Vollständige Induktion, Mathe-Vorkurs Aufgabe

06.10.2008, 00:44

Wintersun

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Vollständige Induktion, Mathe-Vorkurs Aufgabe

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Folgenelemente $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ seien definiert durch $\begin{eqnarray*} x_0:=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_1:=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n:=\frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2}) \qquad \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq2 \end{eqnarray*}$ .

Geben Sie $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ an und beweisen Sie, dass gilt

$\begin{eqnarray*} x_n = 2 - 2 \left(-\frac{1}{2}\right)^n, \quad n \in \mathbb N. \end{eqnarray*}$

Wie man $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ , etc. berechnet ist mir klar.

Mein Lösungsansatz für die Induktion ist folgender:

Behauptung: $\begin{eqnarray*} x_n:=\frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2}) = 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} n = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_{2-1}+x_{2-2})=\frac{1}{2}(3+0) = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 2-\frac{1}{4}\cdot2=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsvorraussetzung: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2}) = 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_n+x_{n-1}) = 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_n+x_{n-1}) \underset{\text{IV}}{=} \frac{1}{2}\left[\left(2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right) + \left(2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}\left(2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right) + \frac{1}{2}\left(2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =1-1\left(-\frac{1}{2}\right)^n + 1-1\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2-\left(-\frac{1}{2}\right)^n-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} =\quad ??? \quad= 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlich aufgrund mangelnder Rechentechniken mag mir der letzte Schritt nicht gelingen .... oder ist mein Lösungsansatz grundsätzlich falsch??

06.10.2008, 00:59

kiste

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Hallo,

beachte:
$\begin{eqnarray*} (-2)\cdot\frac{-1}{2}\cdot \left(\frac{-1}{2}\right)^n = \left(\frac{-1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

06.10.2008, 01:16

Jacques

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Hallo,

Ein prinzipieller Fehler noch:

Die Induktionsvoraussetzung

$\begin{eqnarray*} x_n = 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

gilt nur für das beliebige aber feste n. Also Du kannst diese Formel nicht auf $\begin{eqnarray*} x_{n-1} \end{eqnarray*}$ anwenden.

Insofern ist es vielleicht ganz sinnvoll, wenn man für die „feste“ Variable einen neuen Namen einführt -- z. B. k oder so.

06.10.2008, 01:27

kiste

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Zitat:

Original von Jacques Also Du kannst diese Formel nicht auf $\begin{eqnarray*} x_{n-1} \end{eqnarray*}$ anwenden.

Klar kann man das, nennt sich Noethersche Induktion.

06.10.2008, 02:09

Jacques

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Hm, ist das die „starke Induktion“?:

Wenn für eine beliebige, aber feste natürliche Zahl k gilt:

Ist die Eigenschaft E für alle n < k erfüllt, so ist sie auch für k erfüllt.

Dann ist die Eigenschaft für alle natürlichen Zahlen erfüllt.

Aber das ist doch ein eigenständiges Beweisverfahren, oder? Müsste man dann nicht damit von vorne beginnen? Oder kann man das einfach so in die klassische Induktion „einflechten“?

06.10.2008, 08:19

kiste

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Man kann es einfach einflechten. Wenn man zum Beispiel die IV für $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n-1} \end{eqnarray*}$ zeigt, so muss man eben 2 IA machen, nämlich den für $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$

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06.10.2008, 11:30

Wintersun

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Zitat:

Original von kiste
Man kann es einfach einflechten. Wenn man zum Beispiel die IV für $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n-1} \end{eqnarray*}$ zeigt, so muss man eben 2 IA machen, nämlich den für $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$

Okei, hier ist der fehlende zweite IA: $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_{3-1}+x_{3-2})=\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2}+3\right) = 2\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = 2-2\left(-\frac{1}{8}\right) = 2 \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von kiste
Hallo,

beachte:
$\begin{eqnarray*} (-2)\cdot\frac{-1}{2}\cdot \left(\frac{-1}{2}\right)^n = \left(\frac{-1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

Aber dein zweiter (bzw. erster) Hinweis bringt mich irgendwie nicht entscheidend weiter ...

