Totales Differenzial

11.07.2006, 11:46

der TOYO

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Totales Differenzial

guten morgen,

hab hier ne kleine frage und hoffe, dass mir da jemand helfen kann.

ich habe eine aufgabe, bei der die tangentialebene und das totale differential im punkt (1/1) bestimmt werden soll:

f( x1, x2) = x1^3 x2 - x1 x2^2 - 8 x2

die resultierende tangentialebene ist yT = 2 x1 - 9x2 - 1

aber was ist mit dem totalen differential gemeint? wie stell ich dass auf? soll ich dazu yT oder f nehmen? hilfe hilfe traurig

traurig

mfg TOYO

11.07.2006, 12:14

Sunwater

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schau mal da:

http://de.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential

im Grunde genommen heißt es nur, dass du einen Vektor brauchst, dessen Komponenten die partiellen Ableitungen sind... - und so einen Vektor kannst du ja als lineare Abbildung auffassen, wenn du ihn als Zeilenvektor betrachtest ( also transponierst )... oder wie es bei Wikipedia steht einfach das Skalarprodukt nimmst ( das hat im Grunde nichts mit dem richtigen Skalarprodukt zu tun - aber die Rechenregeln sind genauso, als würde man ein Skalarprodukt berechnen - daher die Schreibweise )

11.07.2006, 12:33

der TOYO

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also sozusagen grad f nur als vektordarstellung?

und dass nennt sich dann totales differential?

irgendwie raff ich dass nicht. könntest du mir nen klaren ansatz geben?

ich mein mit der tangentialebene hab ich ja auch keine probleme...

nur damit...

11.07.2006, 12:46

Calvin

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Das totale Differential einer Funktion mit 2 Variablen ist wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} dx_2 \end{eqnarray*}$ bleiben erstmal so stehen und stellen kleine Änderungen für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ dar.

EDIT
Ich sehe gerade, dass das totale Differential im Punkt (1,1) bestimmt werden soll. Dann ist es $\begin{eqnarray*} df(1,1)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(1,1)\cdot(1-\Delta x_1)+\frac{\partial f}{\partial x_2}(1,1)\cdot (1-\Delta x_2) \end{eqnarray*}$

EDIT2
Bei der Ersetzung der $\begin{eqnarray*} dx_i \end{eqnarray*}$ am Ende bin ich mir nicht sicher. Wäre nett, wenn das jemand bestätigen/verbessern könnte.

11.07.2006, 13:07

der TOYO

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okay ich glaub ich habs kapier. da kommt dann das raus oder?

df (1,1)=2 x1 - 9 x2 - 7

stimmt das?

11.07.2006, 13:55

Calvin

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@der TOYO

ich habe meinen Beitrag nochmal editiert. Hast du das berücksichtigt? Bei einer Sache war ich mir nicht mehr so sicher. Vielleicht steht in deinen Unterlagen was genaueres dazu.

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11.07.2006, 17:44

TOYO

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hallo nochmal,

mit dem allgemeinen ansatz für das totale Differential hast du schon recht und dass ist ja auch nicht das problem. ich habe ein problem damit wie ich diese formel umsetzen soll und die gegebenen werte richtig einsetzen soll, so wie du halt anscheinend auch geschockt

geschockt

.

Leider hat unser prof gerade zu diesem thema keine beispielaufgabe gemacht und so hab ich keinen vergleich ob ich das richtig mache oder nicht. ich wäre also sehr dankbar wenn mir jemand sagen könnte wie ich an oben genannten beispiel das totale differential richtig anwende und ausrechne da ich morgen früh um 8 uhr mathe2-Klausur schreibe...

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

11.07.2006, 18:14

derkoch

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hmm!??

verwirrt

ich bekomme:
$\begin{eqnarray*} z= f(x;y)= 2x_1-9x_2+7 \end{eqnarray*}$
raus.

kann sein daß ich mich verrechnet habe, ist schon ne weile her, daß ich sowas gerechnet habe!
mal abwarten, bis die Spezialisten auftauchen! smile

smile

11.07.2006, 21:19

Calvin

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Ich habe jetzt nochmal meine alten Unterlagen rausgekramt. Ich habe "Totales Differential" und "Fehlerberechnung" durcheinandergeworden.

