Binomischer Satz bei n=3/2

09.10.2008, 23:51

konem

Binomischer Satz bei n=3/2

Hallo!

Ich würde gern wissen, wie ich das hier klammerfrei schreiben kann:

(a-b)^3/2

Bei ^2 wäre es eine einfache binomische Formel aus der Schule (was auch mein Kenntnisstand ist, zur Info). Bei ^3 und allen anderen ganzen Zahlen als Exponent kann man ja im Pascalschen Dreieck rumsuchen. Aber bei ^3/2 steh' ich auf dem Schlauch. Ich habe vier solcher Klammern in einer Gleichung und kann nicht Zusammenfassen / Kürzen etc. wenn die noch dastehen. Drum hinfort mit ihnen!

Um ehrlich zu sein habe ich (a²-b²)^3/2 und [a²-(b-c)²]^3/2. Da lässt sich bestimmt recht früh etwas vereinfachen. Die allgemeine, unvereinfachte Formel wäre mir aber fast wichtiger. Weiß jemand Rat?

Grüße, konem

09.10.2008, 23:54

Jacques

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Hallo,

Beachte, dass

$\begin{eqnarray*} a^{\frac{b}{c}} = \sqrt[c]{a^b} \end{eqnarray*}$

Aber ob es dadurch einfacher wird? verwirrt

Ich bin eher der Meinung, dass man den Term eben nicht vereinfachen kann.

09.10.2008, 23:59

Zizou66

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Ich würde es ähnlich machen wie Jacques, denn das pascalsche Dreieck und der allgemeine Binomialkoeffizient sind nur für die Verwendung mit natürlichen Zahlen als Exponent gemacht.

10.10.2008, 08:59

Airblader

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Ich sehe das auch so - da hast du keine große Chance.

Gegenvorschlag:
Schreib doch mal deine Ausgangsgleichung komplett hin, inkl. woher das Problem kommt.

air

10.10.2008, 14:05

konem

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Hey, Danke schonmal für die Antworten!

Also ich kann die Formeln nicht sauber aufschreiben, weil ich mit Latex nicht großartig klar komme. Also verzeiht bitte, wenn's gleich fies aussieht.

I.

R*sqrt[1-(x:R)²] habe ich. R ist bekannt. Davon brauche ich die Stammfunktion

aus sqrt[x] wird dann 2/3*(x)^3/2

Ich habe die Ausgangsformel "vereinfacht" zu sqrt(R²-x²) ist zumindest kürzer .-)

Fi(x)=2/3*(R²-x²)^3/2

II.

r*sqrt{1-[(x-e)/r]²} -> sqrt[r²-(x-e)²] -> Fii(x)= 2/3*[r²-(x-e)²]^3/2

Das Intervall für die Stammfunktion aus I. geht von a bis R. a ist bekannt. Heißt: Fi(R)-Fi(a)

Das Intervall für die Stammfunktion aus II. geht von e-r bis a. Alles bekannt. Heißt: Fii(a)-Fii(e-r)

III.

A= Fi(R)-Fi(a)+Fii(a)-Fii(e-r) soll errechnet werden.

So, wenn alles ausgeschrieben ist, lässt sich nur schwer vereinfachen, wenn die Klammern und das ^3/2 dranhängen.

Jetzt kommt der Hammer: a= (x²-R²) : (-2e) + e/2 Da wird einem schon schlecht. Aber ohne die krummen Exponenten von oben ist alles recht spaßig. Schön alles einsetzen und vereinfachen und kürzen und am Ende steht 'ne tolle knappe Formel. Klingt idealistisch, aber so solls doch sein, oder?

Habe dann also A(R,r,e). Nochmal zur Info: Bin kein Mathestudent und das Schulwissen reicht grad nicht. Also wenn euch was dazu einfällt, stark.

