Verteilungsfunktion

05.10.2008, 16:10

evelin

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Verteilungsfunktion

Hallo Leute,
ich habe ein paar Fragen zu einer Aufgabe:
Überprüfen Sie, ob G eine Verteilungsfunktion ist:
G(x)=0, wenn x=2
G(x)=1-1/ $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ , wenn x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2

Meine Überlegungen
Eigenschaften:
1. Funktion ist monoton steigend: korrekt
2. Funktion ist rechtsstetig: Wie kann man das überprüfen?
3. $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to unendlich} x \end{eqnarray*}$ =1 : meiner Meinung nach korrekt
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to minus unendlich} x \end{eqnarray*}$ = 0, meiner Meinung nach nicht korrekt, da es gegen eins geht

Kann mir jemand sagen, ob meine Überlegungen korrekt sind, bzw. wie man bei 2. vorgeht?

Vielen Dank

05.10.2008, 16:56

Mazze

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Ist Deine Verteilungsfunktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ oder auf $\begin{eqnarray*} [2,\infty) \end{eqnarray*}$ definiert? Bei ersterem wärst Du uns $\begin{eqnarray*} G(x), x < 2 \end{eqnarray*}$ schuldig.

Ich nehme mal an die Funktion ist

$\begin{eqnarray*} G(x) = \begin{cases} 0 & x < 2 \\ 1 - \frac{1}{x^2} & x \geq 2\end{cases} \end{eqnarray*}$

Monotonie hast Du richtig erkannt. Allerdings hast Du Dich bei den Grenzwerten verhaspelt. Du überprüfst

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}G(x) \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}1 - \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ . Allerdings ist :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}G(x) = \lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^2} = 1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}G(x) = 0 \end{eqnarray*}$ wenn meine Definition oben korrekt ist. Ansonsten überlege Dir wie rechtsseitige Stetigkeit definiert ist, und was Du zeigen musst!

05.10.2008, 17:35

evelin

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Hallo Mazze,

deine Annahme ist richtig.
Vielen Dank für die Antwort zum lim.

Für die Rechtsseitigkeit muss gelten
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to 0} G(x+k) \end{eqnarray*}$ =G(x), k>0

Das weiss ich, aber irgendwie hab ich nicht wirklich verstanden, wie ich das überprüfe

Viele Grüße

05.10.2008, 17:45

Mazze

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Zitat:

Das weiss ich, aber irgendwie hab ich nicht wirklich verstanden, wie ich das überprüfe

Der einzig interessante Fall ist doch $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$ für x > 2 und x < 2 ist die Funktion doch stetig. Du musst nur die rechtsseitige Stetigkeit in 2 zeigen.

05.10.2008, 18:07

evelin

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genau das ist das Problem, ich hab keine Ahnung wie ich die Rechtsstetigkeit an der Stelle 2 überprüfen kann

Sorry, aber ich steh echt auf dem Schlauch

05.10.2008, 18:20

Mazze

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Zitat:

Für die Rechtsseitigkeit muss gelten
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to 0} G(x+k) \end{eqnarray*}$ =G(x)

Setze statt x 2 ein...

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05.10.2008, 18:25

evelin

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$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to o} G(2+0)=G(2) \end{eqnarray*}$

und was kann ich daraus schließen?

05.10.2008, 18:31

Mazze

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Zitat:

und was kann ich daraus schließen?

Daraus kannst Du garnichts schliessen. Du musst das Beweisen. Korrekter musst Du

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to 0} G(2+k)=G(2) \end{eqnarray*}$

zeigen.

05.10.2008, 18:35

evelin

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hmmm, tut mir echt leid, aber ich steh auf dem Schlauch
Kannst du mir bitte ne Idee für den Beweis geben?

05.10.2008, 19:15

Mazze

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Wie wäre es zunächst die Definition von $\begin{eqnarray*} G(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \geq 2 \end{eqnarray*}$ einzusetzen.

05.10.2008, 19:38

evelin

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G(2)=1-1/4=0,75

meinst du das so?

05.10.2008, 19:42

Mazze

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$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to 0} G(2+k) = \lim_{k \to 0}1 - \frac{1}{(2 + k)^2} ... \end{eqnarray*}$

05.10.2008, 19:50

evelin

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also wenn k gegen null geht, dann ist der rechte term auch 0,75

also ist auch die Rechtssteitigkeit korrekt???

Stimmt das so?

05.10.2008, 19:54

Mazze

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Zitat:

also wenn k gegen null geht, dann ist der rechte term auch 0,75 also ist auch die Rechtssteitigkeit korrekt??? Stimmt das so?

Das kann man ordentlicher Aufschreiben. Aber das Argument ist richtig.

05.10.2008, 20:06

evelin

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G(2)=0,75
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to 0} G(2+k)=0,75 \end{eqnarray*}$
also ist G(2)= $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to 0} G(2+k) \end{eqnarray*}$

Hab ich das jetzt richtig verstanden und ordentlicher ausgeschrieben? ;-)

05.10.2008, 20:18

Mazze

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Ist schon ok so, aber ich wunder mich ein wenig. Die Eigentliche Definition für Rechtsseitig stetig ist, das für alle $\begin{eqnarray*} x_n \downarrow x \end{eqnarray*}$ gilt : $\begin{eqnarray*} f(x_n) = f(x) \end{eqnarray*}$ aber scheinbar reicht die Aussage über k.

05.10.2008, 20:29

evelin

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Vielen, vielen Dank für deine Hilfe...

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