Das totale Differential haben wir folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt das totale Differential an der Stelle (1,1) suchst, dann ist das $\begin{eqnarray*} df=\frac{\partial f}{\partial x_1}(1,1)\cdot dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}(1,1)\cdot dx_2 \end{eqnarray*}$

In diesem Fall also $\begin{eqnarray*} df=2dx_1-9dx_2 \end{eqnarray*}$

11.07.2006, 21:20

der TOYO

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naja es kommen morgen ja rechnungen aus 4 themengebieten dran.

ich sag nur, mut zur lücke Big Laugh

Big Laugh

.
ne schmarrn ich werd den ansatz oben als richtig ansehen, wenn er falsch is bekomme ich vielleicht noch punkte wegen folgefehler.

trotzdem danke das sich wenigstens ein paar leute meiner probleme angenommen haben Freude

Freude

.

11.07.2006, 21:22

der TOYO

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okay danke Calvin für deine hilfe Freude

Freude

13.07.2006, 12:09

WebFritzi

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Das totale Differential ist eine Matrix und enthält die partiellen Ableitungen. Hier hat die Matrix eine Zeile, da der Bildraum der Funktion f eindimensional ist.

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^3y - xy^2 - 8y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} df(x,y) = \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} & , & \frac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3x^2y - y^2 & , & x^3 - 2xy - 8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.07.2006, 12:14

Calvin

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@WebFritzi

weder bei wikipedia noch in meinen Vorlesungsunterlagen steht etwas von einer Matrix. Bei beiden ist das eine Summe.

Das, was du hinschreibst, habe ich unter dem Begriff Jacobimatrix kennengelernt

13.07.2006, 12:21

WebFritzi

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Das ist dasselbe. Du schreibst das totale Differential in der Terminologie der Differentialformen auf. Ich halte es aber für didaktisch nicht angebracht, jemanden, der nicht weiß, was ein tot. D. ist, mit Differentialformen zu bombardieren. Weißt du denn z.B., was dx ist? Du schreibst es so selbstverständlich hin, aber ich bezweifle, dass hier jeder weiß, was das eigentlich ist.

13.07.2006, 12:31

Calvin

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Zitat:

Original von WebFritzi
Weißt du denn z.B., was dx ist?

Wie meine anfängliche Unsicherheit in meinem ersten Posting hier zeigt, bin ich mir in diesem Fall tatsächlich unsicher. Ich weiß, dass es um eine kleine Änderung in x-Richtung geht, aber wie in diesem Fall die genaue Anwendung ist, muss ich bei jeder Aufgabe nachschlagen Hammer

Hammer

Auf den ersten Blick war mir der Zusammenhang zwischen deiner Schreibweise und dem mir bekannten auch nicht klar. Erst nach deiner Bemerkung, dass das das gleiche sei, habe ich gesehen, dass man an deine Matrix den Vektor mit den $\begin{eqnarray*} dx_i \end{eqnarray*}$ skalar multiplizieren muss, um auf meine Schreibweise zu kommen. Ob das für den Fragensteller dann hilfreicher ist, kann ich nicht beurteilen.

Ich denke, dass man es so machen sollte, wie es in der Vorlesung besprochen wurde. Das bringt die wenigsten Diskussionen bei der Klausureinsicht.

13.07.2006, 12:44

WebFritzi

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Gut, dann nochmal um der Klarheit willen. dx ist hier keine "kleine Änderung", sondern eine lineare Abbildung - nämlich diejenige, die (x,y) auf x abbildet. Als Matrix (bezüglich der Standardbasis) geschrieben, ist dx = (1,0). Genauso: dy = (0,1). Somit haben wir
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy = (\frac{\partial f}{\partial x}, 0) + (0, \frac{\partial f}{\partial y}) = (\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}) \end{eqnarray*}$ .
Alles klar? smile

smile

13.07.2006, 13:26

Calvin

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Alles klar. Danke für die Erklärung. Mal sehen, ob ich mir das jetzt besser merken kann smile

smile

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