Orthogonale Matrix - Minimalpolynom

03.07.2006, 22:20	Ernie0	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Matrix - Minimalpolynom Guten Abend Mir macht die folgende Aufgabe leider etwas zu schaffen: $\begin{eqnarray} A \in M_{n \times n}\mathbb{R} \end{eqnarray}$ sei eine orthogonale Matrix, $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ . Zeige: Das Minimalpolynom von A zerfällt vollständig in Linearfaktoren der Art $\begin{eqnarray} (x-1), (x+1), (x^2 + 2 \cos (\alpha) x+1) \end{eqnarray}$ . Mir werfen sich da gleich mehrere Fragen auf. - Was ist eine Orthogonalmatrix? Eine Matrix, in der die Spaltenvektoren senkrecht aufeinander stehen? - Dann natürlich die Aufgabe selbst. Also so richtig weiß ich eigentlich gar nicht wo ich hier am besten anfange. Über Tips würde ich mich sehr freuen! Ernie
03.07.2006, 22:48	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Matrix - Minimalpolynom Also unter einer orthogonalen Matrix versteht man eine Reelle Matrix mit folgender Eigenschaft: $\begin{eqnarray} A^{-1} = A^{T} \end{eqnarray}$ Diese Spalten / Zeilen der Matrix bilden eine orthonormalbasis des $\begin{eqnarray} R~^{n} \end{eqnarray}$ Für die Determinante gilt \|det(A)\| = 1 um dein Minimalpolynom zu zeigen, solltest du dich fragen, wie z.B. die Jordan-Normal-Form einer solchen Matrix aussieht. Hierzu müsstes Du in LinAII einen Satz finden. "...Es gibt eine orthonomalbasis, so dass A die Gestakt hat... $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & A_i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{i}= \begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So long, tigerbine
06.07.2006, 18:23	Ernie0	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du meinst wohl den Spektralsatz im Reellen? Also da A orthogonal und damit normal ist, besitzt nach dem Spektralsatz A die Darstellung A'=[Eigenwerte und antisymmetrische (2x2)-Blockmatrizen auf der Diagonalen]. Darf man jetzt sagen, daß es eine invertierbare Matrix B gibt, sodaß $\begin{eqnarray} B^T A B = A' \end{eqnarray}$ mit A'="Matrix aus Spektralsatz"? Und wie komme ich dann auf $\begin{eqnarray} x^2 - 2 \cos(\alpha) x + 1 \end{eqnarray}$ in der Determinante? Also, wie kommt man auf deine (2x2)-Drehmatrix? Grüße, Ernie
06.07.2006, 20:34	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Spektralsatz bezieht sich meines wissens aus symmetrische Matrien, also $\begin{eqnarray} A = A^{T} \end{eqnarray}$ . Orthogonal heißt $\begin{eqnarray} A^{-1}=A^{T} \end{eqnarray}$ ! Es gibt aber für die behauptete Diagonalmatrix eine Theroem aus der linearen Algebra - Thema : orthogonale Endomorphismen. Den schreib ich jetzt aber nicht auf, googlen oder Gerd Fischer - Lineare Algebra in der Bib nachschlagen. Mit den Rechenregeln für die Determinate einer oberen DReieckamatrix folgt dann: $\begin{eqnarray} det(A) = (x-1)(x+1)det(A_{i}) \end{eqnarray}$ Dabei gilt $\begin{eqnarray} det(A_{1})=(x-cos(\alpha))^{2}+sin(\alpha)^{2}=x^{2}-2xcos(\alpha)+cos(\alpha)^{2}+sin(\alpha)^{2}= \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} x^{2}-2xcos(\alpha)+1 \end{eqnarray}$ Ich denke mal, in deinem ersten Post hast Du einen VZ-Fehler? Denn im zweiten Steht es ja so wie jetzt auch hier. Gruß
06.07.2006, 21:52	Ernie0	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, einen solchen Satz hatten wir leider noch nicht. Die Chancen stehen aber gut, daß wir ihn morgen besprechen wenn man ihn für die Lösung benötigt. Im ersten Post ist tatsächlich ein VZ-Fehler. Sorry. Zum Spektralsatz: Ist dann die Darstellungsmatrix eines jeden normalen Endomorphismus symmetrisch oder ist die Darstellungsmatrix nur für symmetrische, normale Endomorphismen reell? Eines von beiden muß ja zutreffen wenn man die Formulierungen vergleicht (wohl eher letzteres). Grüße, Ernie
