Beweistechnik: Abtrennungsregel

03.10.2008, 15:56

eierkopf1

Beweistechnik: Abtrennungsregel

Hallo!

Ich will die Abtrennungsregel durch eine Wahrheitstafel beweisen:

$\begin{eqnarray*} p \land (p \to q) \Rightarrow q \end{eqnarray*}$

Ist das gleiche wie, oder?
$\begin{eqnarray*} p \land (p \to q) \to q \end{eqnarray*}$

Ich habe mal folgende Wahrheitstafel gemacht:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c|c|c|c|} p & q & p \to q & a \land (a \to b)\\ \hline W & W & W & W\\ W & F & F & F\\ F & W & W & F\\ F & F & W & F\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

Zuerst eine generelle Frage zur Implikation/Subjunktion: Warum ist der 3. Fall (p=falsch; q=wahr) wahr? Wenn zB p....."Es regnet" und q...."Die Straße ist nass" ist. Warum ist dann die Aussage "Wenn es regnet, ist die Straße nass" auch im 3. Fall wahr?

Ich habe das jetzt einfach so hingenommen. Zurück zur eigentlichen Frage.

Wie gehts bei der Wahrheitstafel weiter?

mfg

04.10.2008, 08:19

eierkopf1

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RE: Beweistechnik: Abtrennungsregel
Weiß keiner etwas? unglücklich

04.10.2008, 11:54

kiste

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Zu erst einmal ist es egal ob da $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ steht. Das ist nur wichtig falls ihr einen davon anders definiert habt und das solltest du dann ja auch wissen.

In der Mathematik gilt "Aus etwas falschem kann alles folgen, also auch etwas wahres". Deswegen ist die 3. Zeile in der Implikationszeile wahr.

Warum benutzt du plötzlich a und b statt p und q?

Weiter in der Wahrheittabelle: Die zu beweisende Aussage noch in ne Spalte schreiben und die Tabelle ausfüllen...

04.10.2008, 12:09

eierkopf1

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RE: Beweistechnik: Abtrennungsregel
Danke für die Antwort!

@a u. b oder p u. q: Ist ein Schreibfehler gewesen

Zu den unterschiedlichen Pfeilen: Nein, wir haben nichts verschiedenes definiert. Also ist es dasselbe.

Dh, es geht so weiter, oder?

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} p & q & p \to q & p \land (q \to q) & p \land (q \to q) \to q\\ \hline W & W & W & W & W\\ W & F & F & F & W\\ F & W & W & F & W\\ F & F & W & F & W\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

Aber was sagt mir das?

mfg

04.10.2008, 12:15

kiste

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Da in der Spalte nur Wahr sind, ist die Aussage wohl wahr womit du die Aufgabe gelöst hast.

04.10.2008, 12:37

eierkopf1

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Danke für die Antwort!

Ich wusst nicht, was mein Ergebnis sein sollte. gg

Aber wozu brauch ich diese Abtrennungsregel? Wo wende ich sie an?

mfg

04.10.2008, 12:58

kiste

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Nicht alles muss sinnvoll sein Augenzwinkern

Aber die Regel kann man als Prinzip des direkten Beweises sehen.
Wenn p gilt, und aus p folgt q dann gilt eben auch q.

Nichts unglaublich tolles Augenzwinkern

04.10.2008, 13:24

Huggy

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RE: Beweistechnik: Abtrennungsregel

Zitat:

Original von eierkopf1
Hallo!

Ich will die Abtrennungsregel durch eine Wahrheitstafel beweisen:

$\begin{eqnarray*} p \land (p \to q) \Rightarrow q \end{eqnarray*}$

Ist das gleiche wie, oder?
$\begin{eqnarray*} p \land (p \to q) \to q \end{eqnarray*}$

Ich habe den Eindruck, die erste Zeile soll die zu beweisende Abtrennungsregel darstellen. Dann sollte das besser so geschrieben werden:

$\begin{eqnarray*} p, p\land q \vdash q \end{eqnarray*}$

Und dann ist das auch nicht dasselbe, wie die zweite Zeile. In der zweiten Zeile steht eine Aussageform mit den Aussagevaraiablen p und q. Eine Schlussregel ist keine Aussageform. Es ist eine Aussage über Aussagen, gehört also zu einer anderen sprachlichen Ebene, zur metalogischen Ebene. Allerdings besteht zwischen beiden Zeilen eine enge Verknüpfung. Eine Schlussregel

$\begin{eqnarray*} a_1, a_2, ..., a_n \vdash b \end{eqnarray*}$

ist genau dann richtig, wenn die Aussageform

$\begin{eqnarray*} a_1\land a_2\land ... \land a_n\to b \end{eqnarray*}$

allgemeingültig ist. Und so hast du die Schlussregel ja inzwischen bewiesen.

Zitat:

Zuerst eine generelle Frage zur Implikation/Subjunktion: Warum ist der 3. Fall (p=falsch; q=wahr) wahr? Wenn zB p....."Es regnet" und q...."Die Straße ist nass" ist. Warum ist dann die Aussage "Wenn es regnet, ist die Straße nass" auch im 3. Fall wahr?

Ich habe das jetzt einfach so hingenommen.

Das Dilemma besteht darin, dass das umgangssprachliche 'wenn ..., dann ...' nicht so ganz mit der materialen Impilkation übereinstimmt. Die materiale Implikation ist eine zweistellige Wahrheitsfunktion und hat als solche für jeden Wahrheitswert der Argumente einen Wahrheitswert. Würde man

$\begin{eqnarray*} p\to q \end{eqnarray*}$ für p = F und q = W zu F definieren und den Rest gleich lassen, hätte man eine andere Wahrheitsfunktion, die als

$\begin{eqnarray*} p\leftrightarrow q \end{eqnarray*}$

geschrieben wird. Das umgangssprachliche 'wenn ..., dann ...' neigt mehr zu der Schlussregel. Und da kann man auch nicht auf q schließen, wenn p nicht als wahr vorausgesetzt wird.

Edit: Schreibfehler korrigiert.

04.10.2008, 13:26

Airblader

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RE: Beweistechnik: Abtrennungsregel

Zitat:

Original von Huggy

Würde man $\begin{eqnarray*} p\to q \end{eqnarray*}$ für p = F und q = W zu W definieren [...]

Vertippt?

air

04.10.2008, 13:30

Huggy

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Zitat:

Original von eierkopf1
Danke für die Antwort!

Ich wusst nicht, was mein Ergebnis sein sollte. gg

Aber wozu brauch ich diese Abtrennungsregel? Wo wende ich sie an?

mfg

In der reinen Aussagenlogik braucht man auch keine Schlussregeln. Man kann dort alle Schlüsse mittels der Wahrheitstabellen machen. Aber in der Prädikatenlogik gibt es keine Wahrheitstabellen. Hier braucht man Schlussregeln. Deshalb ist es vernünftig, Schlussregeln auch schon bei der Aussagenlogik zu üben.

04.10.2008, 13:32

Huggy

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RE: Beweistechnik: Abtrennungsregel

Zitat:

Original von Airblader

Zitat:

Original von Huggy

Würde man $\begin{eqnarray*} p\to q \end{eqnarray*}$ für p = F und q = W zu W definieren [...]

Vertippt?

air

Ja, danke! Habs korrigiert.

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