$\begin{eqnarray*} = 2-\left(-\frac{1}{2}\right)^n-\left(- \frac{1}{2}\right)^{n-1} = \quad ??? \quad = 2+\left(- \frac{1}{2}\right)^n = 2-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\cdot2\cdot \left(- \frac{1}{2}\right)=2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

06.10.2008, 13:29

riwe

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$\begin{eqnarray*} x_n=\frac{1}{2}(2-2(-\frac{1}{2})^{n-1}+2-2(-\frac{1}{2})^{n-2})=\frac{1}{2}\cdot 4-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot(-\frac{1}{2})^{n-2}\cdot(-\frac{1}{2}+1)=2-2*\frac{1}{4}(-\frac{1}{2})^{n-2}=2-2(-\frac{1}{2})^n \end{eqnarray*}$
verwirrt

verwirrt

06.10.2008, 16:28

Urza

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Zitat:

Original von Wintersun
Okei, hier ist der fehlende zweite IA: $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_{3-1}+x_{3-2})=\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2}+3\right) = 2\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = 2-2\left(-\frac{1}{8}\right) = 2 \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Es hätte übrigens ausgereicht, wenn du den Induktionsanfang mit 0 und 1 gemacht hättest. So musst du sogar noch die Fälle 0 und 1 extra beweisen, da deine Induktion nur die Zahlen >= 2 abdeckt.

06.10.2008, 17:14

papahuhn

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Zitat:

Original von Jacques
Aber das ist doch ein eigenständiges Beweisverfahren, oder? Müsste man dann nicht damit von vorne beginnen? Oder kann man das einfach so in die klassische Induktion „einflechten“?

Statt $\begin{eqnarray*} A(n) \rightarrow A(n+1) \end{eqnarray*}$ zu folgern, wird von $\begin{eqnarray*} A'(n) \rightarrow A'(n+1) \end{eqnarray*}$ gefolgert, wobei $\begin{eqnarray*} A'(n) = \bigwedge_{k=n_0}^n~A(k) \end{eqnarray*}$ . Für mich sieht das wieder nach normaler Induktion aus.

Noethersche Induktion wird erst für Mengen mit mehreren kleinsten Elementen und nicht so trivialen Ordnungen interessant.

06.10.2008, 21:04

Wintersun

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Zitat:

Original von UrzaEs hätte übrigens ausgereicht, wenn du den Induktionsanfang mit 0 und 1 gemacht hättest. So musst du sogar noch die Fälle 0 und 1 extra beweisen, da deine Induktion nur die Zahlen >= 2 abdeckt.

Ich habe 2 und 3 gewählt, weil die erste Formel nur für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ gilt.

@ alle:

Kann mir mal einer ganz konkret sagen, was von meinem Lösungsansatz (1. Posting) nun richtig und was falsch ist?

06.10.2008, 21:37

kiste

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Der Ansatz ist korrekt, du hast bloß nicht fertig gerechnet. Denke dazu mal etwas mehr über meinen Hinweis nach. Ansonsten hat riwe ja die Lösung schon gepostet.

09.10.2008, 00:32

Wintersun

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Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} x_n=\frac{1}{2}(2-2(-\frac{1}{2})^{n-1}+2-2(-\frac{1}{2})^{n-2})=\frac{1}{2}\cdot 4-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot(-\frac{1}{2})^{n-2}\cdot(-\frac{1}{2}+1)=2-2*\frac{1}{4}(-\frac{1}{2})^{n-2}=2-2(-\frac{1}{2})^n \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand die Umformungen erklären, die riwe hier gemacht hat? - Ich schau' mir das bestimmt schon seit mehr als einer halben Stunde an, aber ich begreifs einfach nicht ... Hammer

Hammer

09.10.2008, 00:45

tigerbine

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Ich mach mal zwischenschritte rein...

$\begin{eqnarray*} x_n&&=\frac{1}{2}[2-2(-\frac{1}{2})^{n-1}+2-2(-\frac{1}{2})^{n-2}]\\ \\ && = \frac{1}{2} [4 -2(-\frac{1}{2})^{n-1} - 2(-\frac{1}{2})^{n-2}] \\ \\ &&= \frac{1}{2} [4 -2(-\frac{1}{2})^{n-2}((-\frac{1}{2})^{1}+1)]\\\\&&=\frac{1}{2}\cdot 4-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot(-\frac{1}{2})^{n-2}\cdot(-\frac{1}{2}+1)\\ \\&&=2-2*\frac{1}{4}(-\frac{1}{2})^{n-2}\\ \\ &&=2-2(-\frac{1}{2})^n \end{eqnarray*}$

09.10.2008, 02:10

Wintersun

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Ach sooooooooo, er hat bloß ausgeklammert ... manchmal steht man echt auf'm Schlauch. LOL Hammer