06.07.2006, 22:25	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nun mal langsam. Generell ist es das Ziel, eine Basis des R^n derart zu finden, dass die darstellene Matrix eines Endomorphismus eine Diagonalmatrix ist, oder möglichst nah an einer Diagonalmatrix.(Jordan-Normal-Form - Endziel in LinAII!) Das wirft zunächst mal die Frage auf, wann eine Matrix A diagonalisierbar ist. Sollte A dann diagonalisierbar sein, dann gibt es Transformationsmatrizen $\begin{eqnarray} S, S^{-1} \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} S^{-1}AS \end{eqnarray}$ eine Diagonalmatrix D ist. (A und D sind also ähnliche Matrizen). Der Spektralsatz (oder manchmal auch Hauptachesentransformation) besagt nun, dass eine symmetrische Matrix A diagonalisierbar ist. Weiter sagt der Satz, dass die Transformationsmatrix S orthogonal ist. Das ist deswegen besonders schön, weil sich die Inverse leicht berechnen läßt, nämlich $\begin{eqnarray} S^{-1}=S^{T} \end{eqnarray}$ Der Spektralsatz hat nun aber nichts mit unserer Aufgabe zu tun. Hier ist A eine orthogonale Matrix und die sind i.A. nicht symmetrisch! (Drehmatrizen) Der zu beweisende Satz (Theorem) sagt dann, dass eine orthogonale Matrix ähnlich zu einer Blockdiagonalmatrix der bereits angegebenen Gestalt ist. Jedoch sind auch hier die Transformationsmatrizen S orthogonal, so dass wieder gilt: $\begin{eqnarray} S^{-1}=S^{T} \end{eqnarray}$ Gruß
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07.07.2006, 22:39	Diana	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tigerbine, schöne Erklärung, nett das mal so anschaulich zu lesen. Aber ist die Hauptachsentransformation tatsächlich das selbe wie der Spektralsatz? Bei uns sind das nämlich zwei Sätze - den Spektralsatz haben wir auch für normale Endomorphismen aufgeschrieben und zwar so wie es Ernie0 in seinem zweiten Post beschreibt. Bei der Hauptachsentransformation geht es ja darum, daß eine symmetrische Matrix orthogonal ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. Oder fehlt da noch ein Verbindungsstück (die Hauptachsentransformation haben wir nämlich erst heute gemacht...)? Hoffe, ich habe dich nicht falsch verstanden. Tschüss, Diana
07.07.2006, 23:12	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das scheint dann je nach "Vorlesung" verschieden zu sein. Bei uns wurde ser Spektralsatz in Numerik II für symmetrische Matrizen formuliert. In Linearer Algebra II haben wir die Hauptachsentransformation für symmetrische Bilinearformen behandelt. Ich denke Mal, der Spektralsatz umfasst bei Euch einfach mehr:quasi - welche "klassen" von Matrizen sind mittels orthogonaler Matrizen diagonalisierbar. Damit wäre unsere Spektralsatz ein Auszug aus Eurem. Aber für uns war auch nur der Fall symmetrischer matrizen interessant. insgesamt gilt der Spektralsatz für folgende lin. Abbildungen: Normale Endomorphismen, damit auch für unitäre Endormorphisen und selbstadjungierte Endomorphismen. Den Fall der Orthogonalen Endomorphismen kann man mit der "modifizierten Diagonalgestalt" ,d.h. auch 2x2 Blockmatrizen dann auch noch mit in den Satz einbeziehen. Die Hauptachsentransformation wie gesagt bezieht sich auf symmetrische Bilinearformen (darstellende Matrix ist symmetrisch) Deswegen hatte ich die Sätze "gleichgesetzt" Gruß

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