lineare abhängigkeit

05.10.2008, 16:44

gugelhupf

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lineare abhängigkeit

hallo, kann mir mal jemand sagen ob diese vektoren abhängig sind:

a=(1|-1|3)

b=(-2|4|6)

c=(-3|0|9)

ich habe ausgerechnet, dass sie nicht abhängig sind.

ModEdit: So, jetzt lösche ich mal die externen Links ohne weiteren Kommentar. Du weisst es inzwischen ganz genau, dass du Bilder hier direkt hochladen sollst. mY+

05.10.2008, 18:09

Zellerli

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Bei drei Vektoren geht das ziemlich einfach über die Determinante.
Der Wert der Determinante gibt dir eine Aussage über die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems. Wenn die Lösung alleine die Triviale ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig.
Für die Schulgeometrie reicht für seine schnelle Berechnung die Regel von Sarrus.

05.10.2008, 18:10

gugelhupf

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danke mythos .. schade nur, dass die bilder ZU GROSS für das forum sind. toll Tanzen

Tanzen

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05.10.2008, 18:16

Zellerli

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Bei Skizzen / Schriftstücken in wenigen Farben empfielt sich die Komprimierung per .png oder .gif. Da kann man stark komprimieren und hat fast nur den kaum spürbaren farbverlust.

05.10.2008, 18:16

mYthos

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Man muss eben die Bilder entsprechend verkleinern. Es sind offenbar Foto's. Links zu externen Bildhostern sind wegen langen Ladezeiten, kurzer Lebensdauer und Werbung absolut nicht erwünscht.

Du brauchst dich im Übrigen hier gar nicht so aufführen! Deine Reaktion ist sehr ärgerlich! Du könntest ja deine Rechnung auch im Beitrag aufschreiben, wenn du dazu nicht zu faul wärest. Du erwartest von uns Hilfe und dafür könnte auch deinerseits ein wenig Mühe nicht schaden.

mY+

05.10.2008, 18:21

gugelhupf

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nee, echt.

Ich kann hier nicht tausend Gleichungen aufschreiben und Pfeile daneben zeichnen.
Und verkleinern kann ich auch nichts,weil man es sonst nicht erkennen würde.
natürlich bin ich da ärgerlich drauf, wenn du hier sagst, ich wäre faul.

außerdem ist die aufgabe hier im beitrag verfasst.. somit würde der wert des beitrages gar nicht wirklich verfallen.

@zellerli: also soll ich immer sarrus nehmen?
warum muss man denn sonst immer mit gauss usw. solche gleichungssysteme lösen??

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05.10.2008, 18:30

Zellerli

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Zitat:

warum muss man denn sonst immer mit gauss usw. solche gleichungssysteme lösen??

Das brauchst du nur, wenn du konkrete Lösungen haben willst. Die Determinante sagt dir ja nur ob die Vektoren abhängig sind oder nicht. Übrigens komme ich hier auf einen Wert, der von Null verschieden ist, weshalb sie abhängig sind.

Aber auch mal was zum anderen Thema:
Ich finde auch, dass du den (wirklich sehr vorteilhaften) Service des Bilderuploads im Board nutzen solltest. Pass den Scanbereich an, komprimiere im anderen Format oder mach einfach die optische Bildgröße kleiner. Irgendwie muss es doch bei drei Pfeilen machbar sein.

Mit der Komprimierung haben wir uns alle schon mal schwer getan, es kann nie schaden da mal ein paar Minuten mehr zu investieren und etwas dazu zu lernen, weil es langfristig gesehen definitiv nützliches Wissen ist.

Außerdem ist ein Beitrag im Matheboard nicht nur für dich und deine Helfer bestimmt, sondern soll auch anderen allein durch seine Existenz helfen. Da sind tote Links und Werbung einfach ärgerlich.

05.10.2008, 18:32

gugelhupf

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ich habe es nicht abgescannt sondern fotografiert. und mit einer kleineren auflösung würde man echt nichts sehen, weil es sonst immer verschwimmt.

also zu dem sarrus:

a b c ist immer ein vektor?
und d e f auch? usw?

05.10.2008, 18:33

mYthos

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Zitat:

Original von gugelhupf
...
Und verkleinern kann ich auch nichts,weil man es sonst nicht erkennen würde.
...

