Thema: Gauss & seine Werke

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Maddin Auf diesen Beitrag antworten »
Thema: Gauss & seine Werke
Servus,

wir müssen in Mathe Referate halten. Ich habe mir den Mathematiker Gauss ausgesucht. Lebenslauf usw. habe ich, aber bei den Werken sieht es nicht gut aus. Ich habe mir zwar alle Werke angeguckt aber ich habe eigentlich keins verstanden. Kennt einer von euch ein Werk von Gauss das für einen 10. Gymnasialschüler geeignet ist ? Ich muss bei dem Referat den Lebenslauf vorstellen und eines seiner Werke. Hoffe ihr habt ein Werk das nicht all zu schwer ist und das ich dann auch nachvollziehen kann.


Danke !
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Thema: Gauss & seine Werke
Leicht wäre die Geschichte, wie er als Schüler alle Zahlen von 1 bis 100 addieren sollte. Bin mir aber nicht so sicher, ob das als "Werk" zählt... Big Laugh
Maddin Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub mein Lehrer meinte, dass Gauss Zahlentheorie leicht wäre... um was geht es da ?

Edit:

In der Volksschule verblüffte er seinen Lehrer, als er die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren hatte und das Ergbenis binnen Minuten nach dem selbst aufgefundenen Gesetz http://home.t-online.de/home/biographien/gauss/gauss1.gif berechnete.

Ich denke ich könnte sowas nehmen. Könnte mir dann noch einer diese Formel erklären und wie er es genau gemacht hat ?
Maddin Auf diesen Beitrag antworten »

könnte man diese formel auch benutzen um zB Zahlen von 1 - 200 zu addieren ?

Ich brauche echt Hilfe ! Am Dienstag muss ich halten....

Mfg

Maddin der am Grunde der Verzweiflung ist unglücklich
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Formel gilt für alle natürlichen Zahlen n. Man kann sie mit vollständiger Induktion beweisen.

Gauss´ Idee war, dass er die Summe 1+2+3+...+98+99+100 klever gruppierte und zwar so:
(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51)

Für jede Klammer kommt 101 heraus und man sieht am jeweils ersten Summanden leicht, dass es 50 Summanden sind. Nun berechnete er 50*101 und war fertig.

(Ich glaube so hat er das gemacht und (zumindest noch) nicht die allgemeine Formel hergeleitet).

Gruß vom Ben
Maddin Auf diesen Beitrag antworten »

Jaaa, ich glaub ich habs gecheckt smile

Nehmen wir an man muss die Zahlen von 1 - 23 addieren. Das Ergebniss ergibt 276.

Also 1- 23 = 276

Jetzt in die Formel von Gauss eingesetzt:

23 ( 14 + 10 ) / 2 [ / = geteilt ]

Ergebniss = 276


Also ich checke nun wie es geht, aber ich weiss nicht wie ich es in einer halbwegs guten "Fachsprache" rüberbringen soll. Was zB sage ich, wenn man die Zahlen von 1 - 43 addieren soll ?

- Ich würde jetzt in meiner Verständlichen Sprache sagen, dass vor der Klammer die Zahl stehen muss, bis wieviel man addiert. In der Klammer muss immer die Addition stehen wieviel 44 ergeben soll ( also immer die nächste Zahl der genannten Zahl ), also zB 21 + 23. Nach der Klammer muss immer ein geteilt durch 2 stehen.

Ich weiß das es für euch Matheprofis wie Fachchinesisch vorkommt, aber für mich ist das eben so die vereinfachte Sprache Augenzwinkern

Ich habe dann noch mal 3 Fragen dazu:

1. Wie heißt dieses Verfahren ?
2. Wieso steht nach der Klammer immer geteilt durch 2
3. Wieso eigentlich immer + 1 ?
 
 
Maddin Auf diesen Beitrag antworten »

ich depp :P :P

mir ist eben aufgefallen das ich garnich 23(14+10) /2 machen muss.

Sondern einfach nur 23(23+1) /2

Naja ist ja aber auch egal ob ich jetzt 17+7 mache oder 22+2 oder 23+1, es kommt eh dasselbe dabei heraus. Aber wenn ich zB 18+6 mache dann halte ich mich ja eigentlich nicht mehr an die Formel
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Dann halt dich doch einfach an die Formel und gut ist Augenzwinkern

Zu dem "durch 2 teilen": Schau dir nochmal meinen Post von oben an (dort ist ja n=100). (n+1) ist ja das Ergebnis der Klammern. Und ist die Anzahl der Klammern.

Ich würd sagen, dass kann man als "Summenformel" bezeichnen, in Langform halt "Formel für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen".

Wenn du meinst es verstanden zu haben, dann nimm dir als Beispiel nochmal ein ungerades n und überleg, wie man dann gruppieren könnte.