Grüße, konem

PS.: Wenn es so garnicht klappt, gehen wir gaaaanz zum Anfang. Aber ich finde, bis hierher bin ich gekommen, und nur noch die Vereinfachung steht im Weg. Wäre schade drum .-) Beim nächsten mal nehm' ich mir auch den Formeleditor vor, ihr sollt ja nicht leiden.

10.10.2008, 14:25

ajax2leet

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Du hast dich bei der Stammfunktion vertan.
Leite doch mal deine Stammfunktion ab, dann siehst du es (Kettenregel!)
Beim Integrieren musst du also das Substitutionsverfahren benutzen.

Dadurch wird es aber auch nicht schöner Augenzwinkern

Da kommt dann eine fieser arcsin dazu, oder so

10.10.2008, 16:00

konem

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Yay! Genau trigonometrische Operationen wollte ich mir verkneifen, daher wohl der Exponentenkram. Wo hab ich den Fehler? Die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ . Ok, dann habe ich bei dem (R²-x²) und dem [r²-(x-e)²] Fehler gemacht. Ich war also leichtsinnig.

F( $\begin{eqnarray*} \sqrt{R²-x²} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} (R²-x²)^{\frac{3}{2}} \cdot R²x-\frac{1}{3} x³ \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt? Bin mir nicht sicher. Aber ja, wird hässlicher.

Also mal ganz von Anfang an...

Ich hab 2 Kreise. Der eine mit dem Radius R und dem Mittelpunkt (0,0). Der zweite mit dem Radius r und dem Mittelpunkt (e,0). Jetzt will ich die Schnittfläche ausrechnen. d sei die Strecke, um die die Kreise in einander ragen, d= R+r-e. Gesucht ist also A(R,r,d).
Flächen allein ausrechen geht ja mit klein pi. Aber um irgendwie klar zu kommen muss ich das in ein Koordinatensystem kleben. Die Kreise schneiden sich ja irgendwo. Links und rechts von "irgendwo" liegen die Teilflächen der Kreise, die in der Schnittfläche liegen. "irgendwo" sei a. Das lässt sich ja leicht bestimmen. Die Flächen lassen sich theoretosch leicht aufdöseln in Gleichungen mit Bekannten. Warum das Ganze? Reine Lust am Tun. Dann kann man nämlich ausrechnen, wieviel man vom Kullerkeks abbeißt... Big Laugh

10.10.2008, 16:11

ajax2leet

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Zitat:

Original von konem
F( $\begin{eqnarray*} \sqrt{R²-x²} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} (R²-x²)^{\frac{3}{2}} \cdot R²x-\frac{1}{3} x³ \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt? Bin mir nicht sicher. Aber ja, wird hässlicher.

Nein, leite doch zum Überprüfen ab. Hier müsstest du die Produktregel anwenden...
Wie gesagt, integrieren geht nur über Substitution.

Versuch doch mal das ganze nicht mit Funktionen, sondern geometrisch.
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreis_(Geometrie)
Das ganze sollte gut mit Kreissegmenten funktionieren.
Wenn du dann umbedingt noch die Fläche in abhängigkeit von e,r oder R berechnen willst, kannst du das später immernoch in eine Funktion umwandeln

10.10.2008, 17:00

konem

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Die geometrische Version hab ich schon durch. Da ist so ziehmlich alles mit sin behaftet (sei es sin, sin² oder arcsin) Bei meinem Glück taucht in der Stammfunktion ähnliches auf...

Nochmal für Dumme: Wie geht das mit der Substitution? Ich hab mir die Regel angesehen, komme aber nicht klar. So ganz ohne Herleitung will sich der Kniff nicht zeigen. Ich habe die Wurzel als Operation und dann noch das in der Wurzel. Heißt das, dass ich das getrennt behandeln muss?

Das mit dem zur Überprüfung ableiten bringt nix, weil ich ja offenbar eine kleine, aber grundlegende Wissenslücke habe... beim integrieren und ableiten.

Weiter so, und nochmals Danke.

