Gruppe

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raemic Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe
Aufgabe: zeige dass (Q*, x) eine Gruppe ist..
wie gehe ich am besten vor?

also ich kann sagen was das in der Klammer bedeutet x
oder anders x

nun muss ich zeigen das es genau eine Inverse gibt, zeige ich das jetzt einfach indem ich schreibe:
(e ist das neutrale element)

dann muss ich das beweisen indem ich schreibe und dann



wäre das soweit richtig?

auch ist es erlaubt und einfach wenn ich am anfang sagen würde
g'=
g=

und das ganze dann so aufschreibe?

wäre das soweit das richtige vorgehen? und jetzt müsste ich einfach analog noch das mit dem neutralen Element usw beweisen?

Liebe grüss
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe
Zitat:
Original von raemic

nun muss ich zeigen das es genau eine Inverse gibt



Nein, das musst du nicht zeigen. Das ist klar wenn du gezeigt hast, dass es eine Gruppe ist.

Nun, du hast deine Verknüpfung und jetzt sollst du ein neutrales Element finden und zu sollst du ein inverses finden.
Der erste Schritt besteht darin, diese einfach mal zu wählen und dann zu zeigen, dass du dann mit diesen wahlen eine Gruppe erhälst.

Wählen wir mal und zu wählen wir als Inverses das Element .
Nun zeige:
(i)
(ii) Für dass
(iii) für alle
(iv) Die Verknüpfung ist assoziativ.

Dann hast du gezeigt, dass eine Gruppe bildet mit dem oben gewählten neutralen Element und inversen Elementen [das heisst in (i) - (iv) weist du genau die Gruppenaxiome nach].
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und besten Dank für die Antwort,

also ich muss jetzt nochmal nach haken, also um eine zu zeigen das etwas eine Gruppe ist, egal ob das jetzt (Q*, x) oder (N, °) oder irgend etwas ist, ist der 1. Schritt das ich ein neutrales Element suche und eine Inverse?

Also wenn ich zB. habe zeige das (N, x) ein Gruppe ist, kann ich z.B. annehmen das ein N * N -> N irgend eine natürlich Zahl ist, z.B. 8 und dann wäre die Inverse -8 und das neutrale Element 1?

Stimmt das soweit bevor ich weiter irgendwelche Schlüsse ziehe wie ich dann vorgehen müsste?

Ach und jetzt für das Beispiel (Q*,x) , dass ist so wie du das nun gemacht hast schon gezeigt? muss da nicht irgendwie noch mehr kommen? Tut mir leid für die komische Frage, aber ich hab mühe mit diesem Abstrakten..

Liebe Grüsse

Michael
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von raemic
also ich muss jetzt nochmal nach haken, also um eine zu zeigen das etwas eine Gruppe ist, egal ob das jetzt (Q*, x) oder (N, °) oder irgend etwas ist, ist der 1. Schritt das ich ein neutrales Element suche und eine Inverse?


Ja, du wählst neutrales Element und Inverse. Dann kannst du entweder zeigen dass es damit eine Gruppe ist oder eben nicht. Kannst du es nicht zeigen, waren eventuell die Elemente falsch gewählt.

Zitat:
Original von raemic
Also wenn ich zB. habe zeige das (N, x) ein Gruppe ist, kann ich z.B. annehmen das ein N * N -> N irgend eine natürlich Zahl ist, z.B. 8 und dann wäre die Inverse -8 und das neutrale Element 1?


Naja, hast du gegeben, bedeutet das schon dass die Abbildung nicht aus der Menge herausführt, das heisst das Ergebnis von für ist automatisch wieder in .

In deinem Beispiel geht es schief, da , aber das neutrale Element muss natürlich in der Gruppe liegen [obwohl deine Wahl sowieso murks ist, denn das Inverse bezüglich der Multiplikation müsste sein Augenzwinkern , aber auch das liegt nicht in ]. Das neutrale Element ist OK.


Zitat:
Original von raemic
Ach und jetzt für das Beispiel (Q*,x) , dass ist so wie du das nun gemacht hast schon gezeigt? muss da nicht irgendwie noch mehr kommen? Tut mir leid für die komische Frage, aber ich hab mühe mit diesem Abstrakten..


