Beweis Eigenschaften der Verteilungsfunktion

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evelin Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Eigenschaften der Verteilungsfunktion
F sei eine Verteilungsfunktion zur Zufallsvariable X. Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Eigenschaften:

(a) P(a < X b) = F(b) - F(a) für a < b.
(b) P(X > a) = 1 - F(a), a € R.
(c)

Verwenden Sie die Definition der Verteilungsfunktion und die Rechenregeln, die Ihnen für Wahrscheinlichkeitsmaße bekannt sind!

Defintion der Verteilungsfunktion:
F(x)= P(Xx)=P(x €(- , x])

Kann mir jemand bitte, bitte helfen, ich habe keine Ahnung wie ich die Gültigkeit zeigen soll.

Vielen Dank
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Bei (a) genügt die Eigenschaft der Additivität des Wahrscheinlichkeitsmaßes , d.h.

für disjunkte Ereignisse ,

indem man geeignet wählt.


Bei (b) ist es genau dasselbe, nur dass man gewisse mit wählt, unter Berücksichtigung von für das sichere Ereignis .


Schließlich kommt in (c) die Stetigkeitseigenschaft von endlichen Maßen zum Tragen, d.h.,



für eine monoton wachsende Ereignisfolge . Diese Stetigkeitseigenschaft ist nicht in den Axiomen festgehalten, folgt aber leicht aus diesen.
evelin Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von Arthur Dent
Bei (a) genügt die Eigenschaft der Additivität des Wahrscheinlichkeitsmaßes , d.h.

für disjunkte Ereignisse ,

indem man geeignet wählt.


Danke für deinen Hinweis, aber wie kann ich vom Additivitätsaxoim auf die Aussage in a) schließen?? Irgendwie versteh ich das nicht so recht...

Viele Grüße
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
[...]

indem man geeignet wählt.


Du weißt doch, was nachzuweisen ist. Dann sollte es zusammen mit der Definition der Verteilungsfunktion nicht schwerfallen, welche Ereignisse im Zusammenhang mit der Zufallsgröße hier geeignet sind. Ein bisschen nachdenken solltest du schon auch selbst! Erstaunt1
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Addiere auf beiden Seiten der zu zeigenden Gleichung F(a).
evelin Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt echt lang drüber nachgedacht und komm einfach nicht drauf...

Den Hinweis, dass ich auf beiden Seiten F(a) addieren soll versteh ich auch nicht wirklich...

Bekomm ich noch nen Tipp?
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hochschulmathematik! Tränen

Wenn du den Tipp befolgst, dann ist



nachzuweisen. Definition der Verteilungsfunktion eingesetzt ist das dasselbe wie



Da stehen also drei Ereignisse innerhalb der P(..)-Ausdrücke:

, und .

Und jetzt wäre es mal nett, etwas von dir zu hören.
evelin Auf diesen Beitrag antworten »

Manchmal ist die Leitung ganz schön lang...

Also P(Xa) und P(a<Xb) sind disjunkte Ereignisse.
P(Xa) P(a<X) geschnitten P(Xb) = P(Xb)
P(Xa) vereinigt P(a<X)=1
1 geschnitten P(Xb) = P(Xb)
was zu beweisen war
Stimmt das so?
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