10.10.2008, 19:05

ajax2leet

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Was hast du denn gegen den Sinus? Augenzwinkern

Bei der Substitution helfe ich ungern weiter, ich bin das selber ein wenig unsicher.

Für die geometrische VAriante schreibe ich dir mal ein paar Formeln hin..
Aus der Formel für die Kreissegmente ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} A = \frac{r_1^2}{2} \cdot (\alpha_1 - \sin \alpha_1) + \frac{r_2^2}{2} \cdot (\alpha_2 - \sin \alpha_2) \end{eqnarray*}$
Den öffnungswinkel erhält man jeweils durch:
$\begin{eqnarray*} \alpha_1 = 2 \cdot \arctan \left ( \frac{y}{x} \right ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha_2 = 2 \cdot \arctan \left ( \frac{y}{e-x} \right ) \end{eqnarray*}$

Wobei x,y die Koordinaten der Kreisschnittpunkte sind.
Diese erhält man einfach durch Lösen des LGS:
$\begin{eqnarray*} K_1 : x^2 + y^2 = r_1^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K_2 : (x-e)^2 + y^2 = r_2^2 \end{eqnarray*}$

Obwohl dabei auch recht lange Gleichungen entstehen, ist das ganze eigentlich recht übersichtlich smile

11.10.2008, 14:28

konem

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Sieht auf jeden Fall übersichtlicher aus. Angenommen ich hab jetzt $\begin{eqnarray*} r_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_{2} \end{eqnarray*}$ und e, was nehme ich dann für x und y? Außer den Radien und den Abstand hab ich ja nix.

Folgendes:

Die Beiden Kreise ragen ineinander. Sie schneiden sich. Verbindet man die 2 Schnittpunkte erhält man ein Schnittkante, wenn man so will.

a: wäre die Höhe der Kreissegmentes vom kleinen Kreis, des in der Schnittfläche liegt. Also der Abstand von der Schnittkante zum Kreisbogen
b: die Höhe des Kreissegmentes des großen Kreises, das in der Schnittfläche liegt.
c: Soll die Schnittkante heißen
d: =a+b, also deir Strecke, um die die beiden Kreise ineinander ragen.
R: der Radius vom großen Kreis
r: der Radius vom kleinen Kreis
$\begin{eqnarray*} U_{c} \end{eqnarray*}$ : Der Teil des Umfangs des großen Kreises, der die Schnittfläche begrenzt
$\begin{eqnarray*} u_{c} \end{eqnarray*}$ : Der Teil des Unfangs des kleinen Kreises, der die Schnittfläche begrenzt
$\begin{eqnarray*} F_{c} \end{eqnarray*}$ : Der Teil der Schnittfläche, die zum großen Kreis gehört und von c und $\begin{eqnarray*} U_{c} \end{eqnarray*}$ begrenzt wird
$\begin{eqnarray*} f_{c} \end{eqnarray*}$ : Der Teil der Schnittfläche, die zum kleinen Kreis gehört und von c und $\begin{eqnarray*} u_{c} \end{eqnarray*}$ begrenzt wird
$\begin{eqnarray*} A_{c} \end{eqnarray*}$ : Die Schnittfläche, da ja von $\begin{eqnarray*} U_{c} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_{c} \end{eqnarray*}$ begrenz wird
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ : der Winkel im großen Kreis, der im Dreieck RRc gegenüber von c liegt
$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ : der Winkel im kleinen Kreis, der im Dreieck rrc gegeüber von c liegt

I. c=2rsin $\begin{eqnarray*} \frac{\beta}{2} \end{eqnarray*}$

II. c=2Rsin $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$

III. a=2rsin² $\begin{eqnarray*} \frac{\beta}{4} \end{eqnarray*}$ verflucht: nur für a<r

IV. b=2Rsin² $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{4} \end{eqnarray*}$ für b<R

V. $\begin{eqnarray*} f_{c} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ [r( $\begin{eqnarray*} u_{c} \end{eqnarray*}$ -c)+ca]