So? Und was ist das dann?

[attach]8798[/attach]

Abgesehen davon, dass du das Foto unscharf aufgenommen hast!

Das Bild kann man auf 1024 x ... verkleinern und die Farbe wegnehmen, und man sieht immer noch etwas. Man muss allerdings natürlich draufklicken.

Und erzähle mir nicht, dass man Gleichungen nicht aufschreiben kann. Dazu haben wir einen Formeleditor. All das erfordert halt ein bisschen mehr Mühe, als du bereit bist, aufzuwenden. Da kannst du mir nicht übel nehmen, dass die Verärgerung zunächst mal auf MEINER Seite ist, statt auf deiner.

mY+

05.10.2008, 18:35

gugelhupf

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oh ja sorry mythos.
du hast recht, ich bin faul.

05.10.2008, 18:38

mYthos

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Zitat:

Original von Zellerli
...
Die Determinante sagt dir ja nur ob die Vektoren abhängig sind oder nicht. Übrigens komme ich hier auf einen Wert, der von Null verschieden ist, weshalb sie abhängig sind.
...

@Zellerli
Hier irrst du aber, denn es ist genau umgekehrt.

Sarrus ist nur ein Verfahren zur Determinantenauflösung, hat mit Vektoren nichts unmittelbar zu tun.

05.10.2008, 18:53

Zellerli

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Also mal um zu verdeutlichen, was ich meine (denn ich glaube hier nicht zu irren):

Klassische Aufgabe aus der gymnasialen Oberstufe. AnaGeo im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ .

Du packst die zu betrachtenden Vektoren in eine Matrix. Ich nehm die immer als Spaltenvektoren, müsste mit Zeilenvektoren auch klappen (aber hier lege ich mich lieber nicht fest, LinA is wieder weng her und das Skript weit weg).

Den Wert der 3x3 Matrix kriegst du über Sarrus (siehe Link, ich tippe das nicht ab, ist super erklärt und graphisch untermalt).

Ist er ungleich Null, so sind deine Vektoren linear abhängig (eindeutig lösbar).
Ist er gleich Null hast du Pech gehabt und musst (siehe hier) auch noch die Nebendeterminanten untersuchen. Einfacher für den Schulbereich ist es, die Vektoren untereinander nochmal auf (offensichtliche) lineare Abhängigkeit zu prüfen. In den meisten Schul-Fällen sind die Vektoren dann aber linear unabhängig. In den anderen Fällen gäbe es unendlich viele Lösungen.

Wo liegt hier ein Fehler? (brb ca. 40min)

nochmal edit: @mYthos "Determinantenauflösung" klingt mir eher nach Entwicklung (nach Zeile oder Spalte). Sarrus ist soweit ich weiß das gut einprägsame Verfahren zur Berechnung des Wertes einer 3x3 Matrix.

05.10.2008, 18:58

gugelhupf

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kannst du es mal mit diesen vektoren vorrechnen please??

ich schreibe am dienstag einen test und irgendwie verstehe ich das nicht so genau.
also wenn 0 am ende rauskommt, bin ich eigentlich fertig und es ist bewiesen, dass die vektoren linear keine linearkombination bilden?

05.10.2008, 19:28

mYthos

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Zitat:

Original von Zellerli
...
Den Wert der 3x3 Matrix kriegst du
...
Ist er ungleich Null, so sind deine Vektoren linear abhängig (eindeutig lösbar).
Ist er gleich Null hast du Pech gehabt und musst (siehe hier) auch noch die Nebendeterminanten untersuchen
...

Das stimmt schlicht und ergreifend nicht. Es ist genau umgekehrt. Der Wert Null für die Determinante ist ein Hinweis auf die lineare Abhängigkeit. Im Beispiel der Fragestellerin lautet der Wert der Determinante D = 72, daher sind die drei Vektoren linear unabhängig.