Gruß vom Ben
Maddin Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal vielen Dank Ben. Super das du mir so schnell geholfen hast =)
Mein Lehrer hat mir eben eine Mail geschrieben, dass diese Formel und die Art vom Rechnen als Werk zählt. Das mit 1 - XXX hab ich verstanden. Doch was ist, wenn ich zB die Zahlen von 4 - 21 addieren soll ?! Ich hab zwar eben die ganze Zeit herumprobiert - bin aber zu keinem Ergebniss gekommen. Wäre echt genial, wenn du mir dies auch noch zeigen könntest.

Gruß vom überfrohen Maddin =)
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Bin mir nicht sicher, ob man dafür auch eine Formel herleiten kann, aber ich denke, dass das keine Standardfrage ist und du dir keine Gedanken machen musst, wenn du das nicht erwähnst.

Gruß vom Ben
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, man könnte ja die Differenz bilden. Einmal setzt man 21 ein, das andere mal 3 und subtrahiert das Ergebnis von 3 von dem von 21. Also:



Was besseres fällt mir dazu auch nicht ein.
Aber wie gesagt, das musst du nicht berücksichtigen!! Is dann veilleicht auch ein wenig zu viel.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

4+21 =25
5+20= 25
6+19= 25
7+18= 25
8+17= 25
9+16= 25
10+15= 25
11+14= 25
12+13= 25

=9*25 =225


allgemein, beginnend bei a endend bei b

S= (a+b) * (b-(a-1))/2 = (b+a)*(b-a+1) * 1/2


smile
Maddin Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathespezialschüler: Kann es sein das du von 4 - 21 addiert hast ? Denn bei 3 - 21 kommt 228 heraus.
Ich kann deinen Rechenvorgang auf jedenfall nachvollziehen. Also würde man zB von 13 - 23 addieren, so würde die Rechnung so aussehen:

23(23+1) /2 - 12(12+1) /2 = 198

@Poff: also deinen Vorgang kann ich nicht nachvollziehen traurig
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maddin

Doch was ist, wenn ich zB die Zahlen von 4 - 21 addieren soll ?!


Du wolltest doch die Zahlen von 4-21! verwirrt

Und das was Poff gemacht hat, ist folgendes:
Er hat einfach wieder, wie Gauß einzelne Summen gebildet.
So wie Gauß

(1+100)+(2+99)+(3+98 )+...+(48+53)+(49+52)+(50+51)

gemacht hat, hat er einfach das in gleicher Form gemacht:

(4+21)+(5+20)+(6+19)+(7+18 )+(8+17)+(9+16)+(10+15)+(11+14)+(12+13)

Und dann hat er sich überlegt, wie oft er halt die 25 hat, so wie sich Gauß überlegt, wie oft er die 101 hat. Das hat er dann noch in allgemeine Form geschrieben. Is hoffentlich verständlich geworden. Augenzwinkern
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathespezialschüler

... richtig so hab ich das gemacht, aaaber es geht rein formal
auch anders,

einfach das, was du am konkreten Beispiel vorgeführt hast,
nun mittels der Standartformel auf den allgemeineren Fall erweitern.

Vielleicht kannst du das gerade mal vorrechnen ...


smile
Maddin Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bleib bei der Rechnung von Mathespezialschüler smile

So ich werde dann mal den Lebenslauf zusammenfassen. Ich danke euch nochmal allen, die mir geholfen haben Gott

Ich werde euch dann am Dienstag berichten wie es gelaufen ist Augenzwinkern


Grüße vom Dankbaren Maddin Wink
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie meinst du denn das genau? Ich versteh das jetzt so:

Für die Summe der natürlichen Zahlen von 1-n gilt:



Dann gilt für die Summe der natürlichen Zahlen von a-b:



Dann kommt man auf die Formel, aber ich glaube, das ist jetzt irgendwie ein wenig weit hergeholt, da ich ja einfach nur auf eine Formel kommen wollte, aber nicht genau weiß, warum man eigentlich den Zwischenschritt mit



hat. Poff wollte das bestimmt auch etwas anders oder?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... soo war das auch nicht gedacht,

ich meinte du solltest diese 'deine Differenz' allgemein
nachbilden und auf dem Weg zum gleichen Resultat kommen ...

alle Klarheiten beseitigt ... ?? Augenzwinkern

.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, an die Differenz hatte ich nicht gedacht. :P

Also da hatte ich ja





Das allgemein verfasst:



Jetzt ein wenig umformen (ich machs ausführlich, auch mit Kommutativgesetz und so):





Mit binomischer Formel:



(b + a) ausklammern:







Und das ist dann das gleiche, was Poff auch hatte.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maddin
Ich werde euch dann am Dienstag berichten wie es gelaufen ist Augenzwinkern


Bitte nur, wenn´s gut gelaufen ist, ansonsten nehmen wir´s nicht auf unsere Kappe Big Laugh
Maddin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
Zitat:
Original von Maddin
Ich werde euch dann am Dienstag berichten wie es gelaufen ist Augenzwinkern


Bitte nur, wenn´s gut gelaufen ist, ansonsten nehmen wir´s nicht auf unsere Kappe Big Laugh


ja, das is schon klar Big Laugh
Wenn ichs verhaue dann liegts natürlich an mir und nicht an euch smile
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