lin abb. dim kern

11.07.2006, 13:47	robby33	Auf diesen Beitrag antworten »
lin abb. dim kern eine lin. abb. f: K^3 -> K^2 sei standartbasis durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben, mir a in K. 1. zeige , dass dim (ker f) = 1 ist und berechne einen basisvektori x. 2. berechne vektoren x_1,x_2 \in K^3 s.d. die matrixdarstellung von f bzgl. der basis x_1,x_2,x von K^3 und standartbasis von K^3 die Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben, mir a in K. kann mir da vielleicht jemand nen tipp geben was ich da genau machen muss? danke...
11.07.2006, 16:04	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lin abb. dim kern Also ein Stichpunkt zum Nachschlagen im Skript ist die Dimensionsformel für endliche dim Vektorräume. BITTE MACHEN - DIE IST WICHTIG Nun wir haben hierr einen Homomorhismus, lineare Abildung H zwischen den Vektorräumen V = K³ und W = K². Daraus erkennst Du ja schon, das die Dimension des Bildraums W kleiner ist als die des Definitionsbereichs V. Also kann die Abbildung NICHT BIJEKTIV sein, und damit gilt $\begin{eqnarray} dim(Ker(H)) \neq 0 \end{eqnarray}$ um nun die Dimension des Kerns = Menge aller Vektroen aus V, die auf den Nullvektor von W abgebildet werden!, bestimmen zu können, müsssen wir den Rang der Abbildungmatrix bestimmen. Ich nehme mal an, die soll bezgl. der Standardeinheitbasis so aussehen: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt muss Du beweisen, dass die ersten zwei Spalten von A linear unabhängig sind. Dann folgt für alle $\begin{eqnarray} a \in K \end{eqnarray}$ , dass die Matrix den Rang(A)= 2 hat! Warum? - Gib mir bitte den enstpechenden Satz an! Was ist jetzt mit dem Basisvektor x gemeint? Soll der den Ker(H) erzeugen? Gruß Tigerbine
13.07.2006, 13:06	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist K ein beliebiger Körper, dann ist die Aufgabe eh falsch gestellt, denn was sind dann 2 und 3???
13.07.2006, 13:40	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
das stimmt nicht - die Aufgabe ist nicht falsch gestellt... 2 ist doch nur ein Symbol für 1 + 1 3 ist das Symbol für 1 + 1 + 1 im $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ wird die 2 also als 0 interpretiert und die 3 als 1...
13.07.2006, 14:14	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles schonmal dagewesen

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