Pyramide

03.10.2008, 12:34

Wrandy

Pyramide

Moin,

Ich hab hier sone Aufgabe mit teilw. angesagten Ergebnissen, bei denen ich aber nicht sicher sind ob sie stimmen, und kann die Aufgabe aber selbst auch nicht lösen.

Also: Gegebene Punkte:
A(5|1|0)
B(1|5|2)
C(-1|1|6)
D(3|-3|4)
M(2|1|3)
S(6|3|7)

außerdem ist noch eine Gerade g gegeben: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ -3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a und b habe ich schon allein geschafft, und haben auch mit den KEs korrospondiert. Dort kam heraus, dass es eine Pyramide P gibt mit der Spitze S, und der quadratischen Grundfläche ABCD, wobei man D noch selber bestimmen sollte, hab ich oben gleich mit angegeben. Aus dem Quadrat sollte man noch den Mittelpunkt M bestimmen, auch oben angegeben, und stimmt auch.

So, bei c ist folgendes gefragt:
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide P. Das war ja noch kein Problem V=72 VE. Zu jedem Punkt S* der Geraden g gibt es eine Pyramide mit der Spitze S* und der Grundfläche ABCD. Zeigen Sie, dass P eine dieser Pyramiden ist.

So, ich versteh den ersten Satz der Aufgabe nicht so ganz, vermute aber, dass ich einfach nur zeigen soll, dass S auf der Geraden g liegt ? Wenn dem so ist, habe ich das schon getan.

Weiter im Text:
Unter diesen Pyramiden gibt es solche, deren Volumen halb so groß ist wie das der Pyramide P. Bestimme die Koordinaten der zugehörigen Spitzen.

Meine Überlegung war um die Höhe rauszubekommen in die Volumenformel einzusetzen:
$\begin{eqnarray*} V = \frac{1}{3} a^{2}h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 36 = \frac{1}{3} 36h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h = 3 \end{eqnarray*}$

So, nun weiß ich erstmal nicht weiter, wie ich das zu Ende rechnen soll. Allerdings wurde die LSG angegeben S1(5|1|4,5) und S2(3|-3|-0,5), und wenn ich mit denen das Volume ausrechne kommt da nicht 36 raus, also die Hälfte von P. Daher können diese Punkte doch gar nicht stimmen, oder ?

d) Schreib ich hier hin, wenns soweit ist...

Danke schonmal im Vorraus

Noch als Hinweis: Ich mach hier ne kleine Klausurvorbereitung, da wir Montag schreiben...

Achja, GK Aufgabe aus Baden-Würtemberg von 1997 Augenzwinkern

03.10.2008, 12:52

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

zu c)

Deine Vermutung ist richtig

zu d)

Hier sollst du genau die Punkte der Geraden g bestimmen, die von der Grundfläche (Ebene durch 3 Punkte der Grundfläche) den Abstand 3 haben.
Am Schnellsten geht das wohl mit der HNF verwirrt

Gruß Björn

03.10.2008, 13:14

Wrandy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bjoern1982
Hallo

zu d)

Hier sollst du genau die Punkte der Geraden g bestimmen, die von der Grundfläche (Ebene durch 3 Punkte der Grundfläche) den Abstand 3 haben.
Am Schnellsten geht das wohl mit der HNF verwirrt

Gruß Björn

Aber es können doch bloß zwei Spitzen heraus kommen, also, wenn ich das machen würde, hätt ich ja ne Gleichung mit 3 Unbekannten, d.h. ich würde ja eine Punktmenge heraus bekommen, was aber nicht sein kann, denn wenn ich mir das geometrisch überlege gibt es von der Grundfläche quasi nach oben hin eine Spitze mit der Hälfte des Volumens und nach unten.
Denn ich soll ja die Spitzen der Pyramiden bestimmen, die das halbe Volumen von P haben...Das halbe Volumen ist 36, da ja P 72VE hat...

03.10.2008, 13:44

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt da halt diese schöne Abstandsformel zur Berechnung des Abstandes eines Punktes zu einer Ebene mittels HNF.

http://www.rither.de/a/mathematik/linear...nd-punkt-ebene/

Wenn du diese kennst, kannst du für den Punkt nun einen allgemeinen Punkt der Geraden einsetzen, der ja lediglich den Parameter r als Unbekannte enthält und man somit nur eine (Betrags)Gleichung mit einer Unbekannten lösen muss.

Gruß Björn

03.10.2008, 14:15

Wrandy

Auf diesen Beitrag antworten »

ah, ok danke, das haut hin.

nur bekomm ich dabei ja bloß eine Spitze raus, wie erhält man die zweite, also S(3/-3/-0,5) ??

