Alle Punkte P mit dem Abstand 6 von Ebene

29.09.2008, 17:59

cimoge

Alle Punkte P mit dem Abstand 6 von Ebene

Hallo,

habe ein Problem mit folgender aufg. :

Gegeben sei die Ebene E: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} * x =3 \end{eqnarray*}$ und die gerade g.
$\begin{eqnarray*} x= \begin{pmatrix} 11 \\ -15 \\ 8 \end{pmatrix}+ \lambda *\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Bestimme alle Punkte P, die auf der Geraden g liegen und den Abstand 6 von ebene E haben.

So ich habe jetzt einen Vektor bestimmt der senkrecht auf der ebene E steht und die Länge 6 hat. Aber ich weiß nicht wie ich jetzt auf ide punkte kommen soll.

Bin auf den Vektor gekommen indem ich von dem normalenvektor n der ebene E den einheitsvektor mit der länge 1 gebildet hab. Diesen habe ich anschließend mit 6 multipliziert.

Wäre dankbar für einen denkanstoß wie ich weiter machen kann .. oder auch für einen komplet anderen Ansatz !

29.09.2008, 18:22

tigerbine

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RE: Alle Punkte P mit dem Abstand 6 von Ebene
Alle Punkte mit dem Abstand 6 befinden sich auf 2 zu der Ebene parallelen Ebenen. Diese beiden würde ich einmal mit der Gerade schneiden.

29.09.2008, 19:02

cimoge

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RE: Alle Punkte P mit dem Abstand 6 von Ebene
thx, für die idee !

habe jetzt ein ergebniss ausgerechnet was falsch ist -.- (Habe die lösung)

Aber ich hoffe der Ansatz ist richtig:

Ich habe als erstes drei punkte gewählt die die ebenengleichung erfüllen ! ( die Spurpunkte). Nun habe ich zu jedem Spurpunkt den Vektor mit der länge 6 addiert.

Der Vektor ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Aus diesen drei neuen Punkten die im Abstand 6 über E liegen habe ich nun die Parameterform der neuen Ebene gebildet und anschließend die Normalenform.

In die Normalenform habe ich nun die Gerade eingesetzt und bin auf meinen Punkt gekommen, der leider falsch war.

War denn der Rechenweg richtig bzw. meine Überlegung ?

29.09.2008, 19:43

riwe

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RE: Alle Punkte P mit dem Abstand 6 von Ebene

Zitat:

Original von cimoge
thx, für die idee !

habe jetzt ein ergebniss ausgerechnet was falsch ist -.- (Habe die lösung)

Aber ich hoffe der Ansatz ist richtig:

Ich habe als erstes drei punkte gewählt die die ebenengleichung erfüllen ! ( die Spurpunkte). Nun habe ich zu jedem Spurpunkt den Vektor mit der länge 6 addiert.

Der Vektor ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Aus diesen drei neuen Punkten die im Abstand 6 über E liegen habe ich nun die Parameterform der neuen Ebene gebildet und anschließend die Normalenform.

In die Normalenform habe ich nun die Gerade eingesetzt und bin auf meinen Punkt gekommen, der leider falsch war.

War denn der Rechenweg richtig bzw. meine Überlegung ?

wo ist denn da ein rechenweg verwirrt

was du da geschrieben hast, solltest du möglichst schnell dem orkus übergeben geschockt

da kann nix gescheites nicht rauskommen unglücklich

als hilfe: die beiden parallelen ebenen von tigerbine bekommst du am einfachsten mit der HNF

$\begin{eqnarray*} \frac{x-2y+2z-3}{3}=\pm 6 \end{eqnarray*}$

und die schneidest du jetzt mit g und hast die beiden punkte smile

29.09.2008, 19:56

tigerbine

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RE: Alle Punkte P mit dem Abstand 6 von Ebene
nochmal zum ersten Post. Da verwendest du zweimal *, imho aber in stark unterschiedlichen Bedeutungen. verwirrt

29.09.2008, 20:03

cimoge

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tut mir leid aber irgendwie kann ich nicht nach vollziehen warum du (x- 2y +2z -3 ) / 3 = + - 6 kommst ..