Wenn dir jemand eine Menge gibt und eine Verknüpfung sowie ein element welches er neutrales Element nennt und er sagt dir noch, dass er für ein Element als Inverses haben will.
Dieser Jemand hat nun schon alle Wahlen getroffen.
Nun erst kommst du und überprüfst ob mit diesen Wahlen das ganze zu einer Gruppe wird. Und wann wird es zu einer Gruppe?
Schaue in die Definition, da steht so etwas wie ist genau dann eine Gruppe, wenn die Axiome erfüllt sind.
Das bedeutet du sollst diese Axiome überprüfen. Sind sie erfüllt, ist mit diesen Wahlen eine Gruppe. Sind sie nicht alle erfüllt, ist es keine Gruppe mit diesen Wahlen.



Zb. ist [übliche Addition] eine Gruppe, aber [übliche Multiplikation] ist keine Gruppe [die Inversen gibt es nicht in , d.h. man hat einfach schlecht gewählt] oder es ist keine Gruppe [dämliche Wahl des neutralen Elements].
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Zitat:
Original von raemic
Also wenn ich zB. habe zeige das (N, x) ein Gruppe ist, kann ich z.B. annehmen das ein N * N -> N irgend eine natürlich Zahl ist, z.B. 8 und dann wäre die Inverse -8 und das neutrale Element 1?


Naja, hast du gegeben, bedeutet das schon dass die Abbildung nicht aus der Menge herausführt, das heisst das Ergebnis von für ist automatisch wieder in .


In deinem Beispiel geht es schief, da , aber das neutrale Element muss natürlich in der Gruppe liegen [obwohl deine Wahl sowieso murks ist, denn das Inverse bezüglich der Multiplikation müsste sein Augenzwinkern , aber auch das liegt nicht in ]. Das neutrale Element ist OK.


Also wäre (N,x) in diesem Beispiel keine Gruppe da man keine Inverse finden kann welche Element von N ist, und somit wäre eines der Axiome nicht erfüllt?

Zitat:
Original von system-agent
Zitat:
Original von raemic
Ach und jetzt für das Beispiel (Q*,x) , dass ist so wie du das nun gemacht hast schon gezeigt? muss da nicht irgendwie noch mehr kommen? Tut mir leid für die komische Frage, aber ich hab mühe mit diesem Abstrakten..


Wenn dir jemand eine Menge gibt und eine Verknüpfung sowie ein element welches er neutrales Element nennt und er sagt dir noch, dass er für ein Element als Inverses haben will.
Dieser Jemand hat nun schon alle Wahlen getroffen.
Nun erst kommst du und überprüfst ob mit diesen Wahlen das ganze zu einer Gruppe wird. Und wann wird es zu einer Gruppe?
Schaue in die Definition, da steht so etwas wie ist genau dann eine Gruppe, wenn die Axiome erfüllt sind.
Das bedeutet du sollst diese Axiome überprüfen. Sind sie erfüllt, ist mit diesen Wahlen eine Gruppe. Sind sie nicht alle erfüllt, ist es keine Gruppe mit diesen Wahlen.


OK, nun sind aber die Elemente ja abstrakt bzw. e = neutrales Element und und n = Inverse, und die sind ja als Wahlen schon getroffen wie du sagst, wie überprüfe ich das nun? muss ich dann in so einem Beispiel alles nur "formal" notieren und nicht konkret mit Werten überprüfen?

Oder wenn ich es mit Werten überprüfen muss, wie weiss ich dann das es für alle Werte aus z.B. N oder Q gilt, wenn ich einfach mit einem oder zwei Werten die Axiome überprüfe? muss ich dann die Induktion zu Hilfe nehmen? oder wäre das gar nicht nötig?

liebe grüsse
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von raemic

Also wäre (N,x) in diesem Beispiel keine Gruppe da man keine Inverse finden kann welche Element von N ist, und somit wäre eines der Axiome nicht erfüllt?


Genau Freude .
Natürlich ist im Allgemeinen nicht so leicht klar, dass man das Inverse nicht finden "kann", vielleicht hat man ja nur eine schlechte Wahl getroffen.

[quote]Original von raemic
OK, nun sind aber die Elemente ja abstrakt bzw. e = neutrales Element und und n = Inverse, und die sind ja als Wahlen schon getroffen wie du sagst, wie überprüfe ich das nun? muss ich dann in so einem Beispiel alles nur "formal" notieren und nicht konkret mit Werten überprüfen?

