Zyklische Gruppen

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Bär Auf diesen Beitrag antworten »
Zyklische Gruppen
Hallo Leute!

Ich habe zu zwei Aufgaben über zyklische Gruppen eine Frage:

1.) Wie beweist man, ob die symmetrische Gruppe (S3, °) zyklisch ist, oder nicht? (für S2 müsste ich auch, aber das Vorgehen wird sicherlich analog sein, oder?)

für S3 habe ich mir schon mal folgende tabelle notiert:

* (1) (1 2 3) (1 3 2)

(1) (1) (1 2 3) (1 3 2)
(1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1)
(1 3 2) (1 3 2) (1) (1 2 3)



2.) Ist diese Gruppe zyklisch? : Für eine natürliche Zahl n3 sei d Element von S(R^2), wobei S(R^2) die symmetrische Gruppe der Menge R^2 bezeichnet, die Drehung um den Winkel 2*/n um den Ursprung und s Element von S(R^2) die Spiegelung an der x-Achse. Die Diedergruppe ist definiert durch Dn={s^i ° d^j : i Element von {0,1}, j Elem. von {0, ..., n-1}} bezüglich der Komposition ° . Ist die Diedergruppe (Dn, °), n>2 zyklisch?

ich habe mir das ganze mal mit dem n=4 überlegt, dann wäre sie zyklisch - aber wie kann man das richtig beweisen?

Thans a lot im Voraus!
Reto Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zyklische Gruppen
Hallo Bär!
Schon mal gut, dass du S3 richtig erkannt hast!
Wie man das genau beweisen kann weiss ich leider auch nicht und bin nun genauso gespannt, bis man uns hilft! :-)
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zyklische Gruppen sind abelsch, die Sn und Dn für n>=3 nicht
Bär Auf diesen Beitrag antworten »

oke, und was ist mit grösser gleich 3?
..und der beweis?
Urza Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest für die Spezialfälle und auch für alle Elemente die Ordnung berechnen und prüfen, ob die Ordnung eines Elementes gleich der Gruppenordnung ist.
In Bezug auf halte dich am Besten an kiste's Vorschlag. Du brauchst, um zu wiederlegen, dass die Gruppen abelsch sind, ja nur jeweils einen Punkt in der Ebene und zwei Abbildungen aus der Gruppe finden, sodass bei Hintereinanderanwendung auf den Punkt jeweils ein anderer Bildpunkt herauskommt.
Bär Auf diesen Beitrag antworten »

hmm könntest du mit S2 oder S3 ein Beispiel machen, wie du das meinst?
Das Prinzip mit der Diedermenge habe ich verstanden und angewendet - sprich ich bin auf ein Schluss gekommen - Vielen Dank!
..aber eben..S2, S3...?
Urza Auf diesen Beitrag antworten »

Machen wir es mal für . Schreibe dir erstmal alle 6 Elemente auf, die Zykelschreibweise, die du oben verwendet hast, bietet sich da an. Die Ordnung eines Elementes ist ja das kleinste , sodass . Verknüpfe also jedes Element so oft mit sich selbst, bis die identische Permutation herauskommt und notiere die so bestimmten Ordnungen.
Bär Auf diesen Beitrag antworten »

gemacht:

(1) (123) (132) (12) (13) (23)
(123) (132) (1) (13) (23) (12)
(132) (1) (123) (23) (12) (13)
(12) (23) (13) (1) (132) (123)
(13) (12) (23) (123) (1) (132)
(23) (13) (12) (132) (123) (1)
Urza Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
gemacht: ...

Soweit ich das sehe, hast du jetzt eine Verknüpfungstabelle für alle Elemente untereinander erstellt. Das ist nicht das, was ich in meinem Posting erwähnt habe, auch wenn dir eine Verknüpfungstabelle dabei hilfreich sein kann die Ordnungen der Elemente zu bestimmen.
Mir scheint, dir ist vielleicht noch nicht klar, wie die Begriffe "Ordnung eines Elementes" und "zyklische Gruppe" überhaupt definiert sind. In dem Fall, gehe die Definitionen am Besten nochmal durch, bis du sicher bist, dass du verstanden hast, worum es in der Aufgabe überhaupt geht (etwas, was man immer bei jeder Aufgabe tun sollte, bevor man versucht sie zu lösen).
Bär Auf diesen Beitrag antworten »

DIe 6 elemente wären:
(1),(2),(3),(1,2),(2,3),(1,3)
Urza Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind aber nicht die 6 Elemente, mit denen du gerade (richtig) in der Verknüpfungstabelle gearbeitet hast. Zum Beispiel, in Zykelschreibweise ist .
Bitte, sehe dir nochmal die Definitionen an, bevor du das nächste Mal postest.
Bär Auf diesen Beitrag antworten »

100% :-)
sorry...=)

(123); (132); (124); (142); (134); (143); (234); (243)
Urza Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie nochmal ist die Menge definiert?
Bär Auf diesen Beitrag antworten »

ups..
Die symmetrische Gruppe S3 besteht aus 6 Elementen, den Permutationen einer dreielementigen Menge...

(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)
Urza Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast noch nicht verstanden, wie die Zykelschreibweise funktioniert. z.B. der Zykel bedeutet, dass 1 auf 2, 2 auf 3 und 3 auf 1 abgebildet wird. Er stellt folglich dieselbe Permutation wie und auch wie dar. Die Permutation, die das erste und zweite Element vertauscht und das dritte festlässt, besteht aus 2 Zykeln, und , man kann sie also als schreiben, wobei man gerne als Konvention die Zykel weglässt, die nur Länge 1 haben, also einfach .
Verstehst du jetzt das Prinzip? Dann, aber auch nur dann, versuche nochmal die Elemente von in Zykelschreibweise zu finden.
Bär Auf diesen Beitrag antworten »

um ehrlich zu sein..ich begreife es nicht ganz..
ich hätte aber eine Frage: ist es nicht möglich, mit der zyklenschreibweise, die ich bereits genannt habe, zu beweisen, dass das Ganze nicht kommutativ ist und somit nicht abelsch, also keine zykl. grp ist?
Urza Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
..mit der zyklenschreibweise, die ich bereits genannt habe..

Welche meinst du jetzt? Eigentlich gibt es nur eine Zykelschreibweise.

Und ja, du kannst natürlich auch testen, ob die Gruppe kommutativ ist und falls sie es nicht ist, ist das auch ein Beweis dafür, dass sie nicht zyklisch ist.
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