29.09.2008, 20:07

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HNF = Hessesche Normalform der Ebene

Die kennst du hoffentlich, mit der kann man direkt den Abstand von Punkten zur Ebene ablesen. Oder eben genauso schnell die Gleichung einer Parallelebene in einem gewissen vorgegeben Abstand aufstellen, und genau das hat Werner gemacht.

29.09.2008, 20:47

cimoge

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Ja, kenne ich. Weiß auch wie man damit den abstand von punkten zu einer ebene bestimmt; der letzte teil war mir neu. Weiß auch nicht wie das geht

29.09.2008, 20:59

riwe

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Zitat:

Original von cimoge
Ja, kenne ich. Weiß auch wie man damit den abstand von punkten zu einer ebene bestimmt; der letzte teil war mir neu. Weiß auch nicht wie das geht

ich hab´s dir doch schon hingemalt.

$\begin{eqnarray*} E_1: \quad{ }+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_2:\quad{ }-6 \end{eqnarray*}$

30.09.2008, 11:49

cimoge

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also kann ich einfach die Ebene im Abstand 6 von der Gegebenen Ebene aufstellen, indem ich einfach den Normalenvektor der gegebenen Ebene durch seine Länge teile ( um auf die Hesssche Normalform zu kommen ) und anschließend einfch gleich dem Abstand +6 / -6 setze ?

Jetzt nochmal zum Verständnis:
z.B: habe ich nun die Ebene: $\begin{eqnarray*} [ x- \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}] * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

nun möchte ich eine Paralleleebene im Abstand 8 aufstellen; würde die dan so aussehen ?

$\begin{eqnarray*} [ x- \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}] * \begin{pmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ 3/3 \end{pmatrix} =8 \end{eqnarray*}$

oder müsste ich in diesem Fall auch noch $\begin{eqnarray*} [ x- \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$ durch 3 teilen ?
Wäre nett wenn das wer überprüfen könnte !

30.09.2008, 13:55

riwe

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HNF

Zitat:

Original von cimoge
Ja, kenne ich. Weiß auch wie man damit den abstand von punkten zu einer ebene bestimmt; der letzte teil war mir neu. Weiß auch nicht wie das geht

tatsächlich verwirrt

dann stelle sie doch auf (oder schreibe sie einfach ab unglücklich

)

30.09.2008, 14:07

cimoge

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das würde dann meiner meinung so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/3 \\ -2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix}*x -1 =6 \end{eqnarray*}$ ist das korrekt ?

Und wie sieht das mit meinem 2. Bsp. aus ? stimmt das so wie ich s geschrieben habe ?

//edit: muss richtig sein; habe die aufg. nochmal durch gerechnet und habe jetzt den richtig Punkt als ergebnis smile

30.09.2008, 14:19

riwe

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dein 2. beispiel muß man erst suchen,
aber Freude

das letzte paßt nun auch Freude

bis auf den faktor bei z
und es gibt halt 2 parallele ebenen

also üblicherweise geht man von der koordinatenform aus und normiert diese:

$\begin{eqnarray*} HNF:\quad{ }\frac{x-2y+2z-3}{3}=0 \end{eqnarray*}$

und die parallelen ebenen im abstand d = 6 lauten

$\begin{eqnarray*} \quad{ }\frac{x-2y+2z-3}{3}=\pm 6 \end{eqnarray*}$

30.09.2008, 17:12

cimoge

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Alles klar dann hab ich alles kapiert ! Die Koordinatenform hat mich nur anfangs etwas verwirrt, weil ich diese selten brauche.
Vielen Dank für deine Hilfe !
// den Fehler bei z editiere ich mal

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