JNF-Aufgabe

12.07.2006, 21:15	Poti	Auf diesen Beitrag antworten »
JNF-Aufgabe Huhu, habe hier eine Aufgabe: und zwar ist A eine 8X8-Matrix über C, wobei rang A =5, Rang A^2 = 2 und Rang A^3 = 0 ist. Jetzt soll man die Jordannormalform dieser Matrix berechnen. So weit so gut. Da rang A^3 =0 ist, hat der größte Block die größe 3, da defekt A =3 ist, habe ich insgesammt drei Blöcke. Logisch kann man nur noch twei dreierbölcke und einen zweierblock erhalten, aber man sagte mir, das ich das auch über die information rang A^2 = 2 lösen kann. Aber Wie?????????????????????? irgendwie soll mir helfen, dass ein block der größe zwei zum quadrat =0 ist, ich komme aber nicht drauf. Wenn euch was dazu einfällt wäre es nett.
13.07.2006, 00:19	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
also du hast einen dreierblock, bleiben noch 5 übrig. Da du insgesamt 3 blöcke hast, musst du die 5 nochmal aufteilen, also bleibt nur 3,2, weil du sonst entweder zu wenig hättest, oder einen block größer 3. die andere information brauchst du eigentlich nicht, ich wüsste auch nicht, was sie dir nützt. mfG 20 edit: oje, erst lesen, dann posten... vergiss es g, vielleicht kann dir jemand anderes helfen.
13.07.2006, 09:19	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
es gibt da ne Formel: d sei die Anzahl der Spalten/Zeilen der Matrix - hier also 8. $\begin{eqnarray} \rho_k(f) \end{eqnarray}$ bezeichne die Anzahl der Jordanblöcke mit der Länge k. dann gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=i+1}^d ~ (k-i) \cdot \rho_k(f) = rang ~ f^i \end{eqnarray}$ daraus ergibt sich ein Gleichungssystem... also fängt man bei i = 7 an dann gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=7+1}^8 (k-7) \cdot \rho_k(f) = rang ~ f^7 = 0 \\ \rho_8(f) = 0 \end{eqnarray}$ es gibt also keinen Jordanblock der Länge 8. usw. interessant wird es erst bei i=2: $\begin{eqnarray} \sum_{k=2+1}^8 (k-2) \cdot \rho_k(f) = rang ~ f^2 = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rho_3(f) + 2 \rho_4(f) + 3 \rho_5(f) + ... + 6 \rho_8(f) = \rho_3(f) + 2 \cdot 0 + ... + 6 \cdot 0 = \rho_3(f) = 2 \end{eqnarray}$ da steht jetzt also, dass es 2 Blöcke der Länge 3 gibt... setzt man noch i = 1: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1+1}^8 (k-1) \cdot \rho_k(f) = rang ~ f^1 = 5 \\ \rho_2(f) + 2 \rho_3(f) = 5 \\ \rho_2(f) = 5 - 2 \cdot 2 = 1 \end{eqnarray}$ es gibt also einen Block der Länge 2 frag mich nicht wie man auf die Formel kommt - es hat was mit f-zyklischen Unterräumen zu tun... - aber jedenfalls passt es...

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