Die Determinante resultiert aus dem zeilenweise angeschriebenen lGS für die Auflösung nach den skalaren Multiplikatoren der Vektoren in der Beziehung

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \vec{a} + \lambda_2 \vec{b} + \lambda_3 \vec{c} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Im Falle der linearen Abhängigkeit muss es ausser der trivialen Lösung noch eine weitere nichttriviale Lösung geben. Die zugehörige Determinante muss in diesem Fall den Wert Null besitzen, weil dann das lGS abhängig ist.

mY+

05.10.2008, 19:41

Zellerli

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Aaalso gut:

1.
Da wären die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix},\vec{c}=\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2.
Als Spaltenvektoren ergeben die folgende Matrix. Die werden manchmal nicht in der Schule behandelt, is auch relativ unwichtig, was das ist, aber so sieht die Matrix des zugehörigen Gleichungssystems (der drei Vektoren) aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ -1 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Diesen Schritt 2. kann man auch überspringen, wenn das Verfahren klar ist.

3.
Deren Determinante ist dann

$\begin{eqnarray*} \det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ -1 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

4.
Diese "erweitert" man dann zur Berechnung des Wertes nach der Regel von Sarrus, indem man die ersten beiden Spalten nochmal so hinschreibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ -1 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 4 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

(sieht leider nich so doll im LaTeX aus).

5.
Und jetzt addiert man die Diagonalprodukte von oben links nach unten rechts, während man die Diagonalprodukte von unten links nach oben rechts subtrahiert:

$\begin{eqnarray*} \det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \quad 1 \cdot 4 \cdot 9 \quad + \quad (-2) \cdot 0 \cdot 3 \quad + \quad (-3) \cdot (-1) \cdot 6 \quad - \quad 3 \cdot 4 \cdot (-3) \quad - \quad 6 \cdot 0 \cdot 1 \quad - \quad 9 \cdot (-1) \cdot (-2) \end{eqnarray*}$

Was dann ergibt:
$\begin{eqnarray*} 36 - 0 + 18 + 36 - 0 - 18 = 72 \neq 0 \end{eqnarray*}$

05.10.2008, 19:43

gugelhupf

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okay vielen dannnnnnkkkk kk, danke .. dann habe ich es jetzt verstanden.

und das ist ein eindeutiges ergebnis für die linearkombination?

05.10.2008, 19:49

Zellerli

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Ja richtig, mYthos. Genau andersrum muss es sein.

Dabei hab ich mir das vorm Posten noch am Beispiel $\begin{eqnarray*} a,b,c = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wo offensichtlich a+b=c und det = 0 ist, klar gemacht. Aber dann genau gegenteilig meiner Erkenntnis in den Post geschrieben. Dummer Patzer meinerseits Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.10.2008, 19:49

mYthos

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Für welche Linearkombination?
Es kann nur ein Beweis für die lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit sein.

Und wenn du liest, was oben steht, dann weisst du es auch.

Wenn Zellerli weiterhin auf seiner Aussage besteht, dafür kann ich ja nichts ...

mY+

05.10.2008, 19:51

mYthos

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Zeitgleiches Posting!

Also sind die drei Vektoren lin. UNabhängig.

mY+

05.10.2008, 19:53

gugelhupf

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ja das habe ich doch auch berechnet, dass sie unabhängig sind.

aber mit so einem doofen gleichungssystem lösen, der sarrus ist ja nun viel einfacher.

also alles was ungleich null ist, ist unabhängig = die vektoren bilden keine linearkombination

abhängig = 0 = bilden linearkombination

05.10.2008, 20:13

Zellerli

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Rekapitulieren wir mal, was wir heute gelernt haben (auch mal gut das wieder aufzufrischen):

übereditiert: Schlecht erklärt...

... da muss ich mir mal was einleuchtendes einfallen lassen.

So lange platt:

$\begin{eqnarray*} \det = 0 \end{eqnarray*}$ --> linear abhängig

$\begin{eqnarray*} \det \neq 0 \end{eqnarray*}$ --> linear unabhängig

05.10.2008, 20:21

gugelhupf

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okay, das wäääääre ja voll cool. .D

na ja und wir haben linearkombination so im hefter definiert:

der vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ heißt linarkombination von vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a}, ...., \end{eqnarray*}$ wenn gilt: $\begin{eqnarray*} \vec{b} = S1\vec{a1} + S2\vec{a2} + ... Sn\vec{an} \end{eqnarray*}$

MERKE ... vektoren heißen linear abhängig, wenn min. einer der vektoren als linearkombination der restlichen vektoren darstellbar ist. sonst heißen die vektoren linear unabhängig und bilden keine linearkombination.