VI. $\begin{eqnarray*} F_{c} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ [R( $\begin{eqnarray*} U_{c} \end{eqnarray*}$ -c)+cb]

VII. $\begin{eqnarray*} f_{c} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{r^{2}}{2}(\frac{\pi \beta }{180°}-sin\beta) \end{eqnarray*}$

VIII. $\begin{eqnarray*} F_{c} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{R^{2}}{2}(\frac{\pi \alpha }{180°}-sin\alpha) \end{eqnarray*}$

IX. $\begin{eqnarray*} A_{c} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \{([r(u_{c}-c)+ca]+[R(U_{c}-c)+cb]\} \end{eqnarray*}$

Damit müsste sich eigentlich was anfangen lassen. Gott

Jetzt hab ich versucht, alle Variablen als Ausdrücke von R, r und d umzuschreiben. Superschwiering, weil dann im Beispiel von c sowas rauskommt:

$\begin{eqnarray*} c= 2rsin^{2}(\frac{2sin^{-1}(\frac{c}{2r})}{4})+ 2Rsin^{2}(\frac{2sin^{-1}(\frac{c}{2R})}{4}) \end{eqnarray*}$

Ganz toll. Nach c umstellen kann ich nicht, ich kann es einfach nicht.

Ich glaube, ich verabschiede mich von einer einfachen Endgleichung à la $\begin{eqnarray*} A_{c} \end{eqnarray*}$ (R,r,d) und mache mir 'ne schöne Excel-Geschichte draus. Die Zusammenhänge sind ja klar... mehr oder weniger. Vereinfachen ist nur fies. Wäre nur toll gewesen, die Formel irgendwo stehen zu haben, prompt mal ein paar Werte einsetzen und grinsen. Bin ich dann doch auf 'nen Tischrechner angewiesen.

Grüße, konem

PS.: wo landet denn der Dateianhang? Habe so 'ne schöne kleine Skizze, zur Übersicht. Eine "Bildadresse" (wie sie bei "Bild einfügen" verlangt wird) setzt doch vorraus, dass es das Bild schon online gibt oder?

12.10.2008, 00:48

ajax2leet

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Du müsstest bei meinen Gleichungen so umformen und einsetzten, dass x und y verschwinden. (Also die Gleichungen $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ )

Folgender Vorschlag: setze zumindest den Radius von einem Kreis fest, dann vereinfacht die Formel sich schon sehr.

13.10.2008, 00:31

konem

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Nee, ich mag ja 'ne Formel für alle Fälle haben (so 2... 3 Fälle fallen mir da ein). Um Winkelfunktionen komm ich ja nicht rum... Hass. Na egal, ist ja nur zum Spaß. Aus verwinkelten Wurzeln von Differenzen von Quadraten, bekommt man schwer was rausgeholt, um etwa danach die Gleichung umzustellen oder so ;D Und wenn, dann ist die Formel tätowierwürdig lang xD

Denk nicht, dass ich mich dumm stelle @ajax2leet, aber ich hab grad noch einen Rappel. Ich setze in A das y aus $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ ein. Dann steht da immernoch x drin. Ist das die x-Koordinate des Schnittpunktes der Kreise? Wenn ja, alles klar. Wenn nicht: hämhä? Was soll denn dann da eingesetzt werden?

Grüße, konem

13.10.2008, 07:52

ajax2leet

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$\begin{eqnarray*} K_1: y^2 = r_1^2 - x^2 \end{eqnarray*}$

in $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (x-e)^2 + r_1^2 - x^2 = r_2^2 \end{eqnarray*}$

Und schwupps ist das y verschwunden Augenzwinkern

Das jetzt nach x Umformen und oben einsetzen.
Genauso verfährst du, um y zu erhalten, was du dann ebenfalls oben einsetzen kannst

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Binomischer Satz bei n=3/2

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