LOL Hammer

Hier dann mal meine vorläufige Endlösung:

Behauptung: $\begin{eqnarray*} x_n:=\frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2}) = 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} n = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_{2-1}+x_{2-2})=\frac{1}{2}(3+0) = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 2-\frac{1}{4}\cdot2=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_{3-1}+x_{3-2})=\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2}+3\right) = 2\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = 2-2\left(-\frac{1}{8}\right) = 2 \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Induktionsvorraussetzung: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2}) = 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_n+x_{n-1}) = 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_n+x_{n-1})&&\underset{\text{IV}}{=}\frac{1}{2}\left[\left(2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right) + \left(2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)\right]\\\\ && = \frac{1}{2}\left[4-2\left(-\frac{1}{2}\right)^n -2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right] \\ \\ &&= \frac{1}{2}\left[4-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^{1}+1\right)\right]\\ \\&&=\frac{1}{2}\cdot 4 -2 \cdot \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot\left(-\frac{1}{2}+1\right)\\ \\&&=2-2 \cdot \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\\ \\&&=2-2 \cdot \frac{1}{4}\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}\\ \\ &&=2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} \qquad qed \end{eqnarray*}$

09.10.2008, 17:57

Urza

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RE: Vollständige Induktion, Mathe-Vorkurs Aufgabe
Das stimmt soweit. Freude

Freude

Nur, dass du damit die Behauptung bloß für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} - \{0,1\} \end{eqnarray*}$ bewiesen hast. Zu zeigen war ja

Zitat:

Original von Wintersun
.. und beweisen Sie, dass gilt

$\begin{eqnarray*} x_n = 2 - 2 \left(-\frac{1}{2}\right)^n, \quad n \in \mathbb N. \end{eqnarray*}$

siehe auch mein vorangegangenes Posting. Das ist natürlich nur eine Kleinigkeit, aber wenn du, wie gesagt, gleich mit 0 und 1 den Induktionsanfang machst, verkürzt sich dort die Rechnung auch etwas.

09.10.2008, 20:51

Wintersun

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Zitat:

Original von Urza
Das stimmt soweit. Freude

Freude

Nur, dass du damit die Behauptung bloß für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} - \{0,1\} \end{eqnarray*}$ bewiesen hast. Zu zeigen war ja

Zitat:

Original von Wintersun
.. und beweisen Sie, dass gilt

$\begin{eqnarray*} x_n = 2 - 2 \left(-\frac{1}{2}\right)^n, \quad n \in \mathbb N. \end{eqnarray*}$

siehe auch mein vorangegangenes Posting. Das ist natürlich nur eine Kleinigkeit, aber wenn du, wie gesagt, gleich mit 0 und 1 den Induktionsanfang machst, verkürzt sich dort die Rechnung auch etwas.

Soll ich den IA einfach um 0 und 1 ergänzen?

Also:

$\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_0 := 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^0 = 2-2 = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 := 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^1 = 2+1 = 3 \end{eqnarray*}$

Ich hätte ja gerne den IA mit 0 und 1 gemacht, bin mir aber nicht sicher, ob das so geht, da ich ja 0 und 1 nicht in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2}) \end{eqnarray*}$ einsetzen darf ...

09.10.2008, 21:54

papahuhn

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Zitat:

Original von Wintersun
Ich hätte ja gerne den IA mit 0 und 1 gemacht, bin mir aber nicht sicher, ob das so geht, da ich ja 0 und 1 nicht in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2}) \end{eqnarray*}$ einsetzen darf ...

Sollst du ja auch gar nicht darin einsetzen.

09.10.2008, 22:39

Wintersun

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Ich seh' schon, so komm' ich hier nicht weiter ... jeden, der an meiner Lösung noch was auszusetzen hat, bitte ich, eine eigene zu posten, mit der ich vergleichen kann.
Ansonsten lass ich das Thema einfach auf sich beruhen ...

09.10.2008, 23:06

Urza

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Zitat:

Original von Wintersun
Soll ich den IA einfach um 0 und 1 ergänzen?

