Unitärer Raum, orthogonal, selbstadjungiert

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bleistift Auf diesen Beitrag antworten »
Unitärer Raum, orthogonal, selbstadjungiert
Ich brüte schon viel zu lange an einer simplen Aufgabe und sehe wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht:

Ist a ein Endomorphismus von V, V unitär und endlichdimensional. Zeige:
Ist a orthogonal, dann ist a selbstadjungiert

Das ist wieder so ein hin und her von Definitionen - wie gesagt, ich komme nicht drauf.

Ich weiß: a orthogonal, dann ist
a(v)a(w) = va*(a(w)) = vw
Weiter ist a*a = 1
Wüßte ich jetzt, daß auch aa*=1 ist, hätte ichs ja, aber a muß ja nicht normal sein.

Ich würde mich über einen Tip freuen smile
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

sei A die Matrix zum Endomorphismus a dann gilt nach Vorraussetzung:

a orthogonal =>

wobei E die Einheitsmatrix sein soll, und der zweite Faktor das komplex konjugierte von der Transponierten von A

jetzt soll daraus folgen, dass a auch selbstadjungiert ist, für die Matrix also gilt:



also müsste ingesamt gelten:



somit gilt das nur für die identische Abbildung...

ich glaub nicht, dass der Satz allgemein gilt...
bleistift Auf diesen Beitrag antworten »

Das hatte ich auch raus - dachte aber einen Fehler gemacht zu haben. Die Aufgabe steht aber tatsächlich so da. Vielleicht hat sich der Aufgabensteller verschrieben ... naja, ist nicht soo wichtig, weil ich das nur für mich zur Übung gemacht habe.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sunwater
also müsste ingesamt gelten:



somit gilt das nur für die identische Abbildung...

ich glaub nicht, dass der Satz allgemein gilt...


Wer sagt das?
Vergleiche:


Eine Frage zur Aufgabe:
Nach der Definition, die ich kenne, sind nur Endomorphismen in Euklidischen Räumen orthogonal. In unitären Räumen nennt man sie doch unitär.
Und da bei dir Latex fehlt und ich nu mäßig viel erkenne, muss ich nochmal nachhaken.

unitär isometrisch.
Und du sollst jetzt beweisen, dass jeder unitäre Endomorphismus automatisch selbstadjungiert ist?
Ehrlich gesagt hört sich das für mich sehr komisch an...
bleistift Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, mit Latex ist die Schrift zwar dicker, die Aufgabe sieht aber genauso aus.
ist die Adjungierte zu , , ist die Identität bzw. die Einheitsmatrix usw..

In der Aufgabe steht dennoch, a sei orthogonal, auch wenn V ein unitärer Raum ist. Vielleicht deutet das auf etwas hin was ich noch nicht kenne oder es handelt sich um einen Tippfehler. (Mir liegt die Aufgabe leider auch nur also Kopie ohne Quellangabe vor. Da ganz oben ein Zeitraum von 2 Stunden angegeben ist könnte es sich sogar um eine Klausur gehandelt haben.)
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, die Schreibweise war mir nur etwas fremd...
Naja, egal, dann weiß ich zumindest teilweise was genau du weißt.

Zitat:
Wüßte ich jetzt, daß auch aa*=1 ist, hätte ichs ja, aber a muß ja nicht normal sein.


Doch das weißt du. Ein unitärer Endomorphismus ist immer normal.
Das ergibt sich auch aus
Ich weiß nicht, wie ihr unitär genau definiert habt, aber diese Eigenschaft haben unitäre Abbildungen...

MfG
 
 
bleistift Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast recht. Wir haben unitär genauso definiert, nämlich . Und da Matrizen i.a. nicht kommutieren habe ich in der Eile die Idee gleich wieder verworfen das umzudrehen.
Das bringt mich aber doch nicht weiter (hatte mich gestern verguckt).

Ich habe mich mal ein wenig umgeschaut, und herausgefunden, daß die Aufgabe oft ähnlich gestellt wurde, allerdings mit Orthogonalprojektionen. Da wir das nicht behandelt haben kann ich dazu aber nichts sagen.
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