Gleichungssystem, x und y im Nenner

03.10.2008, 22:22

babelon

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Gleichungssystem, x und y im Nenner

Hallo,

ich habe ein Lineares Gleichungssystem zu lösen, bei dem x und y zu Beginn im Nenner stehen.
Ich weiß nicht, wie ich hier vorgehen soll. Würde mich freuen, wenn mir geholfen wird. Das System lautet:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}\frac{1}{x+y} &+& \frac{1}{x-y} &=& 1\\ \\ \frac{2}{x+y} &+& \frac{3}{x-y} &=& 1\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruß babelon

03.10.2008, 22:27

Jacques

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Hallo,

Das ist m. E. kein lineares Gleichungssystem.

Die Brüche kannst Du „entfernen“, indem Du beide Gleichungen mit dem Produkt beider Nenner multiplizierst.

03.10.2008, 22:39

babelon

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ich habe folgendes ausprobiert

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \frac{x-y}{x^2-y^2} &-& \frac{x+y}{x^2-y^2} &=& 1\\ \\ \frac{2(x-y)}{x^2-y^2} &+& \frac{3(x+y)}{x^2-y^2} &=& 1\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

ich habe also die Brüche derart erweitert, dass jeweils der Nenner des anderen Quotienten zum Erweitern genutzt wurde ..und danach habe ich es mit der 3. bin. Formel (bzw. Distributivgesetz) umgeformt.
Im nächsten Schritt bekomme ich dann den Nenner weg, indem ich in beiden Zeilen die Gleichungen mit $\begin{eqnarray*} (x^2-y^2) \end{eqnarray*}$ multipliziere. Daraus erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}(x-y) &-& (x+y) &=& x^2 -y^2\\ \\ 2(x-y) &+& 3(x+y) &=& x^2-y^2\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das bis hier hin so, wie du es meintest @Jacques ?

gruß babelon

03.10.2008, 22:45

babelon

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Zitat:

Original von Jacques
Das ist m. E. kein lineares Gleichungssystem.

Hmm, ich habe bisher nur Lineare Gleichungssysteme berechnet, jetzt sehe ich auch, dass es Quadrate gibt smile

smile

Wie gehe ich denn nun weiter vor ?

gruß babelon

03.10.2008, 22:50

Jacques

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Ich meinte es eigentlich so, dass man beide Gleichungen jeweils mit x² - y² multipliziert. Aber Dein Rechenweg ist auch in Ordnung, und es läuft beides auf dasselbe hinaus. Ich finde nur das Erweitern etwas umständlicher.

Als Lösungsansatz: Eigentlich müsste das Additionsverfahren auch hier erlaubt sein. Dann kannst Du die quadratischen Terme leicht entfernen.

// edit: Ich habe gerade gesehen, dass Du sonst im Hochschulbereich postest. Gehört diese Aufgabe nicht evtl. auch dorthin? Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.10.2008, 23:13

babelon

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Zitat:

Original von Jacques
edit: Ich habe gerade gesehen, dass Du sonst im Hochschulbereich postest. Gehört diese Aufgabe nicht evtl. auch dorthin? Augenzwinkern

Augenzwinkern

die Aufgabe ist aussen vor und ist nicht bei mir im Studium aufgetaucht. Ich habe hier ein Skript, dass die Erstsemester ZUM STUDIENBEGINN an der FH können müssen; gilt bei denen also als Schulmathematik. Und diese Aufgabe stand dort drin im Kapitel "Lineare Gleichungssysteme". Ich selber hatte so eine Aufgabe noch nie gerechnet und bin selber erstaunt über das System.

Ich werde jetzt erst mal versuchen, mit dem üblichen Verfahren weiter zu rechnen

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03.10.2008, 23:15

Jacques

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Zitat:

Original von babelon

Ich werde jetzt erst mal versuchen, mit dem üblichen Verfahren weiter zu rechnen

Hast Du den Lösungsvorschlag gesehen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde zuerst bei beiden Gleichungen die linke Seite vereinfachen. Und dann die obere Gleichung von der unteren subtrahieren.

