Eigenwerte einer hermiteschen Matrix |
02.07.2006, 16:13 | Daktari | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eigenwerte einer hermiteschen Matrix Sei A hermite'sch z.z. A ist positif definit <=> alle Eigenwerte sind positive relle Zahlen. Sei <,> das Standartskalarprodukt Sei die konjugierte Zahl zu "->" Sei A positiv reell, dann ist Insbesondere gilts dann auch für die Eigenvektoren mit Nach Definition --> Aber damit ist nichts gezeigt, da man hieraus nicht auf eine positive reelle Zahl schließen kann Zudem habe ich hier nicht verwendet, dass , da A hermitisch ist |
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02.07.2006, 17:42 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Eigenwerte einer hermitischen Matrix Sei also A hermitisch und ein Eigenwert von A. Dann gibt es einen Eigenvektor v mit Sei nun A des weiteren auch positiv definit. Dann gilt: für alle komplexen x ungleich dem Nullvektor D.h., du musst auch das "richtige Skalarprodukt verwenden! |
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02.07.2006, 18:14 | Daktari | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für deine Antwort, aber damit komme ich auch nicht weiter. Ich bin wohl zu sehr auf fixiert. |
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02.07.2006, 20:31 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube, bei meinem Problemen werde ich auch mal auf deine Fußnote zurückgreifen. Was nicht passt wird passend gemacht. doch nun zurück zu Dir: Also Besser jetzt |
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02.07.2006, 20:38 | Daktari | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi tigerbine, danke für deine Mühe, aber so einen ähnlichen Beweis habe ich bei mir im schon Skript und ich versteh ihn auch. Dieser besagt lediglich, dass der Eigenwert reell ist, da ist. Aber z.z. (mit) |
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02.07.2006, 20:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Immer mal einen schritt nach dem Anderen. Wir haben ja jetzt noch gar nicht benutzt, dass A positiv definit ist. Wir wissen jetzt, dass reel ist. Und das haben wir nur über die Defintion des komplexen Skalrprodukts und mit der Eigenschaft A hermitisch und Eigenwert von A rausbekommen, durch Einsetzen,. Wenn Du das nicht versteht, schlage die Definition nach. Da A positiv definit ist, gilt: So mit den Rechenregeln umformuliert führt das auf: So nun ist aber <v,v> > 0 für v ungleich 0. aber 0 ist ja kein Eigenvektor!. Also muss auch positiv sein |
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02.07.2006, 20:57 | Daktari | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
merci kannste mir noch einen Tip für die Rückrichtung geben? Also sei ein Eigenwert. z.z. A ist positiv definit. |
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02.07.2006, 21:23 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na, die Eigenvektoren bilden eine Basis. Da A hermitisch ist, sind eine Orthonormalbasis. nun musst Du zeigen, dass <x,Ax> > 0 gilt, für alle x ungleich 0. Stelle x als Linearkombination des Besisvektoren dar. |
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02.07.2006, 21:34 | Daktari | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verständnisfrage: Angenommen wir würden uns im befinden und A ist symmetrisch. Könnte man da in der "Rückrichtung" dann analog argumentieren (also: es ex. eine Basis aus EV...)? Mein Bauch sagt ja, aber was sagt die Tigerbiene |
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02.07.2006, 22:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na, da kommst Du doch selbst drauf oder? Eine reelle Zahl ist eine komplexe zahl mit Imaginärteil 0. also ist der Fall schon längst bewiesen. Die existenz der Orthonormalbasis aus EV sichert der Spektralsatz. Den beweis ich Dir jetzt aber nicht Da schaust Du mal im Skript nach, oder googlst. Gruß |
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02.07.2006, 22:23 | Daktari | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Den Spektralsatz kenn ich sogar. Wenn ich dich drücken könnte, würde ich's tun Manchmal sehe ich eben den Wald vor lauter Bäumen nicht |
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03.07.2006, 09:34 | Daktari | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin's nochmal, hab's doch net so ganz verstanden Ich verstehe nicht, wieso aus die Positiv-Definitheit folgen soll Sei eine Orthonormalbasis Sei Sei dann ist Nach Definition des Skalarptoduktes, denn sei, dann ist ist auch klar, da , wenn sein soll, dann muss doch sein, aber eine Matix mit nur positiven Einträgen ist doch nicht unbedingt positiv definit, oder? |
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03.07.2006, 09:58 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Benutze das hermitesche Matrizen unitär diagonalisierbar sind, dann finden wir also Transformationsmatrizen so das wobei d die diagonalmatrix beschreibt. Dann können wir schreiben: Da nun P einen bijektiven Endomophismus beschreibt können wir das ganze durch ersetzen , mit Jetzt überlege Dir wann gilt. Tip: Schreibe den Vektor in seinen Komponenten auf. |
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03.07.2006, 21:12 | Daktari | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK, sei mit Orthonormalbasis aus Eigenvektoren Sei die Diagonalmatrix Dann ist Wenn , dann ex. mind eine Stelle (j), an der der Vektor enen von 0 verscheidenen Eintrag hat. Dann muss sein, damit das ganze pos.def. ist. Oder? |
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04.07.2006, 20:19 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
richtig argumentiert! |
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