Beweis über Potenzsummen und Pascal-Identität

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MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis über Potenzsummen und Pascal-Identität
Guten Abend allerseits,

es geht um einen Beweis über Potenzsummen und einer von Pascal stammenden Identität.

Potenzsummen:

Man beweise die von Pascal stammende Identität



Ich weiss lediglich, dass man vorangegangenes Wissen benutzen darf, also Induktion, Fakultät und Binomialentwicklung. Da ersteres schon mal ausfällt habe ich die Binomialentwicklung auf angewendet. Aber irgendwie hilft das nicht weiter.

Kann mir bitte jemand weiterführende Tipps geben.
Ich bin jedem Helfer dankbar.

P.S.: Die Aufgabe stammt aus "Analysis 1" von Königsberger. Damit spreche ich besonders seine Leser um Hilfe an. Augenzwinkern

mfg MrPSI
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

warum soll induktion hier nicht klappen? - für mich sieht das sehr nach induktion aus...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI
Da ersteres schon mal ausfällt habe ich die Binomialentwicklung auf angewendet. Aber irgendwie hilft das nicht weiter.

Im Induktionsschluss hilft das durchaus.
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

ich habs mal probiert - der Induktionsschluss über n ist ok, aber den über p hab ich noch nicht geschafft... - aber man muss doch über beide Variablen eine Induktion durchführen oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt drauf an, was für eine Induktion du im Sinn hast. Wenn du, so wie ich es in meinem letzten Post meinte, die Induktion über durchführst und dabei den Induktionsanfang (oder von mir aus auch ) für alle nachweist, und auch der Induktionsschluss für alle funktioniert, dann reicht das doch!
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Verzeihung, dass ich erst so spät antworten konnte.

Also dann versuch ich mal die Induktion.

Die Binomialentwicklung für , k = 1, 2, 3, ... , n sieht so aus:


Für k = n:



So sollte es ja nach dem Induktionsschluss aussehen.

IS :






Und genau hier hänge ich nun. Mir fällt keine Umformung ein, bei der das gewünschte Ergebnis rauskommt.
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe bereits diese Zeile nicht:

Zitat:
Original von MrPSI

Sieht fast so aus, als setzt du ein.

Es ist aber .
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist daran so unverständlich?

Diese Aehnlichkeit ist in keinster Weise vorhanden. Mir ist rätselhaft wie du darauf kommst. verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich wollte versuchen zu verstehen, wie du auf diese Zeile kommst, du weist das empört zurück. Also erneut die Frage, diesmal ohne Mutmaßung:

Wie kommst du auf die Gleichheit

Zitat:
Original von MrPSI
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Verzeihung, falls meine Antwort schroff rübergekommen ist. Ich war nur etwas verwundert.

Also, das ist zu beweisen:



Und wenn man nun die rechte Seite mit Hilfe der Binomialentwicklung ausmultipliziert und vereinfacht ( das 1 - 1 löst sich auf) , dann entsteht:



weil ja gilt.

Und auf



kommt man, indem n durch n-1 ersetzt wird.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, das ist nur die Induktionsvoraussetzung in kompliziert geschriebener Form - aber das sieht alles nicht sehr zielführend aus. unglücklich

Warum bildest du nicht die Differenzen der linken Seiten für n sowie (n-1), dann ist es im Induktionsschluss ausreichend, die Gleichung



zu zeigen. Oder wie hattest du vor, diese ganzen Summenterme jemals loszuwerden?
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich hatte ich gar nicht vor, die Potenzsummen loszuwerden. Das kommt zum einen daher, dass ich solche Tricks, wie du ihn gerade zeigst, nicht kenne.

Ausserdem finde ich es ein wenig seltsam, wenn man eine Gleichung beweisen will, dann aber auf eine andere Gleichung den Induktionsschluss anwendet.

Wieso darf man den IS auf die Differenz der zu beweisenden Gleichung, wenn man 2 Werte eingesetzt hat, anwenden?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt reicht's: Wir haben die Induktionsbehauptung



nachzuweisen. Dazu nutzen wir die Induktionsvoraussetzung



und addieren dazu die aus dem binomischen Satz folgende Gleichung



(links fehlt ja der Summand für k=p+1). Wegen ist damit der Induktionsschluss vollständig.

Zitat:
Original von MrPSI
Was ist daran so unverständlich?

Genau.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so mag ich das. Schön, knapp und leicht verständlich. smile

Vielen Dank für die Hilfe und Geduld. Mit Zunge
ThomasMa Auf diesen Beitrag antworten »

[quote
und addieren dazu die aus dem binomischen Satz folgende Gleichung



[/quote]


zu was wird das hier addiert?
ThomasMa Auf diesen Beitrag antworten »

Besser gefragt. sind die drei Zeilen, der ganze beweis. aber ich müsste es doch erstmal für n-1 zeigen, oder
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ThomasMa
Besser gefragt. sind die drei Zeilen, der ganze beweis. aber ich müsste es doch erstmal für n-1 zeigen, oder

Nicht, wenn du das Beweisprinzip der Vollständigen Induktion verstanden hast. Augenzwinkern
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