[Artikel] Bernstein - Polynome und CAD |
09.10.2008, 19:01 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
[Artikel] Bernstein - Polynome und CAD Zunächst einmal betrachtet man sie nur das Intervall [0,1]. Die ersten Basen lauten dann wie folgt: Es fällt auf, dass der n-te Basisvektor identisch mit dem n-ten Basisvektor der Monom-Basis ist. Schauen wir uns dazu die allgemeine Definition an: Durch lineare Transformation kann man die verallgemeinerten Bernsteinpolynome erklären: Applet zum Plotten [attach]8815[/attach] [attach]8816[/attach] [attach]8817[/attach] |
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09.10.2008, 22:16 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zerlegung der Eins, Rekursionsformel, Basiswechsel Zerlegung der Eins Betrachtet man die obigen Bilder und addiert jeweils die Funktionswerte der Bernsteinpolyme für festes n, so erhält man immer den Wert 1. Daher spricht man auch davon, dass diese Polynome eine Zerlegung der Eins bilden. Dies ergibt sich aus dem binomischen Lehrsatz, denn mittels diesem kann man schreiben Rekursionsformel (Dreit-Term-Rekusion) dabei erweitert man die Indizes wie folgt: D.h. aus 2 Basisvektoren des läßt sich ein Basisvektor des berechnen. Überprüfen wir dies anhand der im ersten Post aufgelisteten Basen. Dann wird auch schnell klar, warum die Indexerweiterung nötig ist. Wir wollen bis n=3 rechnen, also stocken wir den Startdatensatz entsprechend auf, um in einem Schema rechnen zu können. Notieren wir sie in einer Matrix. Die Dreitermrekursion zur Berechnung weiterer Basisvektoren findet man z.B. auch bei den Tschebyscheff-Polynomen. Im Gegensatz zu den anderen Basen - vgl. auch die Monombasis - sind hier die Schnitte der einzelnen Basen leer, haben doch die einzelnen Basispolynome den gleichen Maximalgrad n. Bestimmen wir einmal den Basiswechsel zwischen diesen Basen. Theoretische Tipps gibt es hier [Artikel] Basiswechsel.
Die Darstellung eines Elemtentes von bezüglich der Berstein-Basis nennt man Bezier-Darstellung |
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10.10.2008, 02:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Approximation stetiger Funktionen Im Workshop Polynominterpolation sieht man, dass dieser Ansatz - Lagrange Interpolation - im Allgemeinen nicht zur Konvergenz des interpolierenden Polynoms gegen die Funktion f führt. Mit den Bernsteinpolynomen gelingt dies:
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03.11.2008, 00:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
CAD, Bezierkurven, NURBS Im [WS] Spline-Interpolation - Theorie haben wir gesehen, wie man mittels B-Splines versuchen kann Funktionen zu reproduzieren. Dabei wurde die Funktion an gewissen Stellen interpoliert und der Spline s als Linearkombination der Basisvektoren angegeben. Auf Seite 16 im angehängten Vortrag kann man eine weitere Verwendung dieser Darstellung sehen. Wieder summiert man die Basispolynome, "gewichtet" sie nun aber mit den Koordinaten der Eckpunkte eines Kontrollpolygons, in dem die gesuchte Freiformkurve liegen soll. |
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