03.10.2008, 14:25

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das kommt in der verlinkten Seite leider nicht so rüber, entschuldige.
Die zweite Lösung entsteht dadaurch, dass der Zählerterm in der Formel in Betragsstrichen stehen muss, was zwei Lösungen zur Folge hat.

03.10.2008, 14:38

Wrandy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bjoern1982
Ok, das kommt in der verlinkten Seite leider nicht so rüber, entschuldige.
Die zweite Lösung entsteht dadaurch, dass der Zählerterm in der Formel in Betragsstrichen stehen muss, was zwei Lösungen zur Folge hat.

ah, ok, ich kannte und kenn die hessesche normalform nur ohne betragsstriche im zähler, hab auch nochmal nachgeschaut, steht auch ohne Betragsstriche in meinem Buch so. gut, dann werd ich mir das nachher nochmal mit dem betrag anschauen...

03.10.2008, 14:40

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Erinnere dich einfach ans Wurzel ziehen:

x²=4 <=> |x|=2 <=> x=2 oder x=-2

04.10.2008, 09:17

Wrandy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bjoern1982
Erinnere dich einfach ans Wurzel ziehen:

x²=4 <=> |x|=2 <=> x=2 oder x=-2

hmm, das is schon irgendwie klar, aber wie wende ich denn das auf meinen Term an:

9 = \mid 18r-18 \mid

hatte auch schon nen paar sachen probiert, wie zum beispiel die -18 einfach zu +18 gemacht, oder quadriert...führte alles zu falschen ergebnissen...

04.10.2008, 12:17

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wrandy

Zitat:

Original von Bjoern1982
Erinnere dich einfach ans Wurzel ziehen:

x²=4 <=> |x|=2 <=> x=2 oder x=-2

hmm, das is schon irgendwie klar, aber wie wende ich denn das auf meinen Term an:

$\begin{eqnarray*} 9 = \mid 18r-18 \mid \end{eqnarray*}$

hatte auch schon nen paar sachen probiert, wie zum beispiel die -18 einfach zu +18 gemacht, oder quadriert...führte alles zu falschen ergebnissen...

$\begin{eqnarray*} 18r-18=\pm 9 \end{eqnarray*}$ smile

05.10.2008, 09:21

Wrandy

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dankeschön.

So, nun kommen wir noch zu Aufgabe d) bei der ich keine Idee hab...
Der Punkt M1 ist von allen fünf Ecken der Pyramide P gleich weit entfernt. Bestimme die Koordinaten von M1. Wie groß ist der Abstand M1 zu den Eckpunkten der Pyramide ?
Eine senkrechte quadratische Pyramide hat die Grundkantenlänge a und die Höhe h. Jede dieser Pyramiden besitz einen Punkt M*, der von allen Ecken gleich weit entfernt ist. Welche Beziehung muss zwischen a und h bestehen, damit M* innerhalb der Pyramiden liegt.

Edit: auch hier hab ich bereits die KE: M1(3/1,5/4); d=4,5; $\begin{eqnarray*} h = \frac{1}{2}*a \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

05.10.2008, 11:21

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

der reihe nach:
zu c) zunächst erfüllen alle punkte der ebenen
$\begin{eqnarray*} E_1: \quad{ }2x+y+2z-2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2:\quad{ }2x+y+2z-20=0 \end{eqnarray*}$
die geforderte bedingung.
erst durch die einschränkung auf senkrechte quadratische pyramide geht es weiter.

ich erhalte

$\begin{eqnarray*} r=\pm 1 \end{eqnarray*}$
(ich habe den normalenvektor "gekürzt")

und damit $\begin{eqnarray*} M_1(4/2/5)\quad{}M_2(0/0/1) \end{eqnarray*}$

zu d)
löse

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 7\end{pmatrix})^2=r^2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix})^2=r^2 \end{eqnarray*}$

zur kontrolle $\begin{eqnarray*} t=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

edit: die angegebenen koordinaten sind richtig.

und den 2. teil findest du leicht smile

mit dem guten alten pythagoras zu:

$\begin{eqnarray*} a\leq h\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

wenn´s denn wahr ist unglücklich

edit2: steht ja eh oben,
also tipp: pythagoras

05.10.2008, 16:15

Wrandy

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, vielen vielen Dank.

Ich werd euch dann mal berichten wie die Klausur gelaufen ist.

Bis dahin

Grüße

Wrandy

15.10.2008, 16:54

Wrandy

Auf diesen Beitrag antworten »

soo, klausur geschrieben, ein paar kleine schusslichkeitsfehler, deshalb leider "nur" 9 Punkte, hätte aber locker ne 2 haben können. Danke Leute!!!

Neue Frage »

Antworten »

Pyramide

Verwandte Themen