lineare algebra, aber wie? |
| 27.09.2008, 08:27 | isanet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| lineare algebra, aber wie? bin gerade dabei einen probetest für eine prüfung durchzuarbeiten und habe keine ahnung, wie ich einige beispiele lösen kann. hoffentlich könnt ihr mir helfen. es geht um eine matrix A aus dem R^nxn mit Rang A=n. Nun sind folgende Aussagen zu begründen oder zu widerlegen. 1.: A^T.A ist symmetrisch und positiv definit. 2.:die konditionszahl K(A) erfüllt immer K(A)>1. Eines verwirrt mich total: Ist eine Matrix mit vollem Rang automatisch invertierbar (also regulär)? oder gilt nur: wenn A regulär --> A muss vollen Rang haben. Danke schon mal für eure Hilfe. Lg Lisa |
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| 27.09.2008, 09:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: lineare algebra, aber wie? A hat vollen Rang <=> A ist regulär. |
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| 27.09.2008, 18:14 | isanet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: lineare algebra, aber wie? bist du dir ganz sicher, dass voller rang und regulär (=invertierbar) identisch sind? |
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| 27.09.2008, 18:24 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: lineare algebra, aber wie? Ja, bin ich. http://www.math.tu-cottbus.de/~froehner/...the/node28.html |
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| 27.09.2008, 18:47 | isanet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: lineare algebra, aber wie? ja hast recht! Danke super jetz versteh i scho a bissi mehr. Aber die beiden Aufgaben sind noch immer nicht ganz klar. Kann es sein, dass bei einer regulären Matrix A^T=A^-1 gilt? Oder hat sonst wer a Idee, wie ich Frage 2 angehen soll? |
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| 27.09.2008, 19:25 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das ist falsch. Eine Reguläre Matrix zeichnet sich nur durch ihre Invertierbarkeit aus. Aber was die Aussage 2 angeht, Du kannst sehr schnell eine reguläre Matrix mit Konditionszahl 1 finden. Und damit gilt die größer Relation nicht. Zur ersten : Das symmetrisch ist rechnet man schnell nach, was brauchst Du dann für positive Definitheit? |
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| 27.09.2008, 21:17 | isanet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke für die antwort. das mit der konditionszahl hab ich mir schon fast gedacht. aber wie würdest du das mit A^T.A nun erklären ? ist diese Aussage nun wahr oder falsch? Woher weiß man, dass , (wie du geschrieben hast) A^T.A symmetrisch ist? und woher dass es positiv definit? oder ist es das garnicht und gibt es ein Gegenbeispiel? |
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| 27.09.2008, 23:11 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie ich schon sagte nachrechnen. Eine Matrix heisst symmetrisch wenn gilt, also musst Du überprüfen ob ist. Ob die Aussage richtig ist kannst Du Dir selber mal überlegen 
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| 27.09.2008, 23:34 | isanet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also durch A^T^T=A ergibt sich genau die gleichung, die du eben geschrieben hast.Wenn das ausreicht hab ich dne 1.teil einmal verstanden. jetzt weiß ich aber noch immer nicht, wie ich den 2.Teil mit dem positiv definit sein, oder nicht sein zeigen soll.?!? |
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| 28.09.2008, 11:58 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was muss den gelten damit eine Matrix positiv definit ist ? |
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| 28.09.2008, 19:09 | isanet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
es gibt einige Bedingungen, die erfüllt sein müssen. Unter anderem müssen die Diagonaleinträge strikt positiv, dh. > 0 sein. aij² < aii . ajj für i ungleich j gelten und der größte Eintrag der Matrix auf der Diagonalen liegen. |
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| 28.09.2008, 19:42 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Definition der positiven Definitheit ist : Das ist im Prinzip alles was Du brauchst. Die Aussage ist richtig, für invertierbare Matrizen A ist positiv Definit. Den Beweis kann man mit Hilfe von Eigenvektoren führen, (der Beweis ist dann ein Einzeiler). Ich geb Dir den Anfang, sei x ein Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert k, dann ist den Rest packst Du. Dann noch 3 kleine Begründungen und Du hast es.
Das sind Folgerungen der positiven Definitheit, diese Eigenschaft sind, so ich das gerade überschaue, nicht hinreichend. |
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| 28.09.2008, 20:20 | isanet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke für die zahlreichen Antworten. leider bin i heut vom lernen glab i scho a bissal zu müd, um die entgültige Lösung zu checken. Es hat nix mit der Symmetrie zu tun, oder ? 
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| 28.09.2008, 20:26 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich muss zugeben, gerade ist mir klar geworden das meine Lösungsidee so falsch ist. Ich hatte folgende Idee : k ist ungleich null denn die Matrix A ist invertierbar, und da wir Eigenvektoren betrachten ist ||x|| auch größer als Null. Das einzige was fehlt ist, das wir wirklich alle Vektoren des R^n betrachten. Und das gilt leider nicht. Die Matrix A könnte nicht diagonalisierbar sein. Daher muss ich Dich um entschuldigung bitten. Ich muss Dir daher einen anderen Weg vorschlagen. Eine symmetrische Matrix A ist positiv definit genau dann wenn alle ihre Eigenwerte größer als Null sind. Auf diesem Weg klappt es, Du musst Dir nur überlegen aus welchen Produkten die Eigenwerte von bestehen. |
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| 28.09.2008, 21:25 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mazze: Wo ist das Problem? Ich hab mich von Anfang an über deinen Weg mit den Eigenvektoren gewundert - er ist eigentlich unnötig. Sei ein beliebiger Vektor ungleich dem Nullvektor. Dann ist auch und wegen der positiven Definitiheit des Standardskalarprodukts gilt dann . |
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| 28.09.2008, 21:57 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und da A invertierbar ist, also der Kern trivial, ist es auch wirklich eine größer Relation. Klaro
. Danke! |
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| 29.09.2008, 08:16 | isanet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aso danke, damit ist das beispiel dann klar. 
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