Untergruppen

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02.07.2006, 10:35	arj	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen Guten morgen, Seh ich das richtig: $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}_6,+) \end{eqnarray}$ Gruppe. Ich soll jetzt alle Untergruppen erzeugen. Ist das richtig wenn ich sage, UG sind: $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}_i,+), i=0..5 \end{eqnarray}$ oder hab ich da irgendeine vergessen? Laut Thread ist ja jede UG einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch. Deswegen dürfte ich alle haben oder? Thx arj
02.07.2006, 11:11	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab da nicht so wirklich Ahnung - nur was ich vom ersten Semester noch weiß - aber könnte es nicht Probleme, mit der Eindeutigkeit des Inversen geben? hilfreich könnte der Satz von Lagrange sein: http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange
02.07.2006, 12:43	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
eigentlich fällt mir keine sinnvolle Belegung von $\begin{eqnarray} \mathbb Z_6 \end{eqnarray}$ ein, die diese Untergruppen rechtfertigen würde. Was ist dieses $\begin{eqnarray} \mathbb Z_6 \end{eqnarray}$ überhaupt? Ist das die Restklassengruppe von Z MODULO 6? also $\begin{eqnarray} \mathbb Z/6\mathbb Z \end{eqnarray}$ ? oder ist das einfach die Z-Untergruppe der durch 6 teilbaren Zahlen? $\begin{eqnarray} 6\mathbb Z=\{0,6,-6,12,-12,.....\} \end{eqnarray}$ Also bitte erst mal klären!
02.07.2006, 13:56	arj	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\} \end{eqnarray}$ , also die Restklassen von 0 bis 6. Nach Satz von Lagrange sollten es weniger sein wie beschrieben, aber nach der def. von Untergruppen, die ich bekommen habe müsste es eigentliich passen: Sei $\begin{eqnarray} (G,\cdot ) \end{eqnarray}$ eine Gruppe und H Teilmenge G nichtleer. Dann heißt H Untergruppe von G, falls H abgeschlossen ist unter $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ (d.h. $\begin{eqnarray} a,b\in H \Rightarrow a \cdot b \ in H \end{eqnarray}$ ) und Inversenbildung (d.h. $\begin{eqnarray} a \in H \Rightarrow a^{-1} \in H \end{eqnarray}$ ).
02.07.2006, 13:58	baal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppen Hallo, Ich nehme mal an, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_6:=\{0,1,2,3,4,5\} \end{eqnarray}$ Welche Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_6 \end{eqnarray}$ sind unter der Operation $\begin{eqnarray} +_6 \end{eqnarray}$ abgeschlossen? z.B. die Menge $\begin{eqnarray} U_2:=\{0,3\} \end{eqnarray}$ ...
02.07.2006, 13:58	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann versuchs doch einfach mal durch; du weißt, alle Untergruppen sind zyklisch. Dann bekomst du als Untergruppen $\begin{eqnarray} <0>, <1>=\mathbb Z/6\mathbb Z, <2>, <3>, <4>, <5> \end{eqnarray}$ Die müssen natürlich nicht notwendigerweise verschieden sein, z.B. gibt <5> wieder die ganze Gruppe. Einfach nachrechnen.
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02.07.2006, 14:09	arj	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ich glaube ich hab meinen Fehler gefunden: Für $\begin{eqnarray} <a> \end{eqnarray}$ darf man nur zahlen bis ord(a) nehmen. Die Untergruppen müssten also: $\begin{eqnarray} U_1=\{0,2,4\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_2=\{0,3\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_3=\{0,1,2,3,4\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_4=\{0,1,2,3,4,5\} \end{eqnarray}$ Muss ich jetzt für den Test der Abgeschlossenheit immer noch modulo 6 rechnen? Allerdings verwundert mich die Menge der Untergruppen etwas. Nach Satz von Lagrange stimmt das nicht. 4 teilt 6 ja nicht. Wenn eine Untergruppe echte Teilemenge sein müsste, dann würde es ja passen, aber das stand nirgendwo. Sind dass alle?
02.07.2006, 14:17	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
U3 ist falsch! das ist keine Ugr. du vergisst die triviale Untergruppe!
02.07.2006, 14:22	arj	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nochmals: $\begin{eqnarray} U_1=\{0\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_2=\{0,3\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_3=\{0,2,4\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_4=\{0,1,2,3,4,5\} \end{eqnarray}$ Wo habe ich nur diese komische U3 von oben her?!? Wobei ich jetzt immer noch das Problem mit Lagrange habe, dass 4 nicht 6 teilt
02.07.2006, 14:43	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau das sind die Gruppen es ist U1=<0> U2=<3> U3=<2>=<4> U4=<1>=<5> Was du mit deiner 4 willst, weiß ich nicht, keine dieser aufgezählten Untergruppen hat Ordnung 4.
02.07.2006, 14:46	arj	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer lesen kann ist klar im Vorteil Ich habe den Satz von Lagrange falsche gelesen. Ich dachte die Anzahl der Untergruppen muss \|G\| teilen. Vielen Dank für die Denkansätze

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