Es ist doch ganz einfach. Das hier:

Zitat:

Original von Wintersun
$\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_0 := 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^0 = 2-2 = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 := 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^1 = 2+1 = 3 \end{eqnarray*}$

ist dein (kompletter) Induktionsanfang, denn du zeigst ja damit, dass die gegebene Formel für 0 und 1 erfüllt ist. Den Induktionsschritt machst du in der Form "Wenn die Formel für n und n+1 gilt, dann auch für n+2". Dort kannst du bereits allgemein mit der Rekursionsformel für $\begin{eqnarray*} x_{n+2} \end{eqnarray*}$ ansetzen, weil ja $\begin{eqnarray*} n+2\geq 2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Was du ja auch tust und den Induktionsschritt erfolgreich führst. Nirgendwo während deines Beweises der Formel für $\begin{eqnarray*} x_{n+2} \end{eqnarray*}$ benutzt du, dass du $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der Rekursionsformel berechnet hättest.

12.10.2008, 20:54

Wintersun

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Zitat:

Original von Urza

Zitat:

Original von Wintersun
$\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_0 := 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^0 = 2-2 = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 := 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^1 = 2+1 = 3 \end{eqnarray*}$

ist dein (kompletter) Induktionsanfang, denn du zeigst ja damit, dass die gegebene Formel für 0 und 1 erfüllt ist. Den Induktionsschritt machst du in der Form "Wenn die Formel für n und n+1 gilt, dann auch für n+2". Dort kannst du bereits allgemein mit der Rekursionsformel für $\begin{eqnarray*} x_{n+2} \end{eqnarray*}$ ansetzen, weil ja $\begin{eqnarray*} n+2\geq 2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Was du ja auch tust und den Induktionsschritt erfolgreich führst. Nirgendwo während deines Beweises der Formel für $\begin{eqnarray*} x_{n+2} \end{eqnarray*}$ benutzt du, dass du $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der Rekursionsformel berechnet hättest.

Danke für deinen Hinweis. Ich denke, dass ich es nun endlich verstanden habe.

Behauptung: $\begin{eqnarray*} x_n:=\frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2}) = 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_0 := 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^0 = 2-2 = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 := 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^1 = 2+1 = 3 \end{eqnarray*}$

Induktionsvorraussetzung:

$\begin{eqnarray*} x_n= 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n+1}= 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt: "Wenn die Formel für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ gilt, dann auch für $\begin{eqnarray*} n+2 \end{eqnarray*}$ ".

Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_{n+1}+x_{n}) = 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_{n+1}+x_{n})&&\underset{\text{IV}}{=}\frac{1}{2}\left[\left(2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right) + \left(2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right)\right]\\\\ && = \frac{1}{2}\left[4-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} -2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right] \\ \\ &&= \frac{1}{2}\left[4-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^{1}+1\right)\right]\\ \\&&=\frac{1}{2}\cdot 4 -2 \cdot \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\cdot\left(-\frac{1}{2}+1\right)\\\\&&=2-2 \cdot \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\\ \\&&=2-2 \cdot \frac{1}{4}\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+2}}{\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}\\ \\ &&=2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+2} \qquad qed \end{eqnarray*}$

Nun ist es aber richtig, oder? Erstaunt2

Erstaunt2

12.10.2008, 22:51

Urza

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Im Wesentlichen ja. Um ganz genau zu sein, könnte man noch folgende Formalitäten anmerken:

Zitat:

Original von Wintersun
Behauptung: $\begin{eqnarray*} x_n:=\frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2}) = 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

Die Behauptung gilt für die Folge aus deinem Ausgangsposting, also eher

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \text{Behauptung: Für die Folge } (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \text{ mit } x_0:=0,\, x_1:=3 \text{ und } x_n:=\frac{1}{2} (x_{n-1}+x_{n-2}) \text{ für alle } n\geq 2 \ \text{ gilt } x_n=2-2 \left( -\frac{1}{2} \right)^n \text{ für alle } n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Eine andere Sache:

Zitat:

Original von Wintersun
Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_0 := 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^0 = 2-2 = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 := 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^1 = 2+1 = 3 \end{eqnarray*}$

"a:=b" bedeutet immer, dass a durch b definiert ist bzw. wird. $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist aber z.B. nicht durch $\begin{eqnarray*} 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^0 \end{eqnarray*}$ definiert, sondern du willst zeigen, dass unter Voraussetzung der gegebenen Definition von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ (nämlich als 0, siehe oben) auch erfüllt ist, dass $\begin{eqnarray*} x_0 = 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^0 \end{eqnarray*}$ .
Also eher:

Zitat:

Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_0 \underset{\text{Def.}}{=} 0 = 2-2 = 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^0 \end{eqnarray*}$

oder:

Zitat:

Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^0 = 2-2 = 0 = x_0 \end{eqnarray*}$ nach Definition der Folge

etc. Analog für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ .

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