Warum ist es sinnvoll zwischen partieller und "normaler" Ableitung zu unterscheiden?

10.07.2006, 16:36

Trazom

Warum ist es sinnvoll zwischen partieller und "normaler" Ableitung zu unterscheiden?

Hallo,

ja Frage steht praktisch schon da. Warum macht man einen Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$ ?

Der Algorithmus ist derselbe und sollte f noch andere Variablen haben, nach denen man ableiten könnte, spielt das doch für die Ableitung auch keine Rolle.

Danke und Gruß

10.07.2006, 17:05

kingskid

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hi!
... ich glaub es gibt schon einen unterschied zwischen partieller und (totaler) Diffbarkeit! schau mal die definitionen nach!
außerdem ist die partielle diffbarkeit nur eine recht schwache eigentschaft, aus ihr folgt beispielsweise nicht die stetigkeit, aber aus der totalen diffbarkeit schon!

... also falls du mit "normaler" ableitung die totale diffbarkeit meinst, wir haben da andere symbole...

10.07.2006, 17:05

Sunwater

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ich hab mal gelesen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$ nur darauf hindeuten soll, dass f noch von anderen Variablen als x abhängt - weiß aber nicht ob das stimmt...

10.07.2006, 17:36

20_Cent

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bei uns ist das so.
man könnte auch d schreiben, das "del" macht nur deutlich, dass es sich um eine funktion mehrere variablen handelt.
Die totale Diffbarkeit kann man gar nicht so hinschreiben, höchstens die Jacobi-Matrix, dafür schreiben wir Df.
mfg 20

10.07.2006, 23:11

Trazom

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Zitat:

Original von Sunwater
ich hab mal gelesen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$ nur darauf hindeuten soll, dass f noch von anderen Variablen als x abhängt - weiß aber nicht ob das stimmt...

Mehr wurde mir auch nie gesagt, aber das halte ich für schwachsinnig, denn es kann gar nicht sein, dass man der Ableitung einen anderen Namen gibt wegen einer Eigenschaft, die für die Ableitung keine Rolle spielt.

11.07.2006, 00:12

Ben Sisko

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Also ich verstehe die Frage nicht ganz verwirrt

Wenn du alles vergisst, was dir schon bekannt ist, dann ist doch erst einmal gar nicht klar, was die Ableitung einer mehrdimensionalen Funktion ist.
Die Idee bei der partiellen Ableitung ist dann, es erst einmal wie eine eindimensionale Funktion zu behandeln, indem man die restlichen Variablen fixiert (bei einer zweidim. Funktion f(x,y) auch noch vorstellbar; Steigung in x-Richtung für festes y bzw. in Abhängigkeit von y).
Aber dann ist doch klar, dass man noch "eine andere Ableitung" haben möchte, die alle Variablen berücksichtigt.

Dass beide nicht dasselbe aussagen können, sollte klar sein.

Gruß vom Ben

11.07.2006, 00:52

sax

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edit: Ich nehm lieber mal die Lagrange Funktion statt der Hamilton funktion

Der unterschied ist manchmal sehr wichtig, hier mal ein Beispiel aus der klassischen Physik:
Dort gibt es die sogenannte Lagrangefunktion, in den meisten fällen ist diese die Kinetische Energie-potentielle Energie des Systems, aber nicht immer. Sagen wir wir haben ein zweidimensionales System, in dem sich ein Massenpunkt bewegt. Diese hat den Ort x,y. die Hamiltonfunktion hat i.A. die Form
$\begin{eqnarray*} L(x,y,\dot{x},\dot{y},t) \end{eqnarray*}$ als Beispiel könnte man
$\begin{eqnarray*} L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) -x^2-y^2-x cos(t) \end{eqnarray*}$ anführen. Das entspräche einem 2D Harmonischen Oszillator mit treibender Kraft in x Richtung.
Da sich das Teilchen bewegt, hängen $\begin{eqnarray*} x,y,\dot{x} \dot{y} \end{eqnarray*}$ von der Zeit ab. Jetzt kommts:
Die Totale Zeitableitung ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{dL}{dt} = \frac{\partial L}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial L}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \frac{\partial \dot{x}}{\partial t}+ \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} \frac{\partial \dot{y}}{\partial t}+ \frac{\partial L}{\partial t} \end{eqnarray*}$
während mit der partiellen Zeitableitung
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial t}= \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) -x^2-y^2+x sin(t) \end{eqnarray*}$ gemeint ist, also $\begin{eqnarray*} x(t) , y(t) \end{eqnarray*}$ werden konstant hgehalten, es wird nur nach der expliziten Zeitabhängigkeit differenziert, man will wissen, wie die Änderung der Lagrangefunktion des Systems ist, wenn der Massenpunkt am selbem Ort bleibt, aber die Zeit sich ändert.