05.10.2008, 21:27

mYthos

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Zitat:

Original von gugelhupf
...
... sonst heißen die vektoren linear unabhängig und bilden keine linearkombination.

Der allerletzte Satz sollte die Aussage exakter so treffen, dass bei lin. Unabhängigkeit KEIN Vektor als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann.

Zitat:

Original von gugelhupf
...
der vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ heißt linarkombination von vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a}, ...., \end{eqnarray*}$ wenn gilt: $\begin{eqnarray*} \vec{b} = S1\vec{a1} + S2\vec{a2} + ... Sn\vec{an} \end{eqnarray*}$
...

Diese Definition ist der vorher von mir genannten Beziehung gleichwertig:

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = s_1 \vec{a_1} + s_2 \vec{a_2} + ... + s_n \vec{a_n} \end{eqnarray*}$ ,

denn wenn du die Gleichung auf Null (den Nullvektor) bringst, ist mindestens ein Koeffizient - in diesem Fall -1 bei $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ ungleich Null, und es liegt lineare Abhängigkeit vor:

$\begin{eqnarray*} s_1 \vec{a_1} + s_2 \vec{a_2} + ... + s_n \vec{a_n} + (- 1) \cdot \vec{b} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

In deiner Aufgabe war nur gefragt, OB die 3 Vektoren linear abhängig sind, oder nicht. Dabei genügt die Untersuchung der Determinante vollkommen.

Anders ist es, wenn beispielsweise gefragt ist: Stellen Sie den Vektor b als Linearkombination der beiden andere Vektoren a und c dar. Das hat allerdings nur bei linearer Abhängigkeit einen Sinn. Dann musst du in etwa so rechnen, wie es auch im gezeigten Foto zu sehen ist.

mY+

05.10.2008, 21:41

gugelhupf

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okay, gut. dann merke ich mir das so.

muss ich wohl immer die aufgabenstellung genau lesen.

danke

05.10.2008, 22:20

mYthos

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Um zu testen, dass dir das wirklich klar ist, kannst du Folgendes versuchen: Verändere in deiner Angabe die dritte Koordinate des Vektors a so, dass die drei Vektoren linear abhängig werden. Stelle dann den Vektor c als Linearkombination der beiden anderen Vektoren dar.

Ich kontrolliere dann deine Lösungen, versprochen ...

mY+

06.10.2008, 00:01

gugelhupf

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okay, aber ich glaube nicht, dass man die dritte Koordinate so verändern kann.

Weil Vektor b und c gar nicht kollinear sind.

sonst würde ich das machen:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} =\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und dann dieses gleichungssystem: $\begin{eqnarray*} \vec{c} = s\vec{a} + r\vec{b} \end{eqnarray*}$

06.10.2008, 00:12

mYthos

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Die Vektoren b und c müssen dabei gar nicht kollinear sein! Linear abhängig können auch 3 Vektoren sein, von denen deren 2 linear unabhängig sind. Also, setze so fort, wie du zuletzt geschrieben hast.

mY+

06.10.2008, 00:22

gugelhupf

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okay, aber sieht irgendwie falsch aus, was ich ausgerechnet habe.
am besten rechne ich morgen nochmal.

ich habe für a = 0 raus??

[attach]8800[/attach]

gute nacht

ach ja ist okay 9 + 9 sind 18

also a = -3 .>

06.10.2008, 00:38

mYthos

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Ja, so ist es, bravo!
Bei Gelegenheit kannst ja noch noch die Linearkombination niederschreiben.

Ich glaube, du hast heute - in verschiedener Hinsicht - einiges gelernt.

Auch dir gute Nacht!

mY+

06.10.2008, 13:54

gugelhupf

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ja cool. na hoffentlich schreibe ich dann morgen einen guten test.
ist es eigentlich wichtig, dass die dritte koordinate verändert wird und keine andere??

06.10.2008, 20:59

mYthos

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Es kann im Allgemeinen jede Koordinate jedes Vektors verändert werden. Möglicherweise kann bei einer speziellen Angabe der Fall eintreten, dass es einmal zu keiner Lösung kommt.

mY+

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