Oder wenn ich es mit Werten überprüfen muss, wie weiss ich dann das es für alle Werte aus z.B. N oder Q gilt, wenn ich einfach mit einem oder zwei Werten die Axiome überprüfe? muss ich dann die Induktion zu Hilfe nehmen? oder wäre das gar nicht nötig?

liebe grüsse


Na ich muss es ja abstrakt hinschreiben Augenzwinkern
Aber wenn dir dieser Jemand eine Menge geben will, dann muss diese ja schliesslich schon konkret vorliegen, wie in deinem eigentlichen Beispiel .

Machen wirs doch einfal mal so:
Ich gebe dir jetzt die Menge vor, eine Verknüpfung definiere ich durch [die Multiplikation hier in "" und "" ist die Multiplikation aus ] und ich gebe dir und zu einem Element das dazu Inverse Element .
Jetzt will ich von dir wissen ob das eine Gruppe ist.
Deine Antwort wird ziemlich schnell "NEIN" sein, denn und damit ist ein Axiom nicht erfüllt.
OK, sage ich, dann nehmen wir eben . Nun siehst du zwar, dass , aber dass meine Wahl nicht die in den Axiomen geforderten Eigenschaften des neutralen Elements hat, also bekommt man wieder keine Gruppe.
Nun wähle ich eben doch und diesmal kannst du mir freudestrahlend verkünden dass es eine Gruppe ist Augenzwinkern .
Nun weise das mal nach !
 
 
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ok,

also 1. Fall



(i) also keine Gruppe

2. Fall



(i)
OK
(ii)


z.B.
also keine Gruppe da.

3. Fall


(i)
OK
(ii)


z.B.
also alles OK, da.

(iii)


z.B auch Ok

somit ist der 3. Fall eine Gruppe

wäre das so richtig und korrekt nachgewiesen bzw. ist es sauber es mit Beispielen zu tun oder sehen das Dozenten nicht gerne smile

oder anders gefragt, bei meinen Aufgabe könnte ich es genau so machen ?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Die ersten beiden Dinge sind perfekt Freude .

Zitat:
Original von raemic

wäre das so richtig und korrekt nachgewiesen bzw. ist es sauber es mit Beispielen zu tun oder sehen das Dozenten nicht gerne smile

oder anders gefragt, bei meinen Aufgabe könnte ich es genau so machen ?


Nein, ein Beweis kann man nie mit einem Beispiel machen !!!!!
Nur um zu zeigen dass etwas nicht gilt kann man Gegenbeispiele bringen, genauso wie du es bei (i) und (ii) gemacht hast.

Nun ich machs dir mal für das neutrale Element im Fall (iii) vor.
Wir haben also zu zeigen, dass ein neutrales Element ist [dass liegt ist klar].
Sei also beliebig.
Dann ist

Hier habe ich im ersten Schritt die Definition der Verknüpfung verwendet und im zweiten Schritt, dass 1 ein neutrales Element der Multiplikation in ist.
Auch ist

[gleiche Begründungen wie vorher]
Damit ist gezeigt, dass ein neutrales Element bezüglich der gewählten Verknüpfung ist.

Nun bist du dran, die restlichen Axiome nachzuweisen, welche (1) die Assoziativität ist und (2) die Sache mit den Inversen.

Fange so an:
(1) Seien beliebig.

[Nutze nur die Definition der Verknüpfung und die Assoziativität aus ]

(2) Sei beliebig, zeige also, dass .

[Nutze die Definition der Verknüpfung und die Kürzungsregel. Vielleicht musst du die Kürzungsregel noch begründen, wenn du sie nicht voraussetzen darfst]
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab zwar das dumpfe Gefühl das es nicht stimmt, da ich ja eigentlich nix neues mache, aber wäre es in etwas so?

(1)




(2)



system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von raemic

(1)




Das ist Unsinn, denn das ist doch genau das was du zeigen sollst.
Ich hab dir doch schon gesagt wie du anfangen sollst:
Seien beliebig. Dann ist


Nun begründe mal wieso ich das alles so machen darf wie ich das gemacht habe.


Zitat:
Original von raemic
(2)





Das ist doch nur zweimal das Gleiche hingeschrieben unglücklich

Sei beliebig.


Und auch hier begründe das alles mal.