03.10.2008, 23:32

babelon

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ich habe mir jetzt folgende Umformungen gedacht:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} &-& 2y &=& x^2-y^2\\ \\ 5x &+& y &=& x^2-y^2\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -5x &-& 3y &=& 0\\ \\ 5x &+& y &=& x^2-y^2\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x &-& \frac{3}{5}y &=& 0\\ \\ 5x &+& y &=& x^2-y^2\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x &-& \frac{3}{5}y &=& 0\\ \\ && 4y &=& x^2-y^2\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Ist das ein richtiger Weg?
2. Wie geht es dann weiter?

gruß babelon

03.10.2008, 23:45

Jacques

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Das zweite Gleichungssystem ist richtig. Aber dann hast Du beim Schritt zum nächsten System einen Vorzeichenfehler in der oberen Gleichung gemacht:

Wenn Du die Gleichung durch -5 dividierst, erhältst Du

$\begin{eqnarray*} x + \frac{3}{5}y = 0 \end{eqnarray*}$

(nicht ... -(3/5)y ...)

Den nächsten Schritt verstehe ich nicht. Was hast Du gerechnet?

Ansonsten: Ich würde jetzt die obere Gleichung nach x auflösen, dann erhältst Du zwei Lösungen. Setze zuerst eine in die untere Gleichung ein, dann erhältst Du wieder zwei Lösungen für y.

// Nur um es nochmal zu sagen: Ich habe solche LGS auch noch nicht gelöst, deswegen meine Frage mit dem Hochschulbereich.

Aber man kann ja am Ende die Probe machen, ob die ermittelten Lösungen tatsächlich stimmen.

03.10.2008, 23:53

babelon

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also noch mal ohne den Fehler:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} &-& 2y &=& x^2-y^2\\ \\ 5x &+& y &=& x^2-y^2\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -5x &-& 3y &=& 0\\ \\ 5x &+& y &=& x^2-y^2\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x &+& \frac{3}{5}y &=& 0\\ \\ 5x &+& y &=& x^2-y^2\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

(hier hatte ich zuerst falsch abgetippt und dann rumgefuscht) auf dem Papier habe ich es richtig gemacht: $\begin{eqnarray*} z_2 - 5\cdot z_1 \end{eqnarray*}$ (2.Zeile minus das fünffache der 1. Zeile)

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x &+& \frac{3}{5}y &=& 0\\ \\ &-& 2y &=& x^2-y^2\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt weiß ich nicht, was du damit meinst, dass ich in der 1. Zeile nach x auflösen soll.. soll ich einfach schreiben: x=-(3/5)y ? Da sind ja nicht gerade 2 Lösungen, oder doch ?

04.10.2008, 00:14

DarthVader

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sorry, dass ich mich kurz einmische; aber seid ihr euch sicher, dass das gleichungssystem überhaupt lösbar ist.....

04.10.2008, 00:25

Jacques

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Ziemlich sicher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Man kann die Aufgabe ja geometrisch interpretieren: Man sucht die Schnittpunkte zweier Relationsgraphen

[attach]8775[/attach]

Und weil es anscheinend zwei Schnittpunkte gibt, müsste es auch zwei Lösungen geben.

04.10.2008, 00:32

babelon

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Zitat:

Original von DarthVader
sorry, dass ich mich kurz einmische; aber woher hast du auf einmal das z her babylon.

sorry, aber wo hast du das y her in meinem Namen smile

smile

@DarthVader
ich entschuldige mich für die Schreibweise mit dem $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Das ist meine ganz persönliche Schreibweise dafür, dass ich Zeilen voneinander abziehe. Der Index beim Zedd gibt mir dann die Nummer der Zeile im System an. $\begin{eqnarray*} z_2=2.Zeile \end{eqnarray*}$ . Das ist eine übliche Schreibweise von einem meiner Professoren.

In dem Skript steht nur das Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} x=-\frac{15}{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{25}{8} \end{eqnarray*}$

Ich habe die gerade eingesetzt und nachgeprüft.

edit: Nach der Grafik zu urteilen wäre noch ein Punkt bei x=0 und y=0.. dafür ist unser Ausdruck jedoch nicht definiert (Nenner=0)

04.10.2008, 00:36

DarthVader

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ja da hab ich wohl was übersehen.....also es müssten ja für y zwei werte rauskommen und für x auch......mmmhhh laut meiner rechnung sind die graphen identisch

04.10.2008, 00:38

Jacques

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@ babelon:

OK, im Graphikprogramm wird genau das auch ausgegeben: Das Ergebnis der Musterlösung und der Punkt (0|0), der aber ja ausgeschlossen wurde.

