Nilpotenter Endomorphismus

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotenter Endomorphismus
Hi!

Für die Klausurvorbereitung haben wir von unserer Professorin folgende Aufgabe bekommen:

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum, nilpotenter Endomorphismus, V f-zyklisch, f-invariante Teilräume.
Zeigen Sie: oder .

OK. Weil f nilpotent ist gibt es nur einen Eigenwert Null. Weil V f-zyklisch existiert eine Basis

wenn d=dim V.

Die Teilräume sind f-invariant, also:

bzw. .

Nun bin ich nicht viel weiter gekommen, als dass ich weiß, dass dann U1 eine Basis als Teilmenge von V besitzt und analog für U2.

Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich die Aussage beweisen kann?

Dankeschön Wink
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

ein Zwischenschritt:
zeige das gelten muss
damit kriegst du dann deine Aussage bewiesen
 
 
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zu zeigen:

Beweis:

Es gilt:



Dabei ist der stabile Exponent.

Ferner:

weil





Also:

bzw.

qed.

OK - das hab ich ja hingekriegt, aber ich steh nun ehrlich gesagt aufm Schlauch, wie mir das jetzt weiterhelfen soll... verwirrt

bitte nochmal hilfe
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

suche mal eine Basis für die f-zyklischen Unterräume U1, U2...

bedenke, dass diese Unterräume f-invariant sein sollen...

wenn v also ein Element von der Basis von U1 oder U2 ist dann muss auch f(v) in U1 oder U2 liegen...

wenn du dann rausbekommen hast, wie so eine f-zyklische Basis für die Unterräume aussehen muss, ist der letzte Schluss dann nicht mehr schwer...

mfg Sunwater

P.S. Dein Beweis geht viel schneller, als Folgerung aus dem Satz von Caley-Hamilton... - du weißt, dass deine Abbildung eingesetzt in das char. Pol. die Nullabbildung ist. Nun ist dein char. Pol. aber
q.e.d. *g*
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