Aber solche Beweise stehen auch in vielen Büchern, da solltest du mal nachlesen.
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja tut mir Leid, ich habe es mir eigentlich auch gedacht, aber ich hab noch verdammt Mühe solche Beweise zu zeigen und so "abstrakt" zu denken.

Ja man darf das doch tun weil alle Elemente gleich sein können und es somit keine Rolle spielt wie man die Klammern setzt. also z.B.

(a°b)°c = a°(b°c)

x=(a°b)
y=(b°c)

a(x(m)=a(y(m)) => a(b(c(m) = a(b(c(m)))

richtig soweit? oder ist das wieder ein kapitaler Fehlgriff?
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

tschuldigung, wenn dann eher so:

(a°b)°c = a°(b°c)

x=(a°b)
y=(b°c)

(x(c(m))=a(y(m)) => a(b(c(m) = a(b(c(m)))
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Du verwechselst da etwas.
Du musst ja gerade zeigen dass man das tun darf, was du in den letzten beiden Beiträgen angesprochen hast, sprich: dass es assoziativ ist.
Meine Ausführung wäre ja überflüssig, wenn man schon die Assoziativität hätte.

Der Witz ist doch:
Nehmen wir mal mit einer Verknüpfung definiert durch
. Nun ist nicht

[zumindest glaube ich das nicht, bin aber grade zu faul das zu überprüfen Augenzwinkern ].

Das heisst dann, dass keine Gruppe wäre, da nicht assoziativ ist.

Nun versuch mal, wirklich Schritt für Schritt, zu begründen, was ich im obigen bei gemacht habe und vor allem: wieso ich das tun kann.
[Hinweis: mit der üblichen Multiplikation ist eine Gruppe].
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid, aber wenn ich das so nicht zeigen kann dann habe ich wohl definitiv nicht verstanden um was es geht. ich weiss zwar was Assoziativität bedeutet, aber ich hab jetzt wirklich keine Ahnung wie ich deinen letzten Beitrag verstehen soll. Also ich meine ich kann Assoziativität zeigen wenn ich nur einen "Operationstyp" habe aber das wird wahrscheinlich nichts damit zu tun haben.

Naja ich kann noch sagen das die Assoziativität besagt, das dass Produkt von drei Produkten unabhängig davon ist wie geklammert wird und da wir hier die Operatoren + haben, was eine Summer ergäbe und * was das Produkt wäre kann das hier ev. nicht sein.

Aber ganz ehrlich, eigentlich verstehe ich jetzt weniger als vorher.

gruss
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuch es nochmal:
Wir waren soweit, dass dir jemand [vielleicht ich, vielleicht Gott] eine Menge , eine Verknüpfung gibt [das heisst ich geb dir beides ganz konkret definiert, wie oben und die Veknüpfung aus deinem ersten Beitrag] sowie ein (behauptetes) neutrales Element und ich setze zu einem Element auch ein Element so, dass ich auch behaupte, dass es ein inverses Element von bezüglich deiner Verknüpfung sein soll.
Nochmals: bisher ist garnichts bewiesen, es gibt bloss eine Handvoll Behauptungen.
Nun kommt gleich die nächste Behauptung: Ich sage dass eine Gruppe ist.
Wie kann man zeigen dass es wirklich so ist? Man muss die Gruppenaxiome zeigen bezüglich meinen ganzen getroffenen Wahlen!
Das heisst im Klartext man soll beweisen:
(i) für alle
(ii) für alle und das gewählte .
(iii) für jedes und das oben behauptete zugehörige Inverse .

Wie gesagt, bisher weiss man garnichts über . Wir wissen garnicht dass es assoziativ ist. Das müssen wir also zeigen !

Nun einmal konkret:
Wir nehmen die Menge und definieren eine Verknüpfung durch wobei hier im Zähler und nenner die bereits bekannte Multiplikation ganzer Zahlen benutzt wurde, sprich die Multiplikation aus .
Nun zeigen wir nochmals (i):
Wir müssen die Assoziativität für alle Elemente in unserer Menge zeigen. Nehmen wir also drei beliebige Elemente aus , nennen wir sie und .
Nun Schritt für Schritt.

