Nilpotenter Endomorphismus |
08.07.2006, 17:53 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nilpotenter Endomorphismus Für die Klausurvorbereitung haben wir von unserer Professorin folgende Aufgabe bekommen: Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum, nilpotenter Endomorphismus, V f-zyklisch, f-invariante Teilräume. Zeigen Sie: oder . OK. Weil f nilpotent ist gibt es nur einen Eigenwert Null. Weil V f-zyklisch existiert eine Basis wenn d=dim V. Die Teilräume sind f-invariant, also: bzw. . Nun bin ich nicht viel weiter gekommen, als dass ich weiß, dass dann U1 eine Basis als Teilmenge von V besitzt und analog für U2. Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich die Aussage beweisen kann? Dankeschön |
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09.07.2006, 13:12 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » |
ein Zwischenschritt: zeige das gelten muss damit kriegst du dann deine Aussage bewiesen |
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09.07.2006, 14:51 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zu zeigen: Beweis: Es gilt: Dabei ist der stabile Exponent. Ferner: weil Also: bzw. qed. OK - das hab ich ja hingekriegt, aber ich steh nun ehrlich gesagt aufm Schlauch, wie mir das jetzt weiterhelfen soll... bitte nochmal hilfe |
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10.07.2006, 13:21 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » |
suche mal eine Basis für die f-zyklischen Unterräume U1, U2... bedenke, dass diese Unterräume f-invariant sein sollen... wenn v also ein Element von der Basis von U1 oder U2 ist dann muss auch f(v) in U1 oder U2 liegen... wenn du dann rausbekommen hast, wie so eine f-zyklische Basis für die Unterräume aussehen muss, ist der letzte Schluss dann nicht mehr schwer... mfg Sunwater P.S. Dein Beweis geht viel schneller, als Folgerung aus dem Satz von Caley-Hamilton... - du weißt, dass deine Abbildung eingesetzt in das char. Pol. die Nullabbildung ist. Nun ist dein char. Pol. aber q.e.d. *g* |
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