Analyt. Geo

13.07.2006, 20:15

sqrt4

Analyt. Geo

HAllo

Ich hab eine Frage zu folgendem Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 +a_3 \cdot x_3 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot x_1 + a_3 \cdot x_2 +a_2 \cdot x_3 = 4+\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1=\frac{1}{126} ; a_2=\frac{1}{112}; a_3=\frac{1}{144} \end{eqnarray*}$
Man kann ja die beiden Gleichungen anschaulich als Gerade im Raum interpretieren.
Meine Frage:
Wie kann ich schnell zeigen, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=525 \end{eqnarray*}$

Also ich habe zuerst die Gleichung der Gerade aufgestellt.
ein paar zwischenergebnisse:
$\begin{eqnarray*} x_3-x_2=168 \end{eqnarray*}$ (Dann $\begin{eqnarray*} x_2 = \lambda \end{eqnarray*}$ )
Gleichung der Gerade:

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 357 \\ 0 \\ 168 \end{pmatrix} +\lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=357-2\cdot \lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=\lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=168+ \lambda \end{eqnarray*}$
Daraus folgt dann die Behauptung, indem man alle Gleichungen addiert.

Aber geht das auch schneller?

13.07.2006, 21:30

marci_

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RE: Analyt. Geo

Zitat:

Original von sqrt4
HAllo

Ich hab eine Frage zu folgendem Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 +a_3 \cdot x_3 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot x_1 + a_3 \cdot x_2 +a_2 \cdot x_3 = 4+\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1=\frac{1}{126} ; a_2=\frac{1}{112}; a_3=\frac{1}{144} \end{eqnarray*}$
Man kann ja die beiden Gleichungen anschaulich als Gerade im Raum interpretieren.

wieso gerade??
das ist doch ebenen?!

was soll gelten??
du willst die eben schneiden, und dann eine schnittgerade erhalten?

13.07.2006, 21:53

sqrt4

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SRY hab mich unklar ausgedrückt.
Die 2 Gleichungen stellen natürlich Ebenen dar und wenn sie nicht gerade böswillig parallel sind dann schneiden sie sich auch und bilden eine Gerade ja.

Ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=const bzw 525 \end{eqnarray*}$

Soll heißen dass die Koordinaten jedes Punktes der Geraden in der Summe 525 ergeben.

14.07.2006, 07:29

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Ich verlinke mal zu

durch die wüste

denn darum geht's ja hier, nicht wahr? Augenzwinkern

14.07.2006, 20:36

quarague

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die Gleichung x1+x2+x3=525 ist ja auch eine Ebene.
Drei Ebenen in allgemeiner Lage schneiden sich in einem Punkte, du willst zeigen, das diese 3 Ebenen nicht in allgemeiner Lage liegen, sondern eine gemeinsame Gerade haben.
Also 3 Geraden-Gleichungen als 3*3 Matrix aufschreiben, determinante ausrechnen, sollte Null herauskommen, fertig.

18.07.2006, 21:57

sqrt4

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Dann hab ich das Rätsel gelöst huh

Augenzwinkern

@quar.

das Problem ist dass man vorher nicht weíß, dass 525 rauskommt.

(Man kann schon mal rumraten und Werte einsetzen und stellt fest dass immer 525 rauskommt aber naja...)

18.07.2006, 22:05

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Da ich nachgefragt wurde, ob die Lösung stimmt: Ja.

Hier liegt übrigens die spezielle Konstellation vor, dass die Ebene-Geschwindigkeit 126 gerade das harmonische Mittel der beiden anderen Geschwindigkeiten 112 und 144 ist - oder mit deinen Reziprok-Variablen ausgedrückt: $\begin{eqnarray*} 2a_1=a_2+a_3 \end{eqnarray*}$ .

Deshalb ergibt die Summe beider Gleichungen oben direkt

$\begin{eqnarray*} 2a_1 x_1 + (a_2+a_3)(x_2 + x_3) = 2a_1(x_1+x_2+x_3) = \frac{25}{3} \end{eqnarray*}$

was mit $\begin{eqnarray*} a_1=\frac{1}{126} \end{eqnarray*}$ direkt zu $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=525 \end{eqnarray*}$ führt. Bei anderen Geschwindigkeitskonstellationen (also nicht harmonisches Mittel) ist die Wegsumme noch nicht eindeutig bestimmt.

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