Wende die Definition von auf das erste Paar in den Klammern an:

Das Element ist nun wieder eines aus , denn die Verknüpfung ist abgeschlossen, das heisst das Verknüpfen zweier Elemente aus mit führt nicht zu einem Element, welcher garnicht in liegt [das könnte man beweisen, indem man die Definition von nimmt und die Abgeschlossenheit der Multiplikation von ]. Nun weiter: Lasse nun die Klammer weg und wende wieder die Definition von an:

Nun wissen wie bereits, dass die Multiplikation von assoziativ ist, das heisst es ist und und damit erhalten wir

Nutze nun die Definition von rückwärts:

und setze nun Klammern und wende nochmals die Definition rückwärts an:

Damit haben wir also für beliebige drei Elemente aus bezüglich unserer definierten Verknüpfung gezeigt, dass assoziativ ist.

Nun stelle konkrete Fragen dazu falls etwas unklar ist, ansonsten kannst du in diesem Stil nochmals (ii) und (iii) zeigen.
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

Halllo Agent, besten Dank für deine ausführliche Erklärung.

Ich glaub ich habe es soweit verstanden und will mal versuchen einen Teil davon auf eine andere Aufgabe anzuwenden,

Also die Aufgabe in dem Fall wäre: Seien und Gruppen. Mit der Mengen definieren wir eine Verknüpfung
also (g1',g1'')*(g2',g2'') = (g1'*g2', g1''*g2'') für alle g1',g2' in G' und alle g1'', g2'' in G''.
Zeige das G eine Gruppe ist.

Beh.: G ist eine Gruppe

Bew.: Gruppenaxiome für die "Produktgruppe" überprüfen also die Eigenschaften von G' und G'' auf G übertragen.

(i)



(ii)



(iii) und die Inverse

1. habe ich das soweit richtig verstanden?

2. Jetzt käme ja nach der Schritt in dem man das alles zeigen muss, kann ich da ganz analog zum forderen Beispiel verfahren?

Liebe Grüsse
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, das sind die Dinge die du zeigen musst Freude .
Nur du solltest der übersichtlichkeit halber noch dazuschreiben, was welches Element ist, also etwa
"Sei das neutrale Element aus und das neutrale Element aus . Setze [d.h. du wählst es so] als neutrales Element von ".
Ähnlich mit den Inversen:
"Sei und sein Inverses, sowie und sein Inverses. Setze für das Inverse als ".

Und nun stürze dich auf die Beweise smile .


Noch eine Anmerkung zu LaTeX:
Um das Produkt schöner zu schreiben, nutze den Befehl "\times". Dann ergibt
code:
1:
G'\times G''

genau
.
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

so also, dann will ich mich mal mit den Beweisen versuchen, ich hoffe ich übertrage deine Erklärungen richtig auf auf dieses Beispiel:

(i)



;

(Ich glaub das darf ich mal einfach so annehmen wenn wir x als Verknüpfung haben)


(darf ich hier einfach e schreiben wenn ich es vorher als definiere? oder muss ich (e',e'') hinschreiben?)


(ii)










wäre das soweit OK? müsste ich jetzt das noch für * Rückwärts zeigen?


(iii)
und sein Inverses, und sein Inverses. Setze das Inverse als



also ich hoffe jetzt einfach mal das ich das so halbwegs richtig hin bekommen habe, bin mir halt zwar immer noch nicht sicher ob ich das nun in diesem Beispiel "richtig" gezeigt habe und nicht einfach anders hingeschrieben, wie auch schon.

schon mal besten dank und liebe grüsse, hoffe mal deine nerven liegen nicht gleich blank, sollte es doch nicht richtig sein :P
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss dich leider enttäuschen du hast es nicht gezeigt.
Mal für (i):
Seien , die beiden neutralen Elemente. Setze . Sei nun beliebig. Dann ist

Nutze die Definition der Verknüpfung "":

Nun sind und die neutralen Elemente der entsprechenden Gruppen. Es folgt

was zu zeigen war.
Erst jetzt ist gezeigt, dass wirklich das neutrale Element in bezüglich der Verknüpfung ist.

Nun mach du mal (ii), fange so an:
Seien . Dann ist

wegen der Definition von .

Und hier machst du nun solange weiter, bis du stehen hast.


