Vektorenräume |
| 28.05.2004, 15:57 | TomBombadil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Vektorenräume 1. Wenn ich beweisen möchte, dass durch die induzierte Norm tatsäclich eine Norm gegeben ist, muß ich folgendes beweisen: Norm(Ax) = a Norm(x). Irgendwie fällt mir dazu nix ein. (In den Büchern ist immer nur ein Beweis bezgl. des Standardskalarprodukt gegeben 
)2. Warum ist überall das Skalarprodukt(von Vektorraum V) als eine Abbildung von VxV-> R definiert, und nicht VxV -> K. Vielen Dank jetzt schon Tom |
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| 28.05.2004, 16:22 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Begriff "induzierte Norm" deutet ja an, dass diese Norm von etwas anderem induziert d.h. vermittelt wird. Und dieses etwas ist das Skalarprodukt. Deshalb wird der Beweis, dass diese induzierte Norm auch eine Norm ist, immer ueber das Skalarprodukt laufen. Wie habt ihr denn die Norm definiert? Ist sie im Skript auch ueber das Skalarprodukt gegeben? Wenn du mir das sagst und noch dazu, wo genau dein Problem jetzt liegt, kann ich besser versuchen, zu helfen. Zu deiner zweiten Frage: Vermutlich, weil in diesen Buechern die Vektorraeume nur R-Vektorraeume sind. Allgemein bildet das Skalarprodukt eines K-Vektorraums natuerlich in den Koerper K ab. Guckst du hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt |
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| 28.05.2004, 16:26 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine zweite Frage kann man einfach so beantworten: Fuer einen beliebigen Koerper hat man keine positiven und negativen Elemente. Der Begriff "positiv definit" ist also sinnlos. Es kann deshalb fuer die meisten Koerper keine "positiv definite symmetrische Bilinearform" geben. Jedoch gibt es Verallgemeinerungen derselben, naemlich "regulaere symmetrische Bilinearformen", wo nicht verlangt wird, dass <x,x> groesser als 0 ist, sondern nur dass es ungleich 0 ist, wenn x nicht der Nullvektor ist. EDIT: definit -> regulaer |
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| 28.05.2004, 16:32 | TomBombadil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu 1. Wir haben gesagt: Mit ||x|| := Wurzel(<x,x>) ist eine Norm auf V(eukl. Vektorraum) gegeben. d.h. diese Norm ist eine Norm für jeden beliebigen Vektorraum. Zu 2. Hatte ich mir schon fast gedacht, habe mich aber gewundert, dass es wirklich in 3 verschiedenen Büchern so geschrieben wird. |
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| 28.05.2004, 16:36 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jo, SirJective. K muss auf jeden Fall ein wohlgeordneter Körper sein. Zum anderen bedeutet "euklidischer Vektorraum" per Definition "ein R-Vektorraum mit Skalarprodukt". Zu 1.) Der Beweis ist doch super einfach. Es ist Wenn man nun die Wurzel zieht, ergibt sich . |
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| 28.05.2004, 16:50 | TomBombadil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
soweit klar. Aber wie folgerst du die Zeile nach dem 2. = ? |
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| 28.05.2004, 17:04 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Skalarprodukt ist eine Sesquilinearform, ist also im Fall K = R in beiden Einträgen linear. Insbesondere gilt: . |
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| 28.05.2004, 17:13 | TomBombadil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann man das direkt aus der Bilinearitaet, pos. Definitheit bzw. Symmetrie folgern? Dies waren nämlich unsere Kriterien für ein Skalarprodukt. |
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| 28.05.2004, 17:32 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Nimm doch z.B. -< , >. Diese Form ist auch billinear. Könnte man aus Bilinearität die pos. Definitheit folgern, dann wäre -< , > ebenfalls positiv definit. Das ist aber ein Widerspruch dazu, dass < , > positiv definit ist. Auch die Symmetrie kann man nicht folgern. Für ein Skalarprodukt < , > gibt es 3 Axiome (1) < , > ist eine Sesquinearform (2) < , > ist hermitesch, d.h. (3) <x,x> >= 0 und = 0 genau dann, wenn x = 0. Dabei bedeutet der Überstrich in (2) das konjugiert komplexe - was für K = R ja eh wegfällt. Für K = R ist hermitesch das gleiche wie symmetrisch und "sesquilinear" das gleiche wie bilinear. |
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| 28.05.2004, 22:46 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das kann man. Schau in deinem Skript, was Bilinearität heisst. Wenn es dir dann noch nicht klarer ist, schreib es hier hin und wir durchdenken das gemeinsam. @WebFritzi *dir ne Brille reich* Du hast das "das" überlesen. 
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| 29.05.2004, 20:04 | TomBombadil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für mich bedeutet Bilinearität des Skalarproduktes Folgendes: <ax+by, z> = a<x,z> + b<y,z> (wobei x,y,z Vektoren und a,b Skalare sind) Ein Gedanke wäre: Um <ax,y> = a<x,y> zu folgern könnte man schreiben: <ax + b0,y> = a<x,y> + b<0,y> (0 neutrales Element des Vektorraums) Wenn wir noch sagen könnten, dass das Skalarprodukt von <0,x> Null ist(beim Standardskalarprodukt ist dies gegeben) hätte man die Aussage nun gefolgert. Mal sehen, ob ihr damit etwas anfangen könnt. Vielen Dank für eure Mühe Tom |
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| 29.05.2004, 20:31 | SirJective :) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alternativ kannst du auch 0x statt b0 verwenden. dann hast du 0<x,z> = 0. |
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| 30.05.2004, 03:18 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das ist nicht richtig. Das ist doch nur die Linearität in der ersten Komponente. Es heißt nicht umsonst Bilinearität. Es muss zusätzlich noch gelten: <x, ay + bz> = a<x,y> + b<x,z>. Um meine Regel zu beweisen, setzt du einfach b=0. |
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| 30.05.2004, 14:41 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oder er hats im Skript so aufgeschrieben, dass erst nach der Symmetrieeigenschaft, die Bilinearität aufgeführt wurde und dann reicht es ja, nur die Linearität in der ersten Komponente hinzuschreiben. Das sollte dann eigentlich nicht mit "Bilinearität" betitelt werden, denn sie folgt ja "nur". 
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| 30.05.2004, 16:13 | TomBombadil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@WebFritzi: Das mit der verkürzten Angabe der Bilinearität tut mir leid :P
Aber wie von Irrlich gesagt ist das ja über die Symmetrie gegeben. Ist außerdem für den "Ansatz" (etwas "übertitelt"
) auch nicht weiter wichtig.@SirJective
: Stimmt. :] (hätte auch meine Überlegung sein sollen.)Um das ganze zum Abschluß zu bringen: Weiß jemand einen eleganteren Weg. (eines der nervigsten und überflüßigsten Fragen überhaupt
)Ansonsten Vielen Dank für eurer Aller Mühe |
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| 30.05.2004, 19:47 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube, das eleganter zu machen, wenn man doch zwangweise über die Defintion gehen muss, ist ein Ding der Unmöglichkeit. Der Weg ist doch elegant genug.
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