zyklische Gruppen

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PsychoCat Auf diesen Beitrag antworten »
zyklische Gruppen
Mir ist gerade mal aufgefallen, dass ich etwas eigentlich ganz fundamentales bei Gruppen der Form Z/nZ nicht verstehe:

Z.B. ist Z/6Z ja isomorph zu Z/2Z x Z/3Z. Aber welche Elemente entsprechen sich da jetzt? In Z/6Z habe ich 0,1,2,3,4,5 und in Z/2Z x Z/3Z (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)
(0,0) muss ja der 0 entsprechen aber der Rest? verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo PsychoCat,

zwei Strukturen sind ja genau dann isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Kannst du denn einen Isomorphismus angeben? Der chinesische Restsatz könnte weiterhelfen...


Gruß, therisen
PsychoCat Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm chinesischer Restsatz? Das war doch irgendwas mit Idealen verwirrt Das klingt zu kompliziert Augenzwinkern Unser Professor hatte damals ganz locker angeschrieben, welche Elemente sich entsprechen ohne groß nachzudenken und diesen Restsatz hatten wir da noch gar nicht, also muss das doch einfacher gehen.. unglücklich

Genauer gesagt hat er folgendes angeschrieben:
Gesucht ist die Lokalisierung {1,2,4}^-1 * Z/6Z
Z/6Z ist isomorph zu Z/2Z x Z/3Z
{1,2,4} entspricht dort {(1,1),(0,2),(0,1)}

..so habe jetzt glaub ich eine "einfachere" Lösung gefunden:
Meine Überlegungen bisher waren, dass Z/2Z und Z/3Z die Sylow-Untergruppen von Z/6Z sind und der Isomorphismus dort ist gegeben durch f(a,b)=a+b. Eine Untergruppe der Ordnung 2 wäre {0,3} und eine Untergruppe der Ordnung 3 wäre {0,2,4}. Nach dem eben genannten Isomorphismus würde dann {0,1,2,3,4,5} den Elementen {(0,0),(3,4),(0,2),(3,0),(0,4),(3,2)} entsprechen. Modulo (2,3) wäre das dann {(0,0),(1,1),(0,2),(1,0),(0,1),(1,2)}

Allerdings soo einfach find ich die immernoch nicht geschockt

Jetzt gehts aber weiter:
Die oben angesprochene Lokalisierung soll dann isomorph sein zu {0,1}^-1 Z/2Z x {1,2}^-1 Z/3Z und das wiederum zu 0 x Z/3Z also zu Z/3Z.
Da versteh ich nun leider gar nichts mehr.. Was soll denn {0,1}^-1 und {1,2}^-1 sein und wo kommt das her verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das so schreibst, verstehe ich das auch nicht mehr. Warum ordnest du nicht einfach



zu, wie von therisen vorgeschlagen?
PsychoCat Auf diesen Beitrag antworten »

ACHSOO Gott

hat er das? wenn dann sehr verschlüsselt, nen Zusammenhang zum chinesischen Restsatz seh ich da gerade überhaupt nicht.

Aber egal, genau so eine einfache Vorschrift hab ich gesucht smile vielen Dank!


Wo das {0,1}^-1 und {1,2}^-1 herkommt dämmert mir nun auch, man hat eben bei den Elementen in S vorne die 0 und die 1 und hinten die 1 und die 2. {0,1}^-1 Z/2Z ist automatisch isomorph zu 0 weil die 0 als "Nenner" in Frage kommt. Gibt es jetzt noch eine einfache Erklärung warum {1,2}^-1 Z/3Z isomorph ist zu Z/3Z? Das ist ja der Quotientenkörper oder? verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin davon ausgegangen, dass du Wikipedia mit diesem Stichwort fütterst. Dann hättest du das gefunden: http://de.wikipedia.org/wiki/Chinesische...Hauptidealringe


Gruß, therisen
 
 
PsychoCat Auf diesen Beitrag antworten »

achso ok trotzdem danke Augenzwinkern

Hab mir noch ein paar Beispiele zur letzten Frage von oben angesehen.
Ist im Allgemeinen S^-1 Z/pZ isomorph zu Z/pZ wenn 0 nicht in S und zu {0} wenn 0 in S? Das war jedenfalls in den Beispielen immer so. (wenn p prim)
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast einen sehr wirren Schreibstil drauf. Was ist denn S? Und was soll S^-1 Z/pZ sein? Benutze mal bitte Latex!


Gruß, therisen
PsychoCat Auf diesen Beitrag antworten »

S ist eine multiplikativ abgeschlossene Untergruppe von und ist eben die Lokalisierung bezüglich S.. Wie schreibst du das denn?

Meine Frage war jetzt ob für gilt.
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