Willst Du die Lösung trotzdem nochmal rechnerisch ermitteln?

@ DarthVader:

Wie sieht Deine Rechnung denn aus?

04.10.2008, 00:40

babelon

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@JAcques:
Ja, ich möchte es gerne rechnerisch lösen! Mir geht es ja genau darum, dass ich lerne, solche Typen von Gleichungssystemen ebenso zu lösen.

Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruß babelon

04.10.2008, 00:57

Jacques

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OK, ich schreibe einfach mal meinen Rechenweg auf:

Das letzte System war:

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{aligned} x + \frac{3}{5}y & = 0 \\ -2y = x^2 - y^2 \end{aligned} \right] \end{eqnarray*}$

Jetzt löst man die obere Gleichung nach x auf:

$\begin{eqnarray*} x = -\frac{3}{5}y \end{eqnarray*}$

Diesen Term setzt man in die untere Gleichung ein und erhält durch Umformen:

$\begin{eqnarray*} y^2 - \frac{25}{8}y = 0 \end{eqnarray*}$

Ausklammern von y:

$\begin{eqnarray*} y \left(y - \frac{25}{8} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2 = \frac{25}{8} \end{eqnarray*}$

(Ich habe den Satz benutzt: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Man hätte auch einfach die pq-Formel o.ä. anwenden können, aber wenn es keinen konstanten Summanden gibt, dann klammert man möglichst aus)

Die Lösungen für x erhält man, wenn man y1 und y2 in die obere Gleichung einsetzt:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = -\frac{15}{8} \end{eqnarray*}$

04.10.2008, 01:10

DarthVader

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ja die ergebnisse hab ich auch (ich habs mit pq-formel gemacht), wenn ich jedoch irgendwo einsetzt erhalte ich zB. 0=0, geometrisch gedeutet bedeutet das doch, dass die graphen identisch sind verwirrt

verwirrt

04.10.2008, 01:10

babelon

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Zitat:

Original von Jacques
$\begin{eqnarray*} x = -\frac{3}{5}y \end{eqnarray*}$

Diesen Term setzt man in die untere Gleichung ein und erhält durch Umformen:

$\begin{eqnarray*} y^2 - \frac{25}{8}y = 0 \end{eqnarray*}$

Ich sehe nicht, was du da gemacht hast *schäm*

04.10.2008, 01:13

babelon

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okay ich habs smile

smile

04.10.2008, 01:17

Jacques

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Zitat:

Original von DarthVader

ja die ergebnisse hab ich auch (ich habs mit pq-formel gemacht), wenn ich jedoch irgendwo einsetzt erhalte ich zB. 0=0, geometrisch gedeutet bedeutet das doch, dass die graphen identisch sind verwirrt

verwirrt

Wenn Du die Zahlenergebnisse in eine Gleichung einsetzt und eine wahre Aussage erhältst (0 = 0), dann bestätigt das nur die Richtigkeit des Ergebnisses: Der Punkt liegt tatsächlich auf dem Graphen, denn er erfüllt die Relationsvorschrift.

Du verwechselst das mit irgendwas.

04.10.2008, 01:18

babelon

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DANKE an euch beide @Jacques und @DarthVader

Freude

Freude

Jetzt hab ich die Aufgabe gesehen, .. was man da macht .. und dass es da nicht irgend ein anderes Verfahren für genutzt werden muss.. ich habe die letzten Tage ständig etwas falsch gemacht und hatte geglaubt, dass ich gar nicht mehr umformen kann.

Vielen Dank

04.10.2008, 01:22

babelon

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btw @ Jacques:

Der Punkt (0,0) ist keine Lösung, wenn ich es richtig sehe, da die Ausgangsgleichungen mit diesem Punkt nicht definiert sind. Somit ist der rechnerisch erhaltene Punkt nicht in der Definitionsmenge und kann nicht in der Lösiungsmenge angegeben werden.