Aber (iii) ist korrekt Freude .
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ok, naja immerhin war ein Beweis richtig.

hmm wäre es bei (ii) richtig gewesen wenn ich jetzt das was ich gezeigt habe, nur für eine Seite gemacht hätte, dann aber wieder das gesamte rückwärts wie ich es nun unten gezeigt habe. also kann ich sagen das wenigstens ein Teil von (ii) richtig war?



ich hoffe das stimmt nun soweit.

ehm und noch eine Ergänzungsfrage, wenn ich habe mit "+" und "x", zeige das ein Körper ist, dann kann ich im Prinzip einmal den Beweis führen wie gerade Eben für die Gruppe (G,x) und dann noch einen zweiten für die Gruppe mit (G,+) und wenn ich keinen Widerspruch habe, wäre es ein Körper, richtig?

Liebe Grüsse
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von raemic



Das ist jetzt richtig Freude .
Um das Ganze noch übersichtlicher zu gestalten nimm nur für die Verknüpfung auf das Symbol "" und für die Verknüpfungen in und ein anderes Symbol, zb. "".



Zitat:
Original von raemic
ehm und noch eine Ergänzungsfrage, wenn ich habe mit "+" und "x", zeige das ein Körper ist, dann kann ich im Prinzip einmal den Beweis führen wie gerade Eben für die Gruppe (G,x) und dann noch einen zweiten für die Gruppe mit (G,+) und wenn ich keinen Widerspruch habe, wäre es ein Körper, richtig?


Nein.
Ein Körper ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen und .
Dabei ist eine abelsche Gruppe und eine abelsche Gruppe und ausserdem gilt das Distributivgesetz.

Ich würde aber an deiner Stelle erstmal Gruppen richtig verstehen, bevor du dich an Ringe und Körper wagst.
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

OK super, besten Dank für deine Hilfe, nur bin ich mal so frech und frage gleich noch etwas weiter smile

Zitat:
Original von system-agent
Ich würde aber an deiner Stelle erstmal Gruppen richtig verstehen, bevor du dich an Ringe und Körper wagst.


Das sehe ich eigentlich genauso smile nur hab ich halt da jede Woche so ein Blatt mit Übungsaufgaben welches ich machen "sollte" was ja auch ganz Sinnvoll wäre, damit ich das ganze ev. mal etwas besser verstehe. Und jetzt ist halt dort die Aufgabe:

Definieren wir auf der Menge

"also ein Teil wie in der vorigen Aufgabe" mit "+" und "". Zeige, dass jetzt ein Körper ist.

Dann hat das also nicht damit zu tun das ich das nun für beide Verknüpfungen zeigen muss?

Also ich rekapituliere mal: Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen + und * kann eine Ring oder ein Körper sein, nur kommt es darauf an welche Axiome gelten? stimmt das soweit?

(i) Für einen Körper muss K zusammen mit der Addition + eine abelsche Gruppe sein
(ii) K ohne null bzw. muss eine abelsche Gruppe sein
(iii) Das Distributivgesetz muss gelten

Die drei Sachen muss ich also Beweisen?

und eine Gruppe ist abelsch falls ausser den Gruppenaxiomen zusätzlich noch das Kommutativgesetz gilt? stimmt das?

Also wenn ich mit meinen Annahmen soweit richtig liege, könnte ich für (*) und (+) die Gruppenaxiome zeigen, plus das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz für Addition und Multiplikation.
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

Auf die Gefahr hin das ich es noch absolut nicht kapiert habe, versuch ich mal was:

angenommen wir hätten eine Menge und das soll ein Körper sein.

Dann könnte ich direkt mit den Zahlen aus der Menge L zeigen das für "+"

(i) dass: 0+1=1 und somit 0 neutrales Element ist
(ii) dass: 0+1 = 1 = 1+0 kommutativ ist und die Gruppe somit abelsch
(iii) dass: (-1) + 1= 0 = 1 + (-1) somit die Inverse gezeigt wäre (ist ja ersichtlich aus der Gruppentafel)

und dann für (*)

(i) dass: 1*1 = 1 = 1*1 und somit 1 neutrales Element ist
(ii) dass: 0*1 = 0 = 1*0 kommutativ ist und die Gruppe somit auch abelsch ist
(iii) dass: (hier weiss ich jetzt nicht genau was denn die Inverse wäre) könnte es so gehen:


somit wären beides abelsche Gruppen und damit L ein Körper?
stimmt das so halbwegs?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Du meintest mit deinem "" nicht zufällig , denn wenn dem so sein sollte, erhälst du mit den genannten Verknüpfungen auf gerade , den Körper der komplexen Zahlen.


