da habe ich weder Zeit noch Lust zu.
Mein Skript ist mit Sicherheit nicht unvollständig, meine restliche Aufzeichnungen sind es sicherlich. Aber das ändert nichts an meiner Lage.
Ich möchte einfach nur mein Problem lösen und das schaffe ich nicht alleine.

Kann mir daher vll jemand weiterhelfen?

25.09.2008, 12:36

Dual Space

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Zitat:

Original von Blacks
Da habe ich weder Zeit noch Lust zu.

Wenn es dir an Zeit mangelt, empfehle ich dir künftig deine Fragen ordentlich zu formulieren.

Und nochmal: Wenn in diesem Skript nicht steht, wie z.B. $\begin{eqnarray*} f[x_i] \end{eqnarray*}$ definiert ist, ist es unvollständig. Und hättest du deine Recherche richtig betrieben wärst du z.B. auf den Wiki-Artikel gestoßen, in dem ja offenbar steht was $\begin{eqnarray*} f[x_i] \end{eqnarray*}$ bedeutet. Lad deinen Frust also nicht bei mir ab.

Außerdem habe ich meine Antwort bewusst in dem Wortlaut deiner Kritik formuliert. Wenn du das als unhöflich empfindest, ist mir nicht klar, wie du daran

Zitat:

Original von Blacks
Ich habe dir dann auf deinen ersten Post ganz freundlich geantwortet, dass ich in meinen Unterlagen nichts gefunden habe und gebeten mir zu helfen.

festhalten kannst.

Auch ich bin nicht hier um zu streiten, also erspar mir weitere Rechtfertigungen. Ich bin mit dir und dem Thema durch. Dass du mit zweierlei Maß misst hätte mir schon hier bewusst sein sollen.

25.09.2008, 12:51

Airblader

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Ich halte mich von der aufkommenden Diskussion mal schön raus und bleibe am Thema:

@Blacks
Ich habe, zugegebenermaßen, von diesem Thema keinerlei Ahnung. Ich habe mir lediglich die Definition angeschaut und würde versuchen, diese umzusetzen.

Zum Einen ist der "Muster-Rechenweg" für mich ziemlich kurz, zum anderen erhalte ich ein klein wenig was anderes.

Wenn ich die Definitionen auf dein Beispiel anwende, so erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} y[x_1,x_2,x_3] = \frac{y[x_2,x_3]-y[x_1,x_2]}{x_3-x_1} = \frac{1}{2}\left(y[x_2,x_3]-y[x_1,x_2]\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{y[x_3]-y[x_2]}{x_3-x_2} - \frac{y[x_2]-y[x_1]}{x_2-x_1}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}\left(y[x_3]-y[x_2] - y[x_2]+y[x_1]\right) = \frac{1}{2}\left(f_3-f_2-f_2+f_1\right) = \frac{1}{2}(5-2\cdot 1 + 0) = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Aber wie gesagt - ich weiß darüber nichts. Ich hab damit lediglich versucht, die Definitionen anzuwenden.

Im Übrigen wird $\begin{eqnarray*} P_4 \end{eqnarray*}$ so gar nicht verwendet und ich bin auch einfach mal von

$\begin{eqnarray*} P_i = (x_i,f_i) \end{eqnarray*}$

ausgegangen.

air

25.09.2008, 13:10

Blacks

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Ich finde, ich habe in meinem ersten Post deutlich geschildert, was ich nicht verstehen, bzw. was mein Problem ist. Ich weiss nicht, wie das die anderen Leute hier sehen, aber wenn es wirklich so undeutlich war, werde ich mir in Zukunft mehr Mühe geben.

Dann ist mein Skript eben unvollständig. Aber das ist nicht meine Schuld und ändert auch nichts an meinem Problem. Denn genau diesen Punkt, der scheinbar in meinem Skript fehlt, versuche ich nachzuarbeiten.

Zu dem Wiki-Artikel hab ich mich auch schon geäußert. Ich habe ihn schon vor Airbladers Hinweis gelesen und nicht verstanden.

Habe ich irgendwas von unhöflich oder unfreundlich gesagt?
Wir sind keine Mädchen. Ich hab mich hier nicht über deine Formulierung beschwert. Wie du deine Sätze formulierst ist mir nicht so wichtig. Mir liegt nur an dem Inhalt. Und ich habe lediglich gesagt, dass mir deine Kommentare bisher nicht geholfen haben. Ich habe auch erklärt wieso sie das nicht tun.

Und dann stellst du hier nen Link rein, der über ein Jahr alt ist. Was willst du mir damit sagen? Ich weiss, dass ich damals überreagiert habe. Das gebe ich zu. Aber ich war nicht der einzige, der subjektiv argumentiert hat. Das war ein Streit, die Sache ist abgehackt.
Das Thema hier ist ein ganz anderes.

Jetzt zu Airblader:

Danke erstmal, dass du dir trotzdem die Mühe machst.
Der "Muster-Rechenweg" ist in der Tat sehr kurz, aber ich habe nichts weggelassen, was hilfreich wäre.

Aber trotzdem hast du mir weitergeholfen. Ich habe beim Abtippen der Punkte einen Fehler gemacht. Es ist richtig: $\begin{eqnarray*} P_0=[0,0]\quad P_1=[1,1]\quad P_2=[2,5]\quad P_3=[3,14]\quad \end{eqnarray*}$
Deine Rechnung ist also richtig und mir den richtigen Punkten kommt man auch auf das Ergebnis aus dem Skript.

Jetzt hab ich es verstanden.
Danke!

25.09.2008, 13:19

Dual Space

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Zitat:

Original von Blacks
Ich habe - zugegeben etwas umständlich - gefragt, was $\begin{eqnarray*} y[x_i,x{i+1}] \end{eqnarray*}$ bedeutet

Zitat:

Original von Blacks
Ich finde, ich habe in meinem ersten Post deutlich geschildert, was ich nicht verstehen, bzw. was mein Problem ist.

Nach nochmaligem Lesen des Threads gebe ich dir allerdings hierbei recht.

Zitat:

Original von Blacks
Ich hab mich hier nicht über deine Formulierung beschwert. Wie du deine Sätze formulierst ist mir nicht so wichtig. Mir liegt nur an dem Inhalt. Und ich habe lediglich gesagt, dass mir deine Kommentare bisher nicht geholfen haben.

Da habe ich wohl irgendwo etwas falsch verstanden. Sorry dafür.

25.09.2008, 13:36

Blacks

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Es war wirklich ausführlich, aber nicht deutlich.
Da hast du Recht. Mein Problem war nicht gut formuliert.

Wir waren beide etwas zickig, wie kleine Mädchen. Aber Schwamm drüber.
Ich bin glücklich, mir wurde geholfen. Von mir aus ist die Sache abgehackt. Ich sag bei sowas immer "Arschblaßen"...

25.09.2008, 15:28

tigerbine

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Nachtrag
Das in den klammern sind die Knoten, durch die das entsprechende Teilinterinterpolationspolynom (Newton Form) geht. Die dividierte Differenz ist der entsprechende Leitkoeffizient.

Hier die Variante mit []: [WS] Polynominterpolation-Theorie
Hier nur mit Index: [WS] Polynominterpolation-Theorie

Und hier mal der Bezug zu dem Polynom: [WS] Polynominterpolation-Beispiele

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