Grenzwertbestimmung

29.05.2004, 10:07

Woulder

Grenzwertbestimmung

Ich steh mal wieder auf dem Schlauch.
Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?

$\begin{align*} \lim_{t \to 0}\frac{2sin(t)}{sin(2t)} \ \end{align*}$

Hilfe

29.05.2004, 10:29

SirJective

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Wende ein Additionstheorem an:
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
Dann kannst du kürzen.

29.05.2004, 11:42

Woulder

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:P
Danke!!!

29.05.2004, 13:05

WebFritzi

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Viel leichter:

http://217.160.92.215/~burn/math2png/math2png.php? f=2%5Cfrac%7B%5Csin+t%7D%7B%5Csin+%282t%29%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Csin+t%7D%7B
t%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2t%7D%7B%5Csin+%282t%29%7D%5Clongrightarrow+1%5Ccdot+
1+%3D+1

Na, so gut geht's ja doch noch nicht mit dem LaTeX... Das <br/> bitte einfach überlesen.

29.05.2004, 13:52

Irrlicht

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Ob $\begin{align*} \lim_{t\to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1 \end{align*}$ wirklich leichter ist als $\begin{align*} \lim_{t\to 0} \frac{1}{\cos(t)} = 1 \end{align*}$ sei mal dahingestellt... Augenzwinkern

Die < br > kannst du leider nur verhindern, indem du keinen Zeilenwechsel in der Formel hast. Scheint ein Bug zu sein.

30.05.2004, 03:10

WebFritzi

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Jo, ist n Bug. Der ist übrigens genauso in mimetex vorhanden.

30.05.2004, 16:47

Mathespezialschüler

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Wie kommt man denn darauf, dass

$\begin{align*} \lim_{t \to 0}\ (\frac{sin(t)}{t}\ \cdot \ \frac{2t}{sin(2t)})\ =\ 1 \end{align*}$

?? verwirrt

30.05.2004, 16:50

Ben Sisko

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Du hast da jetzt zwar keine Gleichung, aber meinst du den Schritt, den WebFritzi gemacht hat? Da hat er doch nur mit t erweitert.

Gruß vom Ben

30.05.2004, 16:52

Mathespezialschüler

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Sorry, hab das =1 vergessen. Der Schritt ist mir verständlich, nur nicht, warum das gegen 1 konvergiert.

30.05.2004, 16:55

Ben Sisko

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Für jeden Bruch einzeln, etwa mit l´Hospital.

30.05.2004, 17:11

Mathespezialschüler

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Noch nichts von gehört verwirrt

(müsstest wissen, dass ich erst Zehnte bin).

31.05.2004, 02:23

Ben Sisko

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Hm, ich find das immer recht schwierig einzuschätzen, was jemand wie du jetzt schon kann und was nicht. Du beherrschst doch relativ viele Sachen, die man im Standard-Schulstoff bis zur 10. Klasse noch nicht behandelt hat, oder?

31.05.2004, 02:50

WebFritzi

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Ich habe lange gebraucht, um es mit Mitteln erklären zu können, die du verstehen könntest. Aber ich glaube, ich habe jetzt was gefunden, was du nachvollziehen kannst, wenn du ein wenig Differentialrechnung beherrschst.
Es reicht, die Behauptung für t > 0 zu zeigen (also: t geht von oben gegen 0), denn es gilt

$\begin{align*} \frac{\sin (-t)}{-t} = \frac{-\sin (t)}{-t} = \frac{\sin (t)}{t} \end{align*}$ .

Nach der Quotientenregel gilt

$\begin{align*} \tan ' = $ \frac{\sin}{\cos} $' = \frac{\cos^2 + \sin^2}{\cos^2} = \frac{1}{\cos^2} \end{align*}$ .

Wir betrachten jetzt die Funktion $\begin{align*} \tan(t) - t \end{align*}$ . Es gilt

$\begin{align*} $ \tan t - t $' = \frac{1}{\cos^2(t)} - 1 \geq 1 - 1 = 0 \end{align*}$ .

Das heißt, dass die Funktion monoton steigend ist, und wegen $\begin{align*} \tan (0) - 0 = 0 - 0 = 0 \end{align*}$ folgt

(1) $\begin{align*} \tan (t) \geq t \end{align*}$

für $\begin{align*} t\in [0, \pi /2] \end{align*}$ .
Betrachte nun die Funktion $\begin{align*} \sin (t) - t \end{align*}$ . Wir bilden wieder die Ableitung:

$\begin{align*} $ \sin (t) - t $' = \cos (t) - 1 \leq 1 - 1 = 0 \end{align*}$ .

Also ist diese Funktion monoton fallend, und wegen $\begin{align*} \sin (0) - 0 = 0 - 0 = 0 \end{align*}$ gilt

(2) $\begin{align*} \sin (t) \leq t \end{align*}$

für alle $\begin{align*} t\in\calR \end{align*}$ . Mit (1) und (2) folgt

$\begin{align*} 1 \leq \frac{\tan (t)}{t} = \frac{\sin (t)}{t}\cdot\frac{1}{\cos (t)} \leq \frac{1}{\cos (t)} \end{align*}$ .

Der rechte Ausdruck geht für gegen Null strebendes t gegen 1. Per Einschließungsregel ergibt sich

$\begin{align*} \lim_{t\rightarrow 0} \frac{\tan (t)}{t} = 1 \end{align*}$ .