Zitat:
Original von raemic
Also ich rekapituliere mal: Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen + und * kann eine Ring oder ein Körper sein, nur kommt es darauf an welche Axiome gelten? stimmt das soweit?


Ja. Lies dir doch dazu auch mal noch die entsprechenden Artikel bei Wikipedia durch.


Zitat:
Original von raemic
(i) Für einen Körper muss K zusammen mit der Addition + eine abelsche Gruppe sein
(ii) K ohne null bzw. muss eine abelsche Gruppe sein
(iii) Das Distributivgesetz muss gelten

Die drei Sachen muss ich also Beweisen?


Ja.

Zitat:
Original von raemic
und eine Gruppe ist abelsch falls ausser den Gruppenaxiomen zusätzlich noch das Kommutativgesetz gilt? stimmt das?


Ja.


Zu deinem zweiten Beitrag:
Zitat:
Dann könnte ich direkt mit den Zahlen aus der Menge L zeigen das für "+" (i) dass: 0+1=1 und somit 0 neutrales Element ist (ii) dass: 0+1 = 1 = 1+0 kommutativ ist und die Gruppe somit abelsch (iii) dass: (-1) + 1= 0 = 1 + (-1) somit die Inverse gezeigt wäre (ist ja ersichtlich aus der Gruppentafel)


Nein, das ist immernoch nicht gezeigt. Die Gruppe- und auch sonstige Axiome verlangen etwas für alle Elemente einer Menge zu zeigen und mit deinen Ausführungen hast du nicht alle Kombinationen durch.
Aber du hast Recht:
In ist 0 das neutrale Element der Addition und 1 das neutrale Element der Multiplikation.
Diese beiden sind definiert wie in , nur man muss alles modulo 2 rechnen. Das bedeutet .

Ausserdem hast du noch das Distributivgesetz vergessen.
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau, mit R meine ich , sorry.

OK ich falle scheinbar immer wieder drauf rein, ich hab mir gedacht, wenn ich den schon eine Menge habe in welcher konkret Zahlen stehen dann kann ich doch das sicherlich so zeigen, wenn die Aufgabe z.B. lautet : mit ,zeige das es eine Gruppe ist, aber ok, immerhin wäre das "pseudo-gezeigt" ja soweit mal i.O. gewesen, ausser das ich noch das Distributivgesetz anfügen müsste.

ah mag mal wieder eine dumme Frage sein, aber angenommen ich müsste das Distributivgesetz für eine Menge mit zwei Elemente zeigen, Bsp hier (0,1) zeigen, dann macht doch das irgendwie gar keinen Sinn oder?
Laut Definition wäre es ja so:




oder könnte jetzt hier z.B. wieder a,b = 1 sein und c = 0 oder a,b,c = 1 usw. und deshalb muss ich es allgemein zeigen und nicht für ein konkrete Zahl?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Du meintest mit deinem "" nicht zufällig , denn wenn dem so sein sollte, erhälst du mit den genannten Verknüpfungen auf gerade , den Körper der komplexen Zahlen.

Das stimmt nicht, mit der angegebenen Verknüpfungen sind (1,0) und (0,1) Nullteiler. Das ganze also kein Körper!
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Du fällst darauf herein, weil du nicht verstanden hast um was es geht.
kann keine Gruppe sein.
Keine Menge kann eine Gruppe sein. Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung, welche dann die Axiome erfüllt.
Das heisst du musst erstmal und definieren.

Aber in diesem Fall ist das ganz leicht, man kann das nur auf eine Art definieren, wenn man den Körper mit zwei Elementen erhalten will (manchmal als notiert).
Zuerst die Addition:
für alle und sowie .
Damit ist "" wohldefiniert und man sieht sofort dass 0 das neutrale Element ist sowie dass "" kommutativ ist. Bleiben noch die restlichen Gruppenaxiome zu verifizieren.
Die Multiplikation:
für alle und .
Auch hier: Kommutativität ist klar, genauso das neutrale Element, bleibt zu bemerken, dass die triviale Gruppe ist.

