Siebformel

09.10.2008, 22:03

horn27

Siebformel

Aufgabe: Wieviele natürliche Zahlen von 1 bis 279 sind

a) entweder durch 8 oder durch 12 teilbar
b) durch 8 oder durch 12 oder durch 15 teilbar ( Siebformel verwenden )

Habe keine Ahnung, Verzweiflung macht sich breit Augenzwinkern

10.10.2008, 10:00

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Liegt doch klar auf der Hand: Es bezeichne

$\begin{eqnarray*} \Omega = \{ 1, 2, \ldots, 279 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ ... Menge der Zahlen aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , die durch 8 teilbar sind

$\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ ... Menge der Zahlen aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , die durch 12 teilbar sind

$\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ ... Menge der Zahlen aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , die durch 15 teilbar sind

Gesucht ist nun

a) $\begin{eqnarray*} |A_1 \cup A_2| \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} |A_1 \cup A_2 \cup A_3| \end{eqnarray*}$

Und jetzt aber ran an die Siebformel!

P.S.: Vielleicht noch ein zahlentheoretischer Hinweis: Eine Zahl ist genau dann gleichzeitig durch mehrere Zahlen $\begin{eqnarray*} n_1,\ldots,n_m \end{eqnarray*}$ teilbar, wenn sie durch deren kleinstes gemeinsames Vielfaches $\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(n_1,\ldots,n_m) \end{eqnarray*}$ teilbar ist.

10.10.2008, 10:51

Dual Space

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Gesucht ist nun

a) $\begin{eqnarray*} |A_1 \cup A_2| \end{eqnarray*}$

Ist nicht eher nach

$\begin{eqnarray*} |A_1\cup A_2|-|A_1\cap A_2| \end{eqnarray*}$

gefragt? Ich denke da z.B. an die Zahl 96, die a) nicht erfüllt.

10.10.2008, 11:12

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Das ist Auffassungssache, ob man dieses "entweder" wirklich als "exklusiv oder" auffasst. Ich sehe das nicht so - aber mag sein, dass es der Aufgabensteller so sieht.

10.10.2008, 11:16

Dual Space

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An sprachliche Ungenauigkeiten habe ich gar nicht gedacht. Tatsächlich muss man sich dann wohl für eine Interpretation entscheiden.

10.10.2008, 11:19

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Ja, so missverständlich kann das sein. Ich sehe das "entweder" lediglich als Füllwort an. Bleibt also die Frage ob nun

Zitat:

a) durch 8 oder durch 12 teilbar

oder

Zitat:

a) durch 8 oder durch 12, aber nicht durch beide teilbar

gemeint ist.

10.10.2008, 11:20

Dual Space

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Zur Not eben einfach beide berechnen. Big Laugh

10.10.2008, 15:44

horn27

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das Grundprinzip habe ich ja soweit verstanden, ABER ich komme nie auf die richtige Lösung, bei a) 35 und bei b) 60 ! Ich weiß einfach nicht was ich falsch mache. HILFE !

10.10.2008, 15:46

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Wenn die Lösung bei a) 35 sein soll, dann gebe ich mich der Auffassung von Dual Space geschlagen. Teufel

Zitat:

Original von horn27
Ich weiß einfach nicht was ich falsch mache. HILFE !

Wir wissen es auch nicht, wenn du keine Details deiner Lösung verrätst.

10.10.2008, 16:35

horn27

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ja ok ich bin jetzt soweit:

|A1 U A2| - |A1 geschn. A2| = |279/8 U 279/12| - |279/8 geschn. 279/12| =

|837/24 U 558/24| - |837/24 geschn. 558/24|

Wie soll ich das weiter ausrechnen?

10.10.2008, 16:57

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Zitat:

Original von horn27
279/8 U 279/12

Ich kann mit deinem Code nichts anfangen: Was soll das darstellen, die "Vereinigung zweier Brüche (?!)" . unglücklich

10.10.2008, 17:00

horn27

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was sollte ich denn für A1 und A2 einsetzen?

10.10.2008, 17:11

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Lesen!

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \Omega = \{ 1, 2, \ldots, 279 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ ... Menge der Zahlen aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , die durch 8 teilbar sind

$\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ ... Menge der Zahlen aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , die durch 12 teilbar sind

Das sind Zahlenmengen, keine Brüche.

10.10.2008, 17:20

horn27

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ich verstehe es einfach nicht, kannst du mir vllt erklären wie ich die Aufgaben lösen muss? Ich habe so etwas noch nie gerechnet und habe keinen der es mir erklären kann!

10.10.2008, 17:32

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Hinter deinem 279/8 steckt schon ein Körnchen Wahrheit, aber so aufgeschrieben ist es einfach falsch.

Welche Zahlen stecken denn in der Menge $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ ?