Sehe ich das falsch?

Ich möchte ausser Frage lasse, dass der Punkt tatsächlich ein Schnittpunkt der beiden Gra(f)en ist. Mir geht es nur darum, dass er nicht zur Lösungsmenge gehören kann, wenn er schon in der Definitionsmenge nicht dazu gehört.

04.10.2008, 01:23

DarthVader

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hehe du solltest wohl eher nur jaques danken, er war hier die führende kraft, ich hab ja selbst was dabei gelernt =)

@jaques:
mmmhhh ja kann wohl sein, hehe aber durch drehung würde es klappen, nennt man in der geometrie die beiden figuren dann nicht ähnlich smile

smile

04.10.2008, 01:28

babelon

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VIELEN DANK an Jacques, weil du uns das gezeigt hast!
VIELEN DANK an DarthVader, dass du dich an der Diskussion beteiligt hast!

04.10.2008, 01:28

Jacques

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Zitat:

Original von babelon

Der Punkt (0,0) ist keine Lösung, wenn ich es richtig sehe, da die Ausgangsgleichungen mit diesem Punkt nicht definiert sind. Somit ist der rechnerisch erhaltene Punkt nicht in der Definitionsmenge und kann nicht in der Lösiungsmenge angegeben werden.

Sehe ich das falsch?

Nein, das ist genau richtig. Vielleicht als ähnliches Beispiel: 1/x = 0. Hier erhielte man rechnerisch auch x = 0, aber das ist ebenfalls keine Lösung, weil 0 nicht zur Definitionsmenge gehört. (In Wahrheit durfte man auch nur deswegen mit x multiplizieren, weil man vorausgesetzt hat, dass x nicht 0 ist)

Aber nochmal allgemein:

Ich befürchte, dieses Gleichungssystem war ein Sonderfall, also kein gutes Beispiel für das allgemeine Verfahren. Man konnte eine Gleichung ja einfach linear „machen“ -- das funktioniert sicher nicht immer.

Wenn es Dir um das allgemeine Verfahren geht, müsstest Du nochmal eine andere Aufgabe raussuchen -- aber vielleicht gibt es ja auch ein besseres Lösungsverfahren als das, was wir angewandt haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.10.2008, 01:32

babelon

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für heute bin ich erst mal platt..

Aber nochmal zum Ausgangsproblem:
Soll ich das nächste mal im Hochschulbereich posten, wenn ich noch so eine Aufgabe davon nicht können würde ?
Oder ist das deiner Meinung nach hier richtig aufgehoben ?

04.10.2008, 01:35

DarthVader

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ich habe ja auch nicht die null in die gleichung engesetzt; wie jaques mich schon berichtigt hatte, wird hier lediglich die richtigkeit der relationsvorschrift bestätigt.

also solche gleichungssysteme gehören "noch" in den schulbereich, denke ich; aber keiner hier wird dir den kopf abschlagen wenns im hochschulbereich gepostet wird smile

smile

04.10.2008, 01:37

babelon

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gut, ich bedanke mich und sehe diesen Fret als abgeschlossen für mich an Big Laugh

Big Laugh

04.10.2008, 08:30

kikira

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Zitat:

Original von babelon
ich habe folgendes ausprobiert

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \frac{x-y}{x^2-y^2} &-& \frac{x+y}{x^2-y^2} &=& 1\\ \\ \frac{2(x-y)}{x^2-y^2} &+& \frac{3(x+y)}{x^2-y^2} &=& 1\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf dieses Minus zwischen den Brüchen auf der linken Seite?

Entweder hast du in deinem 1. Post die Gleichungen falsch gepostet oder du hast hier ein falsches Vorzeichen.

lg, kiki

06.10.2008, 10:10

Nubler

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warum nicht folgender weg:

substituiert:

$\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{x+y} \\ b=\frac{1}{x-y} \end{eqnarray*}$

des system in a und b lösen
dann setzt an:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}=x+y \\ \frac{1}{b}=x-y \end{eqnarray*}$

und alles bleibt im linearen bereich...

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