Und damit gilt schließlich

$\begin{align*} \lim_{t\rightarrow 0} \frac{\sin (t)}{t} = \lim_{t\rightarrow 0} \frac{\tan (t)}{t} \cdot \cos (t) = 1\cdot 1 = 1 \end{align*}$ .

31.05.2004, 03:41

Ben Sisko

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Du findest auch in diesem Thread noch ein bisschen was zum Grenzwert von sin(t)/t, aber im Großen und Ganzen läuft´s wohl auf das hinaus, was WebFritzi schon gezeigt hat.

Gruß vom Ben

Edit: Der wird ja auch unten als "verwandtes Thema" angezeigt...ist auch nicht so überraschend, da er den gleichen Titel trägt :P

31.05.2004, 04:27

WebFritzi

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Oh ja. Leopolds Methode 2 finde ich am besten, weil man da auch keine Differentialrechnung braucht: Man zeichne sich den Teil des Einheitskreises, der im ersten Quadranten liegt. Von (0,0) ausgehend zeichne man weiter eine Gerade ein mit relativ kleinem Steigungswinkel $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ . Den Schnittpunkt dieser Geraden mit dem Einheitskreis nennen wir S. Von S aus zeichnen wir eine Senkrechte auf die x-Achse hinab. Den Schnittpunkt mit der x-Achse nennen wir P. Es sei Q der Punkt (1,0). Von Q aus zeichnen wir weiter eine Gerade senkrecht zur x-Achse. Den Schnittpunkt dieser Geraden mit der zu allerererst eingezeichneten Geraden wollen wir mit T bezeichnen. Zu guter letzt sei O der Ursprung (0,0). So, nun ist

$\begin{align*} \overline{SP} = \sin\alpha \end{align*}$ ,
$\begin{align*} \overline{OP} = \cos\alpha \end{align*}$ ,
$\begin{align*} \overline{QT} = \tan\alpha \end{align*}$ ,

und der Bogen (QS) hat die Länge $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ . Nun betrachten wir die Flächeninhalte des Dreiecks (OPS), des Sektors (OQS) und des Dreiecks (OQT). Der erste ist kleiner als der zweite und der zweite kleiner als der dritte. Also gilt:

$\begin{align*} \frac{1}{2}\sin\alpha \cdot \cos\alpha \leq \frac{\alpha}{2\pi}\cdot\pi\cdot 1^2 \leq \frac{1}{2}\tan\alpha \end{align*}$

beziehungsweise

$\begin{align*} \cos\alpha\cdot\sin\alpha \leq \alpha \leq \tan\alpha \end{align*}$ .

Nach Division durch $\begin{align*} \sin\alpha \end{align*}$ und nachfolgendem Kehrwert-Nehmen ergibt sich

$\begin{align*} \cos\alpha \leq \frac{\sin\alpha}{\alpha} \leq \frac{1}{\cos\alpha} \end{align*}$ .

Der rechte und der linke Ausdruck gehen für $\begin{align*} \alpha\rightarrow 0 \end{align*}$ gegen 1. Nach der Einschließungsregel folt die Behauptung.

31.05.2004, 14:59

Mathespezialschüler

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Ok, danke!! Hab beide Methoden verstanden. Nur eine Frage noch:
Du hast jetzt

(1) $\begin{align*} \lim_{t \to 0}\ (\frac{sin(t)}{t}\ \cdot \ \frac{2t}{sin(2t)})\ =\ 1 \end{align*}$

bei beiden mithilfe von

(2) $\begin{align*} \lim_{t \to 0}\ \frac{1}{\cos\alpha}\ =\ 1 \end{align*}$

hergeleitet.

Dass (2) gegen 1 geht, war mir von Anfang an klar.

Nur warum sollte (1) leichter als (2) sein, wenn du (1) mit (2) hergeleitet hast?? Is doch irgendwie ein wenig widersprüchlich oder? verwirrt

Zitat:

Original von Ben Sisko

Hm, ich find das immer recht schwierig einzuschätzen, was jemand wie du jetzt schon kann und was nicht. Du beherrschst doch relativ viele Sachen, die man im Standard-Schulstoff bis zur 10. Klasse noch nicht behandelt hat, oder?

Ja hast Recht, dass es natürlich schwer ist, wenn ich etwas im Grunde kann, z.B. Grenzwert, aber nicht das schwere bzw. die einzelnen Verfahren dafür, sondern mir das nur vorstellen kann, dass es gegen irgendetwas strebt.
Allerdings muss ich sagen, dass das, was ich bis jetzt kann, sich zum größten Teil auf Polynomfunktionen beschränkt und nur ab und zu mal was anderes kommt, was ich kann. Bei Exponential-, Logarithmus- und Trigonometrischen Funktionen wird alles gleich ein wenig (oder auch viel) schwieriger, auch wenn ichs schonmal geschafft habe, eine ln-Funktion in einer Wurzel mit Ketten- und Quotientenregel abzuleiten. Aber das sind halt nur Ausnahmen. Ne Kurvendiskussion mit einer der drei Funktionstypen könnte ich noch nicht oder wäre zumindest ziemlich schwer.

31.05.2004, 16:50

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Nur warum sollte (1) leichter als (2) sein, wenn du (1) mit (2) hergeleitet hast?? Is doch irgendwie ein wenig widersprüchlich oder? ?

Wer hat denn gesagt, dass (1) "leichter" als (2) ist? verwirrt

31.05.2004, 20:17

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von WebFritzi
Viel leichter:

Ohne Kommentar Big Laugh

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