Das sind alles Vielfache von 8, also Zahlen $\begin{eqnarray*} 8\cdot k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq 8\cdot k \leq 279 \end{eqnarray*}$ , umgestellt also für alle ganzzahligen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \leq k \leq \frac{279}{8} \end{eqnarray*}$ , oder aufgezählt

$\begin{eqnarray*} k=1,2,\ldots, \left\lfloor \frac{279}{8} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ ,

mit Gaußklammer $\begin{eqnarray*} \lfloor \ldots \rfloor \end{eqnarray*}$ , was dann schlussendlich für die Mächtigkeit $\begin{eqnarray*} |A_1| = \left\lfloor \frac{279}{8} \right\rfloor = 34 \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Natürlich macht man jetzt nicht bei jeder Menge diesen Erklärungsaufwand, aber ich wollte hier den Unterschied zwischen dem richtigen $\begin{eqnarray*} |A_1| = \left\lfloor \frac{279}{8} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ und dem einfach "unmöglichen" $\begin{eqnarray*} A_1 \stackrel{?}{=} \frac{279}{8} \end{eqnarray*}$ klarstellen!

10.10.2008, 18:21

horn27

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erstmal vielen Dank für die Erklärung, soweit habe ich es dann jetzt verstanden, aber wie komme ich dann auf das Ergebnis 35? Ich habe keinen Durchblick Hammer

10.10.2008, 18:58

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Dann tut's mir jetzt auch leid: Es stehen alle relevanten Informationen im Thread da (außer die Siebformel selbst), jetzt heißt es nur noch einzusetzen. Wenigstens das könntest du ja mal tun.

10.10.2008, 19:55

horn27

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ok also |A| + |B| - 2* |A geschn. B| = 34 + 23 - 2*11 = 35 . . . richtig?

10.10.2008, 20:44

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Warum nicht gleich so! Offenbar muss man manche Leute immer erst anstacheln. Freude

10.10.2008, 21:53

Dual Space

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Wenn die Lösung bei a) 35 sein soll, dann gebe ich mich der Auffassung von Dual Space geschlagen. Teufel

11.10.2008, 19:20

horn27

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ok aber bei der Aufgabe b komme ich nicht auf 60, sondern 68?

11.10.2008, 19:27

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Und wieder mal wäre ein etwas ausführlicherer Rechenweg nicht schlecht ...

11.10.2008, 21:43

horn27

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|A| + |B| + |C| - |A geschn.B| + |A geschn.C| - |B geschn. C| + |Ageschn.Bgeschn.C| = 34 + 23 + 18 - 11 + 16 - 5 - 7 = 68 ?

11.10.2008, 22:54

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Zitat:

Original von horn27
|A| + |B| + |C| - |A geschn.B| + |A geschn.C| - |B geschn. C| + |Ageschn.Bgeschn.C| = 34 + 23 + 18 - 11 + 16 - 5 - 7 = 68 ?

Dieses + verletzt doch das Symmetrieempfinden, merkst du das nicht? Richtig ist natürlich

$\begin{eqnarray*} |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \end{eqnarray*}$

Aber der Wert 16 sowie die anderen da hinten wie 5 und 7 sind sowieso falsch - wie kommst du auf die?

11.10.2008, 23:07

horn27

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na 34 geschn. 18 is nicht 16?....23 geschn. 18 = 5 ? ....34 geschn. 23 geschn. 18 nicht -7?

11.10.2008, 23:35

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Eigentlich habe ich oben schon mal gesagt, dass ich mir unter dem Durchschnitt von Zahlen wenig vorstellen kann. Forum Kloppe

Du solltest die Tipps auch mal ernst nehmen:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Vielleicht noch ein zahlentheoretischer Hinweis: Eine Zahl ist genau dann gleichzeitig durch mehrere Zahlen $\begin{eqnarray*} n_1,\ldots,n_m \end{eqnarray*}$ teilbar, wenn sie durch deren kleinstes gemeinsames Vielfaches $\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(n_1,\ldots,n_m) \end{eqnarray*}$ teilbar ist.

Im Nachhinein erkenne ich, dass das von dir richtig angegebene

$\begin{eqnarray*} |A_1\cap A_2| = 11 \end{eqnarray*}$

ein unverdienter Glückstreffer war, sofern du das gemäß 34-23 berechnet hast. unglücklich

Zitat:

Original von horn27
34 geschn. 23 geschn. 18 nicht -7?

Ich übersetze das mal:

$\begin{eqnarray*} |A_1 \cap A_2 \cap A_3| \stackrel{???}{=} |A_1| - |A_2| - |A_3| = 34 - 23 -18 = -7 \end{eqnarray*}$ ,

d.h. die Durchschnittsmenge enthält deiner Meinung nach MINUS (!) 7 Elemente??? Das ist ein geradezu himmelschreiender Blödsinn, sowas MUSS man doch merken! Finger1

12.10.2008, 15:37

horn27

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anstatt dich hier über mich lustig zu machen könntest du mir lieber helfen und erklären wie ich auf das richtige Ergebnisse komme!

12.10.2008, 15:39

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Ich mach mich nicht lustig - ich bin nur entsetzt über offenkundige Missachtung banaler Tatsachen, dass eine Menge nicht eine negative Mächtigkeit haben kann! Und ich wiederhole nochmal, solange bis du mal selbständig denkst:

Zitat:

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A_1\cap A_2 \end{eqnarray*}$ ... Menge aller Zahlen aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , die durch kgV(8,12) = 24 teilbar sind.

12.10.2008, 17:19

horn27

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ok schwere Geburt: 34 + 23 + 18 - 11 - 2 - 4 + 2 = 60 ?

12.10.2008, 17:24

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Ja, jetzt stimmt's endlich. Freude

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