Invertierbarkeit Matrizen

29.09.2008, 16:52

Python

Invertierbarkeit Matrizen

Hallo liebe Matheboardler,
Ich sitze gerade an einer Aufgabe, dessen Lösung sich für mich einfach nicht offenbaren will. Die Aufgabe ist:

Zitat:

Zeigen Sie, dass folgende zwei Aussagen für zwei beliebige Matrizen $\begin{eqnarray*} A,B\in R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ zueinander äquivalent sind:
1.) $\begin{eqnarray*} E - AB \end{eqnarray*}$ ist invertierbar
2.) $\begin{eqnarray*} E - BA \end{eqnarray*}$ ist invertierbar

Hinweis: Aufgabenstellung korrigiert nach Hinweis von Arthur Dent

Geht man davon aus, dass A invertierbar ist, so ist die Aufgabe sehr einfach zu lösen. Denn es gilt
$\begin{eqnarray*} E=(E-AB)(E-AB)^{-1}=(E-AB)AA^{-1}(E-AB)^{-1}=A(E-BA)A^{-1}(E-AB)^{-1} \end{eqnarray*}$
und damit
$\begin{eqnarray*} (E-BA)A^{-1}(E-AB)^{-1}A=E \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} E=(E-BA)^{-1}(E-BA)=(E-BA)^{-1}A^{-1}A(E-BA)=(E-BA)^{-1}A^{-1}(E-AB)A \end{eqnarray*}$
und damit
$\begin{eqnarray*} A(E-BA)^{-1}A^{-1}(E-AB)=E \end{eqnarray*}$

Was ist aber, wenn A nicht invertierbar ist? Ich komm an dieser Stelle einfach nicht weiter. Es wäre also toll, wenn ihr ein paar Tipps für mich hättet!

Vielen Dank im Vorraus,
Python

29.09.2008, 16:59

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So, wie die Aufgabe formuliert ist, muss $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht mal notwendig quadratisch sein:

Es ist auch denkbar, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} m\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix ist, und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} n\times m \end{eqnarray*}$ -Matrix...

29.09.2008, 17:07

Python

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Oh, das tut mir Leid, ich habe die Aufgabe falsch zitiert. Richtig wäre gewesen:

Zitat:

Zeigen Sie, dass folgende zwei Aussagen für zwei beliebige Matrizen $\begin{eqnarray*} A,B\in R^{n \times n} \end{eqnarray*}$ zueinander äquivalent sind:
1.) $\begin{eqnarray*} E - AB \end{eqnarray*}$ ist invertierbar
2.) $\begin{eqnarray*} E - BA \end{eqnarray*}$ ist invertierbar

Danke für den Hinweis.

Python

29.09.2008, 20:38

Mathespezialschüler

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Dass $\begin{eqnarray*} E-AB \end{eqnarray*}$ invertierbar ist, ist äquivalent zur Aussage, dass das GLS $\begin{eqnarray*} (E-AB)x=0 \end{eqnarray*}$ , also auch die Gleichung $\begin{eqnarray*} ABx=x \end{eqnarray*}$ , nur die triviale Lösung besitzt. Sei $\begin{eqnarray*} E-AB \end{eqnarray*}$ invertierbar. Nimm an, $\begin{eqnarray*} E-BA \end{eqnarray*}$ wäre nicht invertierbar. Dann gäbe es ein $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} BAv=v \end{eqnarray*}$ . Und ab hier darfst du weiter machen.

edit: Dieser Beweis funktioniert auch für $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb R^{m\times n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\in\mathbb R^{n\times m} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ in den beiden Aussagen dann je nachdem $\begin{eqnarray*} E_m \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} E_n \end{eqnarray*}$ bedeutet.

29.09.2008, 21:22

Python

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Dass $\begin{eqnarray*} E-AB \end{eqnarray*}$ invertierbar ist, ist äquivalent zur Aussage, dass das GLS $\begin{eqnarray*} (E-AB)x=0 \end{eqnarray*}$ , also auch die Gleichung $\begin{eqnarray*} ABx=x \end{eqnarray*}$ , nur die triviale Lösung besitzt. Sei $\begin{eqnarray*} E-AB \end{eqnarray*}$ invertierbar. Nimm an, $\begin{eqnarray*} E-BA \end{eqnarray*}$ wäre nicht invertierbar. Dann gäbe es ein $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} BAv=v \end{eqnarray*}$ . Und ab hier darfst du weiter machen.

... aus $\begin{eqnarray*} BAv=v \end{eqnarray*}$
folgt $\begin{eqnarray*} ABAv=Av \end{eqnarray*}$
folgt $\begin{eqnarray*} Av=0 \end{eqnarray*}$
folgt $\begin{eqnarray*} B0=v \end{eqnarray*}$
folgt $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$
Widerspruch.

Dankeschön smile

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