Oder vieleicht noch anders: we nn man sagen kann:
$\begin{eqnarray*} x=x(t) \, y=y(t) \, t=t \end{eqnarray*}$ kann man vom Prinzip her auch die Umkehrung finden, zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} x=x \, y=y(x) \, t=t(x) \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun
$\begin{eqnarray*} \frac{d L}{dx} \end{eqnarray*}$ heißt das ich muß wie oben, alle Variablen nach x differenzieren, während die paritelle Integration wieder nur nbach dem expliziten x ist.
Wenn zwischen x und y überhaupt kein zusammenhang besetehen würde, macht die totale Ableitung nach x auch keinen Sinn mehr.

19.07.2006, 15:29

Trazom

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Zitat:

Original von sax
edit: Ich nehm lieber mal die Lagrange Funktion statt der Hamilton funktion

Der unterschied ist manchmal sehr wichtig, hier mal ein Beispiel aus der klassischen Physik:
Dort gibt es die sogenannte Lagrangefunktion, in den meisten fällen ist diese die Kinetische Energie-potentielle Energie des Systems, aber nicht immer. Sagen wir wir haben ein zweidimensionales System, in dem sich ein Massenpunkt bewegt. Diese hat den Ort x,y. die Hamiltonfunktion hat i.A. die Form
$\begin{eqnarray*} L(x,y,\dot{x},\dot{y},t) \end{eqnarray*}$ als Beispiel könnte man
$\begin{eqnarray*} L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) -x^2-y^2-x cos(t) \end{eqnarray*}$ anführen. Das entspräche einem 2D Harmonischen Oszillator mit treibender Kraft in x Richtung.
Da sich das Teilchen bewegt, hängen $\begin{eqnarray*} x,y,\dot{x} \dot{y} \end{eqnarray*}$ von der Zeit ab. Jetzt kommts:
Die Totale Zeitableitung ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{dL}{dt} = \frac{\partial L}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial L}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \frac{\partial \dot{x}}{\partial t}+ \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} \frac{\partial \dot{y}}{\partial t}+ \frac{\partial L}{\partial t} \end{eqnarray*}$
während mit der partiellen Zeitableitung
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial t}= \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) -x^2-y^2+x sin(t) \end{eqnarray*}$ gemeint ist, also $\begin{eqnarray*} x(t) , y(t) \end{eqnarray*}$ werden konstant hgehalten, es wird nur nach der expliziten Zeitabhängigkeit differenziert, man will wissen, wie die Änderung der Lagrangefunktion des Systems ist, wenn der Massenpunkt am selbem Ort bleibt, aber die Zeit sich ändert.

Oder vieleicht noch anders: we nn man sagen kann:
$\begin{eqnarray*} x=x(t) \, y=y(t) \, t=t \end{eqnarray*}$ kann man vom Prinzip her auch die Umkehrung finden, zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} x=x \, y=y(x) \, t=t(x) \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun
$\begin{eqnarray*} \frac{d L}{dx} \end{eqnarray*}$ heißt das ich muß wie oben, alle Variablen nach x differenzieren, während die paritelle Integration wieder nur nbach dem expliziten x ist.
Wenn zwischen x und y überhaupt kein zusammenhang besetehen würde, macht die totale Ableitung nach x auch keinen Sinn mehr.

Hallo,
ich muss mich jetzt doch nochmal zu Wort melden, weil mir das wahrscheinlich ob meines mathematischen Unvermögens nicht einleuchten will. Zum beispiel an diesem Punkt:

"während mit der partiellen Zeitableitung
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial t}= \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) -x^2-y^2+x sin(t) \end{eqnarray*}$ gemeint ist, also $\begin{eqnarray*} x(t) , y(t) \end{eqnarray*}$ werden konstant hgehalten, es wird nur nach der expliziten Zeitabhängigkeit differenziert"

Wenn man nun für x(t) und y(t) einen Ausdruck hat, der natürlich t enthält und den man dann natürlich auch in die Ausgangsgleichung einsetzt, dann dürften diese Summanden auch bei der partiellen Ableitung nach t nicht unberücksichtigt bleiben. Dann wäre ja auch nicht mehr erkennbar, ob dieser Summand mal x hieß oder nicht. Es wäre einfach ein zeitabhängiger Summand, auf den die Ableitung nach der Zeit Einfluss haben muss.

Viele Grüße

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