Nun noch das Distributivgesetz. Du brauchst hier aber nicht mit "" und zwei Varianten davon zu arbeiten, denn zum einen wird das sowieso für alle Elemente gefordert, das schliess natürlich auch alle möglichen Inverse ein und zum Anderen weisst du schon dass und kommutativ sind.



Natürlich macht das Distributivgesetz einen Sinn, Variablen sind ja bloss Platzhalter.

Zitat:
Original von raemic
und deshalb muss ich es allgemein zeigen und nicht für ein konkrete Zahl?


Genau das ist immer der Punkt. Ein Beispiel reicht niemals [es sei denn man will etwas mit einem Gegenbeispiel widerlegen].




Edit: Danke Kiste, da hab ich falsch geschaut!
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

ja natürlich, wie dumm von mir. in der Aufgabe steht sogar aber ich habe mir gedacht das sei halt einfach eine Menge und dann dachte ich mir da könnte ich genauso gut L nehmen, naja ziemlich dämlich, aber dann ist also die Schreibweise für den kleinsten Körper und somit sind mit auch gleich die Verknüpfungen definiert? oder musst du das sowieso immer zuerst machen, also so wie du es mir jetzt gerade gezeigt hast?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mir sagst, dass du weisst, dass ist, dann brauchst du das nicht Augenzwinkern .
Ansonsten muss man immer alle Verknüpfungen erstmal definieren, denn eine Gruppe, ein Ring oder ein Körper kann man nur immer bezüglich einer [bzw. zwei] Verknüpfungen haben, eine Menge an und für sich reicht eben nicht.
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

ja logisch, tut mir leid, hätte ich eigentlich selbst sehen müssen, bzw. merken müssen, dass eine Menge kein Körper sein kann.

also wenn die Aufgabe genau so lautet: Zeige, dass mit ein Körper ist..

würde das so gemacht:
für
(i) somit ist a das neutrale Element
(ii) somit Kommutativ
(iii) somit inverses Element gezeigt

für
(i) somit ist 0 das neutrale Element
(ii) somit Kommutativ und abelsch
(iii)

und jetzt einfach noch das Distributivgesetz mit z.B. das spielt ja nun keine Rolle das ich hier a,b,c also eigentlich 3 Elemente habe in eine zwei elementigen Menge, zwei könnten ja z.B. gleich sein usw.

so ich hoffe jetzt mal das stimmt, oder darf ich nicht mal die 0 annehmen, müsst das z.B. b sein?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von raemic

würde das so gemacht:
für
(i) somit ist a das neutrale Element
(ii) somit Kommutativ
(iii) somit inverses Element gezeigt


Was tust du hier?
Wie ich schon sagte, zuerst mal ordentlich die Verknüpfung definieren. Wenn du das tust wie ich oben kannst du das mit der Kommutativität vergessen, denn das ist gerade so definiert dass es kommutativ ist.
Das Einzige was es gibt, du definierst und schreibst dann hin, wieso dies auch wirklich das multiplikativ Inverse von ist [eine Zeile].
Mit der Addition ähnlich: erstmal die Verknüpfung definieren. Und wenn du das so machst wie ich ist wieder klar, dass es kommutativ ist.
Bleiben die Inversen zu definieren: Setze .

Was bleibt ist beidesmal die Assoziativität [da könntest du jeweils alle Fälle aufschreiben] und das Distributivgesetz [auch hier kannst du die möglichen Fälle direkt angeben].



Versuche dich aber lieber mal nur an dem Nachweis, dass etwas eine Gruppe ist. Dabei helfen sicherlich diverse Bücher und auch deine Vorlesungsmitschriebe.
raemic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Versuche dich aber lieber mal nur an dem Nachweis, dass etwas eine Gruppe ist. Dabei helfen sicherlich diverse Bücher und auch deine Vorlesungsmitschriebe.


würde ich gerne machen, nur die Übungen nehmen da wohl keine Rücksicht auf mich.

Ok, ich habe es jetzt so verstanden, dass wenn ich habe, dass sich dann das definieren von Verknüpfung erübrigt, aber dann war das wohl mal wieder falsch Big Laugh

und zu meinem "Beweis" naja ich wollte es somit mit a "allgemein" zeigen, also analog zu dem was ich vorher mal mit {0,1} gemacht habe, was ja nicht allgemein war, aber nun gut, dann hab ich das auch mal wieder verbockt... muss ich mich halt noch einmal dahinter setzen.
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